Применение дифференциальных уравнений в эеономике

      Применение  дифференциальных уравнений  в эеономике. 

      Рассмотрим  некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики, где независимой переменной является время t. Такие модели достаточно эффективные при исследовании эволюции экономических систем на длинных интервалах времени. Они и являются предметом исследования экономической динамики.

Модель  естественного роста выпуска продукции

      Пусть некоторая продукция продается по фиксированной цене Р, Q(t) - количество продукции реализованной на момент t. Тогда доход составляет . Пусть часть дохода реализуется на инвестиции в производство реализованной продукции, т.т.

J(t)= mPQ(t)  (1)

      где m - норма инвестиции, постоянное число (0<m<1).

      Если  считать, что рынок ненасытен (полная реализация продукции), то в результате расширенного производства получим  прирост дохода, часть которого опять пойдет на расширение выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска (акселерации), причем скорость выпуска продукции пропорциональна увеличению инвестиций

Q' = LJ(t)  (2)

      где 1/L- норма акселерации. Подставляя (2) в (1), получим

Q' = kQ  (k=LMP). (3)

      Дифференциальное  уравнение (3) является уравнением с  разделенными переменными, которое имеет общее решение , С - произвольная постоянная.

      Если  в начальный момент времени  , задан объем выпуска продукции , то , откуда . Поэтому ячастичное решение

      Заметим, что эта математическая модель является общей. Так процесс размножения  бактерий, в результате биологических опытов, также описывается уравнением (3). Процесс радиоактивного распада подчиняется закономерности (4).

Динамическая модель Кейнса

      Рассмотрим  самую простую балансовую модель, которая включает у себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), E(t), S(t), J(t) - соответственно:

      Y(t) - национальный доход;

      E(t) - государственные расходы;

      S(t) - потребление; 

      J (t) - инвестиции.

      Все эти величины рассматривают как  функции времени. Тогда справедливые соотношения:

где а(t) - коэффициент склонности к потреблению

      b(t) - автономное (остаточное) потребление;

      к(t) - норма акселерации.

      Все функции, которые входят в (5), считаются положительными. Объясним содержание этих уравнений. Сумма всех расходов должна быть равная национальному доходу - 1-ое уравнение. Общее потребление состоит из внутреннего потребления части национального дохода в народном хозяйстве плюс остаточное потребление - 2-ое уравнение. Размер инвестиций не может быть произвольным. Он определяется произведением нормы акселерации (величина которой характеризуется уровень технологии и инфраструктуры данного государства) на предельный национальный доход.

      Будем считать, что функции а(t), b(t), к(t), E(t) заданы, они выражают функционирование и эволюцию данного государства. Нужно найти динамику национального дохода Y(t).

      Подставив 2-ое и 3-е уравнение системы (5) в первое, получим неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

      Если  взять а, b, k – постоянными, то уравнение (6) упрощается к случаю линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

Частичное решение  уравнения (7) (так называемое равновесное решение, когда ) таково

      Тогда общее решение уравнения (7)

Интегральные  кривые (9) изображены на рис.1.

рис.1

      Интегральные  кривые (рис.1) характеризуют эволюцию национального дохода.

      Если  в начальный момент времени  Y₀<Y, то C=Y₀-Y_p<0 и кривые идут вниз от равновесного решения, то национальный доход со временем спадает.

      Если  же , то С > 0 и интегральные кривые идут вверх от равновесной прямой , то национальных доход со временем растет.