Общественные блага

 

Экономисты говорят, что  функция ожидаемой полезности "определяется с точностью до монотонного преобразования". Это означает просто, что к ней  можно применить линейное преобразование и получить другую функцию ожидаемой  полезности. представляющую те же самые предпочтения. Однако, преобразование любого другого рода разрушит свойство ожидаемой полезности.

 

Представление предпочтений в виде ожидаемой полезности удобно, но является ли оно рациональным? Тот  факт, что в качестве исходов случайного выбора выступают варианты потребления  при различных обстоятельствах, рассматриваемые как различные  “потребительские товары”, означает, что, в конечном счете, лишь один из этих исходов будет иметь место  в действительности. Либо дом ваш  сгорит, либо нет; либо пойдет дождь, либо день будет солнечным. Сам способ постановки нами задачи выбора подразумевает, что реально наступит только один из возможных исходов и, следовательно, фактически будет реализован лишь один из обусловленных планов потребления.

 

Сказанное имеет, оказывается, очень интересный подтекст. Предположим, что вы размышляете о том, не застраховать ли свой дом от пожара в наступающем  году.  Производя указанный выбор, вы будете руководствоваться величиной  вашего богатства в трех состояниях: его величиной на данный момент (), его величиной в случае, если ваш  дом сгорит (), и его величиной  в случае, если он не сгорит ().Если  - вероятность того, что ваш дом  сгорит, а  - вероятность того. что он не сгорит, то ваши предпочтения в отношении этих трех различных случаев потребления, как правило, могут быть представлены функцией полезности .           

 

Предположим, что мы рассматриваем  выбор между обладанием богатством сейчас и одним из возможных исходов - скажем, то, сколько денег мы готовы были бы пожертвовать сейчас, чтобы  получить чуть больше денег в случае, если дом сгорит.  Тогда принимаемое  решение должно быть независимым  от того, какова будет величина потребления  при другом "состоянии природы" - то есть, от того, какова будет величина потребления в случае, если дом  не будет уничтожен. Ведь дом либо сгорит. либо - нет. Если случится так, что он сгорит, то величина дополнительного богатства не должна зависеть от той величины богатства, которой вы располагали бы, если бы дом не сгорел. Прошлое есть прошлое - поэтому то, что не произошло, не должно влиять на величину потребления при исходе, имеющем место в действительности.

 

Обратите внимание на то, что сказанное есть предпосылка  в отношении предпочтений индивида. Она может нарушаться. Когда люди решают, какую из двух вещей выбрать, количество третьей имеющейся у них вещи обычно тоже имеет значение. Выбор между кофе и чаем вполне может зависеть от того, сколько у вас имеется сливок. Но это происходит потому, что вы пьете кофе со сливками. Если бы вы рассматривали ситуацию, в которой вы бросаете игральную кость и, в зависимости от исхода, получаете либо кофе, либо чай, либо сливки, то количество сливок, которое вы могли бы при этом получить, не должно было бы повлиять на ваши предпочтения в отношении кофе и чая. Почему? Потому что вы получаете либо одно, либо другое: если, в конечном счете, вам достаются сливки, то тот факт, что вы могли бы получить либо кофе, либо чай, значения не имеет.

 

Таким образом, при выборе в условиях неопределенности естественного  рода "независимость" потребления  при различных исходах существует потому, что соответствующие варианты потребления реализуются раздельно - при разных "состояниях природы". Выбор, планируемый людьми при одном "состоянии природы", должен быть независим от вариантов выбора, планируемых  ими для других "состояний природы". Эта предпосылка известна как  предпосылка о независимости. Из нее вытекает очень специфическая  структура функции полезности для  обусловленного потребления: аддитивность по различным наборам обусловленного потребления.

 

Иными словами, если ,  и представляют собой потребление при различных исходах, а ,  и - это вероятности наступления указанных трех различных исходов, то, при соблюдении предпосылки о независимости, на которую мы ссылались выше, функция полезности должна принять вид

 

.

 

Это - функция, которую мы назвали функцией ожидаемой полезности. Заметьте себе, что функция ожидаемой  полезности, и в самом деле, удовлетворяет  тому свойству, что предельная норма  замещения одного из двух товаров  на другой не зависит от того, сколько  у нас имеется третьего товара. Предельная норма замещения, скажем, товара 2 товаром 1 принимает вид

 

 

 

=

 

.

 

Эта MRS зависит только от имеющегося количества товаров 1 и 2, а  не зависит от имеющегося количества товара 3.

 

Особенности поведения расположенных  к риску, нерасположенных к риску и нейтральных к риску экономических субъектов.

