Суждения

И И И И Л И И

И Л Л И И Л Л

Л И Л И И И Л

Л Л Л Л Л И И  

Исчислению  подлежат все высказывания, как простые, так и сложные.

Правила формальной логики (отношения высказываний).

Правило коммуникации. 

В логике высказываний конъюнктивные выражения, кроме выражений, учитывающих временную последовательность событий, подчиняются правилу коммутативности (коммуникации), позволяющему менять части высказывания местами. Можно, например, сказать: «Верить и ждать», или вместо этого сказать «Ждать и верить», поскольку события происходят одновременно. Но если вместо: «Она вышла замуж и родила ребенка», сказать «Она родила ребенка и вышла замуж», то произойдет смена временной последовательности событий и причинно-следственных связей, получится что, рождение ребенка предшествовало замужеству, что оно и стало его причиной. Совершать такие метаморфозы – значит нарушать принципы правильного мышления.  

В целом  же, правило коммуникации устанавливает  следующие отношения:  

(a  b) ≡ (b  a); (a V b) ≡ (b V a)

В конъюнкции и дизинъюнкции перестановка переменных не меняет смысла высказывания.

В логике отношений и модальной логике данное правило требует небольшого дополнения. Нельзя, например, вместо «Москва  восточнее Парижа» (a R b) сказать «Париж восточнее Москвы» (b R a), нельзя даже сказать «Париж не восточнее Москвы» (b R a), поскольку это означает что, Париж может находиться как западнее Москвы, так и на одном меридиане с ней и, даже, в центре Москвы, что не предусматривалось первым утверждением. Эквивалентным будет лишь «Париж западнее Москвы», поскольку в логике отношений и модальной логике эквивалентация коммуникации происходит только путем антагонизации (подбора связки противоположной по смыслу), а простое введение отрицания сводит отношение к возможно безразличному.  

Таким образом, на правиле коммуникации четко прослеживается общность суждений с отношениями и модальных суждений и легко заметно что, суждения с отношениями являются переходной формой от ассерторических суждений к модальным.

Правило эквивалентности. 

Тесно связанное с правилом коммуникации, оно устанавливает эквивалентность между высказываниями:

Сочетание (конъюнкция) утверждений эквивалентно (равносильно) опровержению неопределенности (дизинъюнкции) отрицаний («Он толстый  и короткий: не верно что, он не толстый  или что, он не короткий» ab ≡ ); а сочетание отрицаний эквивалентно опровержению неопределенности утверждений («Он не толстый и не короткий: неверно что, он толстый или что, он короткий» ab ≡ ).

Неопределенность  утверждений эквивалентна опровержению сочетания отрицаний («Он или толстый, или короткий: неверно что, он и не толстый, и не короткий» a V b ≡ ); а неопределенность отрицаний эквивалентна опровержению сочетания утверждений («Он не толстый или не короткий: не верно что, он и толстый, и короткий» a V b ≡ ).

Опровержение сочетания утверждений эквивалентно неопределенности отрицаний («Неверно что, он толстый и короткий: он, по крайней мере, или не толстый, или не короткий» ≡); а опровержение неопределенности утверждений эквивалентно сочетанию отрицаний («Не верно что, он толстый или короткий: он и не толстый и не короткий» ≡ ).

Условность (импликация) эквивалентна неопределенности следствия при отрицании причины  и отрицанию причины при отрицании  следствия (строгой дизинъюнкции отрицания  одного и утверждения другого) – «Если он толстый, то значит короткий: или он короткий, или он не толстый» ≡ ; и наоборот ≡; а ее отрицание эквивалентно отрицанию следствия при наличии причины («Не верно что, если он толстый, то значит короткий: он толстый, но совсем не короткий» ≡  и наоборот ≡ ).

Причина вызывающая несколько следствий  имеет несколько эквивалентных  формулировок ()()≡ и наоборот ≡()()

Если  различные причины имеют одинаковые следствия, это может быть представлено так: ()≡ – Разные причины с  общим следствием эквивалентны неопределенности причины вызвавшей это следствие. Обратное допустимо с некоторыми оговорками: если мы предпологаем что, следствие вызвано одной из причин, значит мы допускаем что, каждая из этих причин способна вызвать данное следствие ≡(), чего на деле может и не быть.

Цепь  причин, последовательно ведущих  к некоторому следствию эквивалентна комплексной причине следствия («Если  есть дружба, и она крепкая, то это  надолго» ≡ «Если есть крепкая  дружба, то это надолго» ≡). И наоборот, комплексная причина эквивалентна цепи следующих друг за другом причин ≡. Однако эта часть правила требует осторожности, так как, пользуясь ей, не следует забывать о временной последовательности цепи причин из-за которой, разложение комплексной причины на цепь последовательных не всегда применимо. Так, например, нельзя перестроить суждение «Вода и свет порождают жизнь» в суждение «Вода порождает свет, в свою очередь, порождающий жизнь»; суждение «Если есть крепкая дружба, то это надолго» можно ошибочно перестроить в «Если есть крепкая и она – дружба, то это надолго» и, тем самым, получить бред душевнобольного, понять который, возможно только зная исходный текст. Но имеются суждения, которым позволено использовать данное правило без ограничений: «Верить и ждать, значит надеяться» ≡ «Ждать, значит верить, значит, надеяться».  

Эти правила  позволяют, в случае необходимости, перестраивать суждения, не нарушая  их смысл.

