ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

… ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ  

Кафедра ….

Контрольная работа

по  курсу «Моделирование микроэкономических процессов и систем»

по  теме «Модели управления производственными  запасами с учетом спроса и цен на продукцию» 
 
 
 
 
 
 

                                                         Выполнила: студентка группы ………

                                                      Проверил: …………… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание 
Введение………………………………………………………………………….....….............3

1. Сущность  теории управления запасами………………………….................................….4

1.1. Основные  понятия…………………………………..……………………….....................4

1.2. Классификация  моделей управления запасами…………..…………..........…...........….5

2. Статические  модели управления запасами...........................……………………...............9

2.1. Однопродуктовая  статическая модель………………………............…………..............9

2.2. Однопродуктовая  статическая модель с разрывами цен……..........………..…...........10

2.3. Статическая  детерминированная модель без  дефицита……………............…............10

2.4. Статическая  детерминированная модель с дефицитом……………............….............13

2.5. Многопродуктовая  статическая модель с ограничениями на ёмкость складских помещений…………………………………………………............……................................16

2.6. Стохастические  модели управления запасами............................…………...........……16

2.7. Стохастические модели управления запасами с фиксированным временем задержки поставок…………………………….………………............................…............................…18

Заключение....... ………………………………………………………………………............20

Список использованной литературы.

Введение

Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов: ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени (конечном или бесконечном). В задаче управления запасами требуется определить количество заказываемой продукции и сроки размещения заказа. Спрос можно удовлетворить путём однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствую избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени).

При избыточном запасе требуется более высокие  удельные (отнесённые к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает раже и частота размещения заказов меньше. С другой стороны, при недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастает. Для любого из указанных крайних случаев характерны значительные экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации соответствующей функции общих затрат, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита.

Тема  данной работы крайне актуальна на сегодняшнем этапе развития российской экономики, когда для предприятий  большое значение приобретает рациональное управление производственными ресурсами. В его совершенствовании заложены резервы роста эффективности производства продукции, повышения ее качества, снижения непроизводительных потерь и себестоимости продукции. Расчет оптимальных нормативов приобретения и расходования производственных запасов позволяет ускорить оборачиваемость производственных запасов, снизить затраты на их хранение и обеспечивает в конечном итоге повышение эффективности производства в целом.

• 1. Сущность теории управления запасами

• 1.1. Основные  понятия

В современной  экономической практике обозначено значительное число моделей управления запасами, для решения которых используется разнообразный математический аппарат - от простых схем анализа до сложных алгоритмов математического программирования. Рассмотрим основные характеристики моделей управления запасами.

Спрос. Спрос на запасаемый продукт может быть детерминированным (в простейшем случае - постоянным во времени) или случайным. Случайность спроса описывается либо случайным моментом спроса, либо случайным объемом спроса в детерминированные или случайные моменты времени.

Пополнение склада. Пополнение склада может осуществляться либо периодически через определенные интервалы времени, либо по мере исчерпания запасов, т. е. снижения их до некоторого уровня.

Объем заказа. При периодическом пополнении и случайном исчерпании запасов объем заказа может зависеть от того состояния, которое наблюдается в момент подачи заказа. Заказ обычно подается на одну и ту же величину при достижении запасом заданного уровня — так называемой точки заказа.

Время доставки. В идеализированных моделях управления запасами предполагается, что заказанное пополнение доставляется на склад мгновенно. В других моделях рассматривается задержка поставок на фиксированный или случайный интервал времени.

Стоимость поставки. Как правило, предполагается, что стоимость каждой поставки слагается из двух компонент — разовых затрат, не зависящих от объема заказываемой партии, и затрат, зависящих от объема партии.

Издержки  хранения. В большинстве моделей управления запасами считают объем склада практически неограниченным, а в качестве контролирующей величины служит объем хранимых запасов. При этом полагают, что за хранение каждой единицы запаса в единицу времени взимается определенная плата.

Штраф за дефицит. Любой склад создается для того, чтобы предотвратить дефицит определенного типа изделий в обслуживаемой системе. Отсутствие запаса в нужный момент приводит к убыткам, связанным с простоем оборудования, неритмичностью производства и т. п. Эти убытки в дальнейшем будем называть штрафом за дефицит.

Номенклатура  запаса. В простейших случаях предполагается, что на складе хранится запас однотипных изделий или однородного продукта. В более сложных случаях рассматривается многоменклатурный запас.

Структура складской системы. Наиболее полно разработаны математические модели одиночного склада. Однако на практике встречаются и более сложные структуры: иерархические системы складов с различными периодами пополнения и временем доставки заказов, с возможностью обмена запасами между складами одного уровня иерархии и т. п.