 

Нерасположенность к риску

 

Применим анализ с позиций  ожидаемой полезности к решению  простой задачи выбора. Допустим, что в данный момент у потребителя имеется богатства на 10 долл. и что он размышляет, стоит ли сыграть в игру, которая с вероятностью в 50 процентов принесет ему выигрыш в 5 долл. и с вероятностью в 50 процентов - проигрыш в 5 долл. Богатство его, следовательно, становится случайной величиной: имеется вероятность в 50 процентов, что он останется с 5 долларами, и вероятность в 50 процентов, что у него, в итоге, будет 15 долларов. Ожидаемое значение его богатства равно 10 долл., а ожидаемая полезность есть

 

       .

 

 

 

Это изображено на рис.12.2. Ожидаемая  полезность богатства есть средняя  двух чисел u(15$) и u(5$), обозначенных на графике 0,5u(5) и 0,5u(15). Мы изобразили также полезность ожидаемого значения богатства, которую  обозначили u(10$). Обратите внимание на то, что на данном графике ожидаемая  полезность богатства меньше полезности ожидаемого значения богатства. То есть:       .

 

 

 

Рис.12.2 Нерасположенность к риску.

 

В этом случае мы говорим, что  потребитель не расположен к риску, поскольку предпочитает иметь ожидаемое  значение своего богатства, нежели вступить в игру. Конечно, предпочтения потребителя  могли бы оказаться такими, что  он предпочел бы случайное распределение  богатства его ожидаемому значению, и в таком случае мы говорим, что  потребитель  расположен к риску. Пример такого рода приведен на рис.12.3.

 

Обратите внимание на различие между рис. 12.2 и 12.3. Потребитель, не расположенный  к риску, имеет вогнутую функцию  полезности - ее наклон, по мере возрастания  богатства, уменьшается.

 

Расположенность к риску

 

У потребителя, расположенного к риску,  функция полезности выпуклая - ее наклон, по мере возрастания богатства, становится больше. Следовательно, кривизна функции полезности измеряет отношение  потребителя к риску. Как правило, чем более вогнутой является функция  полезности, тем в большей степени  потребитель не расположен к риску, а чем более она выпукла, тем  в большей степени потребитель  расположен к риску.

 

Нейтральность к риску

 

Промежуточным является случай линейной функции полезности. Здесь  потребитель нейтрален к риску: ожидаемая полезность богатства  есть полезность его ожидаемого значения. В этом случае потребителя совершенно не заботит степень рискованности  получения его богатства - его  интересует лишь ожидаемое значение последнего.

Вопрос 63: Методы снижения риска: диверсификация, страхование, приобретение информации.

 

Диверсификация

 

Обратимся теперь к другой теме, связанной с неопределенностью, - выгодам от диверсификации. Предположим, что вы раздумываете, стоит ли вложить 100 долл. в две различные компании, одна из которых производит очки от солнца, а другая - плащи. Согласно долгосрочному  прогнозу погоды, следующее лето в  равной степени может оказаться  и дождливым, и солнечным. Каким  образом вам лучше инвестировать  ваши деньги?

 

Не разумнее ли было бы застраховаться от случайностей и вложить некоторую  сумму денег в каждую из указанных  компаний? Путем диверсификации своих  акционерных вложений в обе компании, вы можете получить на них доход  более надежный, а потому - более  желательный, если вы - человек, не расположенный  к риску.

 

Допустим, например, что акции  компании по производству плащей и  акции компании по производству очков  от солнца в настоящее время стоят 10 долл. штука. Если лето окажется дождливым, то акции компании по производству плащей будут стоить 20 долл. штука, а акции компании по производству очков от солнца - 5 долл. Если же лето выдастся солнечное, результаты будут обратными: акции компании, производящей очки от солнца, будут стоить по 20 долл., а акции компании, производящей плащи, - по 5 долл. Вложив все 100 долл. в компанию по производству очков от солнца, вы делаете ставку в игре, которая с вероятностью 50 процентов принесет вам 200 долл. и с вероятностью 50 процентов - 50 долл. Такой же величины вознаграждение вы получите, если вложите все деньги в компанию по производству плащей: в обоих случаях ваш ожидаемый выигрыш составляет 125 долл.