Правила отрицания 

Простые суждения легко отрицать полностью, методом внешнего опровержения («Не  верно что, мыслительные способности нарастают по мере взросления») или частично, методом внутреннего отрицания («Многие люди не стремятся мыслить разумно»). Сложные суждения, образованные конъюнкцией, отрицать так же легко («Не правильно называть тех, кто видит в жизни преобладание негативных сторон, как и тех, кто видит преобладание позитивных – реалистами» и «Здравомыслие включает в себя элемент творчества, а не веру в предопределенность»). Еще легче отрицать отрицательные суждения, как правило, для этого достаточно убрать из них отрицание. Однако отрицание некоторых суждений может вызвать затруднения, избежать которых помогут правила отрицания, логически следующие из правил эквивалентности:

Перестроив  по этому правилу суждение в модальное  опровержение, легко, убрав оператор опровержения, или вынеся его за двоеточие, превратить суждение в его противоположность. Например, для отрицания суждения «Он или толстый или короткий» можно преобразовать его в эквивалентное модальное суждение «Не верно что, он не толстый и не короткий», а затем вынести «неверно», получив модальное «Неверно: он не толстый и не короткий» или ассерторическое «Он не толстый и не короткий».

1. Простые и сложные  высказывания. Отрицание,  конъюнкция, дизъюнкция 

  Высказывание  – грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.

  Высказывание  – более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на части, мы всегда получаем те или  иные имена. Скажем, высказывание «Солнце  есть звезда» включает в качестве своих частей имена «Солнце» и «звезда».

  Понятие высказывания – одно из ключевых в  логике. Как таковое, оно не допускает  точного определения, в равной мере приложимого в разных её разделах. Ясно, что всякое высказывание описывает  определённую ситуацию, что-то утверждая или отрицая о ней, и является истинным или ложным.

  Высказывание  считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» называются истинностными значениями высказывания.

  Из  отдельных высказываний разными  способами можно строить новые  высказывания. Так, из высказываний «Дует  ветер» и «Идёт дождь» можно образовать более сложные высказывания «Дует  ветер и идёт дождь», «Либо дует ветер, либо идёт дождь», «Если идёт дождь, дует ветер» и т.п. Слова «и», «либо, либо», «если, то» и т.п., служащие для образования сложных высказываний, называются логическими связками.

  Высказывание  называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.

  Высказывание  является сложным, если оно получено с помощью логических связок из нескольких более простых высказываний.

  Может показаться, что знакомство с высказываниями естественнее всего начать с изучения простых высказываний и их частей, и уже затем приступить к изучению того, как из простых высказываний образуются сложные. В логике, однако, подход является обратным. Сначала рассматриваются способы построения сложных высказываний из более простых, при этом простое высказывание берётся как неразложимое далее целое (как «атом»), и только затем переходят к выявлению строения простых высказываний. Анализ структуры сложных высказываний предшествует анализу структуры простых. Объясняется это следующим: для того, чтобы понимать способы сочетания высказываний, вовсе не обязательно знать, что такое простое высказывание; достаточно учитывать только то, что последнее имеет определённое значение истинности. Простые высказывания чрезвычайно разнообразны, выявление составляющих их частей во многом зависит от принятого способа их анализа. Некоторые логические связи между высказываниями не зависят от строения простых высказываний. Разумно поэтому поступить так, как если бы мы знали все о простых высказываниях, т.е. оставить вопрос об их структуре на время в стороне и заняться логическими связями высказываний. Последняя задача является относительно лёгкой.

  Та  часть логики, в которой описываются  логические связи высказываний, не зависящие от структуры простых  высказываний, называется общей теорией дедукции.

  Перейдём  теперь к рассмотрению наиболее важных способов построения сложных высказываний.

  Отрицание – логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое, причём, если исходное высказывание истинно, его отрицание будет ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами «не», «неверно, что». Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания «10 – чётное число» является высказывание «10 не есть чётное число» (или: «Неверно, что 10 есть чётное число»).

  Будем обозначать высказывания буквами  А, В, С, …, отрицание высказывания – символом ~. Полный смысл понятия отрицания высказывания задаётся условием: если высказывание Л истинно, его отрицание А ложно, и если А ложно, его отрицание, ~А, истинно. Например, так как высказывание «1 есть целое положительное число» истинно, его отрицание «1 не является целым положительным числом» ложно, а так как «1 есть простое число» ложно, его отрицание «1 не есть простое число» истинно.

  Определению отрицания можно придать форму  таблицы истинности, в которой «и» означает «истинно» и «л» – «ложно». 

  В результате соединения двух высказываний при помощи слова «и», мы получаем сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким способом, называются членами конъюнкции. Например, если высказывания «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить связкой «и» получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

  Конъюнкция  истинна только в  случае, когда оба  входящих в неё  высказывания являются истинными; если хотя бы один из её членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

  Высказывание  A может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о высказывании B. Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих высказываний.

  Обозначим конъюнкцию символом &. Таблица истинности для конъюнкции приведена ниже. 

  Определение конъюнкции, как и определения других логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:

  1) каждое высказывание (как простое,  так и сложное) имеет одно  и только одно из двух значений  истинности: оно является либо  истинным, либо ложным;

  2) истинностное значение сложного  высказывания зависит только  от истинностных значений входящих  в него высказываний и способа  их логической связи между  собой.

  Эти предположения кажутся простыми. Приняв их, нужно, однако, отбросить  идею, что, наряду с истинными и ложными высказываниями, могут существовать также высказывания неопределённые с точки зрения своего истинностного значения (такие, как, скажем, «Через пять лет в это время будет идти дождь с громом» и т.п.). Нужно отказаться также от того, что истинностное значение сложного высказывания зависит от «связи по смыслу» соединяемых высказываний.