В качестве критерия эффективности принятой стратегии управления запасами выступает функция затрат (издержек), представляющая суммарные затраты на хранение и поставку запасаемого продукта (в том числе потери от порчи продукта при хранении и его морального старения, потери прибыли от омертвления капитала и т. п.) и затраты на штрафы. 


     Рис. 1 иллюстрирует зависимость четырёх  компонент затрат обобщенной модели управления запасами от уровня запаса. Отметим, что модель управления запасами не обязательно должна включать все  виды затрат, так как некоторые из них могут быть не значительными, а иногда учёт всех видов затрат чрезмерно усложняет функцию суммарных затрат. На практике какую-либо компоненту затрат можно не учитывать при условии, что она не составляет существенную часть общих затрат.

Управление  запасами состоит в отыскании  такой стратегии пополнения и  расхода запасами, при котором  функция затрат принимает минимальное значение.

• 1.2. Классификация  моделей управления запасами

Имеющееся на сегодняшний день разнообразие моделей управления запасами и методов решения соответствующих задач, базирующихся на различном математическом аппарате: от простых схем дифференциального и интегрального исчисления до сложных алгоритмов динамического и других видов математического программирования определяется характером спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (задаваемым плотностью вероятности). На рисунке 2 приведена схема классификации спроса, обычно принимаемая в моделях управления запасами.

     Рис. 2.

Детерминированный спрос может быть статическим, в  том смысле, что интенсивность  потребления остаётся неизменной во времени, или динамическим, когда  спрос известен достоверно, но изменяется в зависимости от времени. Вероятностный  спрос может быть стационарным, когда функция плотности вероятности спроса неизменна во времени, и нестационарным, когда функция плотности вероятности спроса изменяется во времени.

В реальных условиях случай детерминированного статистического  спроса встречается редко. Такой  случай можно рассматривать как простейший. Так, например, хотя спрос на такие продукты массового потребления, как хлеб, может меняться от одного дня к другому, эти изменения могут быть столь незначительными, что предположение статичности спроса несущественно искажает действительность.

Наиболее  точно характер спроса может быть, возможно, описан посредством вероятностных  нестационарных распределений. Однако с математической точки зрения модель значительно усложняется, особенно при увеличении рассматриваемого периода времени.

Рисунок 2 иллюстрирует возрастание математической сложности модели управления запасами при переходе от детерминированного статического спроса к вероятностному стационарному спросу. По существу, классификацию рисунка 2 можно считать  представлением различных уровней абстракции описания спроса.

На первом уровне предполагается, что распределение  вероятности спроса стационарно  во времени. Это означает, что для  описания спроса в течение всех исследуемых  периодов времени используется одна и та же функция распределения вероятностей. При таком предположении влияние сезонных колебаний спроса в модели не учитывается.

На втором уровне абстракции учитывается изменение  спроса от одного периода к другому. Однако при этом функции распределения  не меняются, а потребности в каждом периоде описываются средней величиной спроса. Это упрощение означает, что элемент риска в управлении запасами не учитывается. Однако оно позволяет исследовать сезонные колебания спроса, которые вследствие аналитических и вычислительных трудностей нельзя учесть вероятностной модели. Другими словами, здесь возникает определенный компромисс: можно использовать, с одной стороны, стационарные распределения вероятностей, а с другой – переменную, но известную функцию спроса при допущении «определённости».

На третьем  уровне упрощения исключаются как  элементы риска, так и изменения  спроса. Тем самым спрос в течение  любого периода предполагается равным среднему значению известного (по предположению) спроса по всем рассматриваемым периодам. В результате этого упрощения спрос можно оценить его постоянной интенсивностью.

Хотя  характер спроса является одним из основных факторов при построении модели управления запасами, имеются другие факторы, влияющие на выбор типа модели. К их числу относятся:

1. Запаздывание поставок или сроки выполнения заказов. После размещения заказов он может быть поставлен немедленно или потребуется некоторое время на его выполнение. Интервал времени между моментом размещения заказа и иго поставкой называется запаздыванием поставки, или сроком выполнения заказа. Эта величина может быть детерминированной или случайной.
2. Пополнение запаса. Хотя система управления запасами может функционировать при запаздывании поставок, процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно или равномерно во времени. Мгновенное пополнение запаса может происходить при условии, когда заказы поступают от внешнего источника. Равномерное пополнение может быть тогда, когда запасаемая продукция производится сомой организацией. В общем случае система может функционировать при положительном запаздывании поставки и равномерном пополнении запаса.
3. Период времени определяет интервал, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса. В зависимости от отрезка времени, на котором можно надёжно прогнозировать рассматриваемый период принимается конечным или бесконечным.
4. Число пунктов накопления запаса. В систему управления запасами может входить несколько пунктов хранения запаса. В некоторых случаях эти пункты организованны таким образом, что один выступает в качестве поставщика для другого. Эта схема иногда реализуется на различных уровнях, так что пункт – потребитель одного уровня может стать пунктом – поставщиком на другом. В таком случае принято говорить о системе управления запасами с разветвленной структурой.
5. Число видов продукции. В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции. Это фактор учитывается при условии наличия некоторой зависимости между различными видами продукции. Так, для различных изделий может использоваться одно и то же складское помещение или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие производственные фонды.

Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала  бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Рассмотрим модели, соответствующие некоторым системам управления запасами.

Пусть функции A(t), B(t) и R(t) выражают соответственно пополнение запасов, их расход и спрос на запасаемый продукт за промежуток времени [0, t]. В моделях управления запасами обычно используются производные этих функций по времени a(t), b(t), r(t), называемые соответственно интенсивностями пополнения, расхода и спроса.

Если  функции a(t), b(t), r(t) — не случайные величины, то модель управления запасами считается детерминированной, если хотя бы одна из них носит случайный характер — стохастической. Если все параметры модели не меняются во времени, она называется статической, в противном случае — динамической. Статические модели используются, когда принимается разовое решение об уровне запасов на определенный период, а динамические — в случае принятия последовательных решений об уровнях запаса или корректировке ранее принятых решении с учетом происходящих изменений. На рисунке 3 приведена схема классификации статических моделей.

       
 
 
 
 


Рис. 3. 


     Уровень запаса в момент t определяется основным уравнением запасов

                                                                                             (1.1)

где - начальный запас в момент t = 0. Уравнение (1.1) чаще используется в интегральной форме:

                                                                                 (1.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


2. Статические модели управления запасами

2.1. Однопродуктовая  статическая модель

Однопродуктовая статическая модель является простейшей моделью управления запасами. В ней  спрос принимается постоянным во времени, а пополнение запаса - мгновенным. В данной модели предполагается отсутствие дефицита, а поэтому рассматривается лишь текущий запас, уровень которого колеблется от максимального, равного объему партии в момент ее поступления, до минимального, равного нулю. Такую модель можно применять в следующих типичных ситуациях:

1. Использование осветительных ламп в здании;
1. Использование канцелярских товаров крупной фирмы;
2. Использование некоторых промышленных изделий (гайки, болты и пр.);
3. Потребление основных продуктов питания (например, хлеба и молока).

   На  рисунке 4 показано изменение уровня запаса во времени.

Рис. 4.

Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу  времени) равна  . Наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером y (предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой). Уровень запаса достигает нуля спустя y/ единиц времени после получения заказа размером у. Чем меньше размер заказа у, тем чаще нужно размещать заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением размера заказов уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже (рис. 5.). 


      Рис. 5. 


2.2. Однопродуктовая статическая модель с разрывами цен

Применяется, когда цена единицы продукции  зависит от размеров закупаемой партии. В таких случаях цена меняется скачкообразно или предоставляются  оптовые скидки. При этом в модели управления запасами необходимо учитывать затраты на приобретение.

На  рисунке 6 показаны графики двух функций  суммарных затрат на единицу времени. Из вида функций затрат U1(y) и U2(y) следует, что оптимальный размер заказа у* зависит от того, где по отношению к трём показанным на рисунке зонам I, II, III находится точка разрыва цены q. 
 


Рис. 6       

2.3. Статическая  детерминированная модель без  дефицита

Предположение о том, что дефицит не допускается, означает полное удовлетворение спроса на запасаемый продукт, т.е. совпадение функций r(t) и b(t). Пусть общее потребление запасаемого продукта за рассматриваемый интервал времени равно N. Рассмотрим простейшую модель, в которой предполагается, что расходование запаса происходит непрерывно с постоянной интенсивностью, т.е. b(t)=b. Эту интенсивность можно найти, разделив общее потребление продукта на время, в течение которого он расходуется:

                                                                                                                      (2.3)

Пополнение  заказа происходит партиями одинакового  объема, т.е. функция a(t) не является непрерывной: a(t)=0 при всех t, кроме моментов поставки продукта, когда a(t)=n, где n — объем партии. Так как интенсивность расхода равна b, то вся партия будет использована за время

                                                                                                                        (2.4) 
 


                            Рис. 7                                                                   Рис. 8

Если  отсчет времени начать с момента  поступления первой партии, то уровень  запаса в начальный момент равен  объему этой партии n, т.е. J(0)=n. Графически уровень запаса в зависимости от времени представлен на рис. 7.

На временном  интервале [0, T] уровень запаса уменьшается по прямой от значения n до нуля. Так как дефицит не допускается, то в момент T уровень запаса мгновенно пополняется до прежнего значения n за счет поступления партии заказа. И так процесс изменения J(t) повторяется на каждом временном интервале продолжительностью Т (см. рис. 7).