 

Посмотрите, однако, что получится, если вы вложите половину денег в  каждую из компаний. Тогда, если лето будет  солнечным, вы получите 100 долл. от вложений в компанию по производству очков  от солнца и 25 долл. от вложений в компанию по производству плащей. Если же лето окажется дождливым, вы  получите 100 долл. от вложений в компанию по производству плащей и 25 долл. от вложений в компанию по производству очков от солнца. В  любом случае, вы гарантированно получаете 125 долл. Путем диверсификации инвестиций в обе компании вам удалось  снизить совокупный риск своих вложений, в то же время сохраняя неизменным ожидаемый выигрыш.

 

В этом примере осуществить  диверсификацию было совсем легко: между  обоими активами имелась совершенно отрицательная корреляция - когда стоимость одного из них увеличивалась, стоимость другого уменьшалась. Пары активов, подобные этой, могут быть исключительно ценными, так как с их помощью можно очень сильно снижать риск. Однако, увы, их также бывает очень трудно найти. Курсовые стоимости большинства активов движутся в одном и том же направлении: когда растет курс акций "General Motors Company", растет и курс акций компании "Ford". Но поскольку движение цен активов не характеризуется совершенной положительной корреляцией,  могут возникать некоторые выгоды от диверсификации.

 

Страхование

 

Кое-что о страховании  уже было сказано в ответе на вопрос о склонности индивида к риску. Так  же показательным является спрос  на страхование. Применим функцию ожидаемой полезности к спросу на страхование, рассматривавшемуся нами ранее. Вспомним, что в примере, о котором идет речь, индивид имел богатство стоимостью 35 000 долл. и мог понести убытки в размере 10 000 долл. Вероятность убытков составляла 1 процент, и покупка страхового полиса на сумму K долларов обходилась ему в rK долларов. Исследуя эту задачу выбора с помощью кривых безразличия, мы увидели, что оптимальный выбор суммы страхования определяется условием равенства MRS потребления при одном исходе потреблением при другом исходе - в случае убытков или в случае отсутствия убытков - отношению . Обозначим через вероятность того, что убытки будут иметь место, и через () вероятность того, что ее не будет.

 

 

 

Рис.12.3 Потребитель, расположенный  к риску. Для потребителя, расположенного к риску, ожидаемая полезность богатства, 0,5u(5)+0,5u(15), больше полезности ожидаемого значения богатства, u(10).

 

Пусть состояние 1 - это ситуация. в которой убытков нет, так что богатство потребителя в этом состоянии есть

 

,

 

и пусть состояние 2 - это  ситуация несения убытков, которой  соответствует богатство

 

.

 

Тогда оптимальный выбор  суммы страхования потребителем определяется условием равенства MRS его  потребления при одном исходе потреблением при другом исходе отношению  цен:

 

Теперь посмотрим на страховой  контракт с точки зрения страховой  компании. С вероятностью  ей придется выплатить K и с вероятностью  - ничего. Независимо от исхода, она  получит премию . Тогда ожидаемая прибыль страховой компании, P, есть

 

.

 

Предположим, что в среднем  контракт является для страховой  компании безубыточным. Иными словами, она предлагает страхование по "справедливой" ставке страховой премии, где " справедливая" означает то, что ожидаемое значение суммы страхования как раз  равно издержкам на него. Тогда  мы получаем

 

,

 

что подразумевает .

 

Подставив это выражение  в уравнение (12.1), получаем

 

.

 

Взаимно уничтожив , получаем, что оптимальная сумма страховки должна удовлетворять условию

 

 

 

В этом уравнении говорится, что предельная полезность дополнительного  доллара дохода в случае потери должна равняться предельной полезности дополнительного  доллара дохода в случае отсутствия потери.

 

Предположим, что потребитель  не расположен к риску, так что  по мере увеличения имеющейся у него суммы денег предельная полезность денег для него снижается. Тогда, если , предельная полезность при будет меньше, чем предельная полезность при , и наоборот. Более того, если предельные полезности дохода при и равны, как в уравнении (12.2), то должно соблюдаться  . Применив формулы для и , мы находим:

 

,

 

что подразумевает K=10 000$. Это  означает, что, имея шанс заплатить  за страховой полис "справедливую" премию, потребитель, не расположенный  к риску, всегда предпочтет застраховаться полностью.

 

Это происходит потому, что  полезность богатства в каждом состоянии  зависит только от общей величины богатства, имеющейся у потребителя  в этом состоянии, - а не от того, что  он мог бы иметь в каком-то другом состоянии - так что, если общие величины богатства, имеющиеся у потребителя в каждом состоянии, равны, то предельные полезности богатства также должны быть равны.

 

Подытожим сказанное: если потребителю, который не расположен к риску  и максимизирует ожидаемую полезность, предлагается сделка справедливого  страхования от убытков, он предпочтет в оптимуме застраховаться полностью.