Задача  управления запасами состоит в определении  такого объема партии n, при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальными.

Обозначим суммарные затраты через С, затраты  на создание запаса — через С₁, затраты на хранение запаса — через С₂ и найдем эти величины за весь промежуток времени Т.

Пусть затраты на доставку одной партии продукта, не зависимые от объема партии, равны с₁, а затраты на хранение одной единицы продукта в единицу времени — с₂. Так как за время необходимо запастись N единицами продукта, который доставляется партиями объема n, то число таких партий k равно:

                                                                                                                 (2.5)

     Отсюда  получаем                                                                      (2.6)

Мгновенные  затраты хранения запаса в момент времени t равны c₂J(t). Значит, за промежуток времени [0, Т] они составят или, учитывая (2.4):

     

Средний запас за промежуток [0, Т] равен nТ/2, т.е. затраты на хранение всего запаса при линейном (по времени) его расходе равны затратам на хранение среднего запаса.

Учитывая  периодичность функции J(t) (всего за промежуток времени будет «зубцов», аналогичных рассмотренному на отрезке [0, Т]), и формулу (2.5), получаем, что затраты хранения запаса за промежуток времени равны:

                                                                        (2.7)

Нетрудно  заметить, что затраты С₁ обратно пропорциональны, а затраты С₂ прямо пропорциональны объему партии n. Графики функций С₁(n) и С₂(n), а также функции суммарных затрат

                                                                                                              (2.8)

приведены на рис. 8.

В точке  минимума функции С(n) ее производная

, откуда

                                                                                                              (2.9)

или, учитывая (2.3):

                                                                                                                  (2.10)

Формула (2.10), называемая формулой Уилсона или  формулой наиболее экономичного объема партии, широко используется в экономике. Эта формула может быть получена и другим способом, если учесть, что  произведение есть величина постоянная, не зависящая от n. В этом случае, как известно, сумма двух величин принимает наименьшее значение, когда они равны, т. е. С₁ =C₂ или

                                                                                                            (2.11)

откуда  получаем (2.9).

Из (2.11) следует, что минимум общих затрат задачи управления запасами достигается, когда затраты на создание запаса равны затратам на хранение запаса. При этом минимальные суммарные затраты

                                                                                                  (2.12)

откуда, учитывая (2.9) и (2.3), получим 

или                                                                                                       (2.13)

Число оптимальных партий за время  с учетом (2.5), (2.9) и (2.3) равно:

     

Время расхода оптимальной партии на основании (2.4) с учетом (2.9) и (2.3) равно                                                                                                   (2.14)

или                                                                                                 (2.15)

На практике, естественно, объем партии может  отличаться от оптимального , вычисленного по (2.9). Разложим функцию С(n) в ряд Тейлора в окрестности точки , ограничившись первыми тремя членами ряда при достаточно малых изменениях объема партии : 


Учитывая, что при  , а C₀=C( ) определяется по формуле (2.12), найдем:

 

или                                                                                                           (2.16)

Формула (2.16) свидетельствует об определенной устойчивости суммарных затрат по отношению  к наиболее экономичному объему партии, ибо при малых  относительное изменение затрат примерно на порядок меньше относительного изменения объема партии по сравнению с оптимальным. 
 


2.4. Статическая  детерминированная модель с дефицитом

В рассматриваемой  модели будем полагать наличие дефицита. Это означает, что при отсутствии запасаемого продукта, т.е. при J(t)=0 спрос сохраняется с той же интенсивностью r(t)=b, но потребление запаса отсутствует — b(t)=0, вследствие чего накапливается дефицит со скоростью b. График изменения уровня запаса в этом случае представлен на рис. 9. Убывание графика ниже оси абсцисс в область отрицательных значений в отличие от графика на рис. 8 характеризует накопление дефицита.

Из рис. 9 видно, что каждый период «пилы» разбивается на два временных интервала, т. е. Т=Т₁+Т₂, где Т₁ - время, в течение которого производится потребление запаса, Т₂ - время, когда запас отсутствует и накапливается дефицит, который будет перекрыт в момент поступления следующей партии. 


Рис. 8 


Необходимость покрытия дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса s в момент поступления каждой партии теперь не равен ее объему n, а меньше его на величину дефицита n-s, накопившегося за время Т₂ (см. рис. 8). Из геометрических соображений легко установить, что

                                                                                              (2.17)

В данной модели в функцию суммарных затрат С наряду с затратами C₁ (на пополнение запаса) и С₂ (на хранение запаса) необходимо ввести затраты С₃ — на штраф из-за дефицита, т.е. .

Затраты C₁, как и ранее, находим по формуле (2.11). Затраты С₂ при линейном расходе запаса равны затратам на хранение среднего запаса, который за время потребления Т₁ равен sT₁/2; поэтому с учетом (2.7) и (2.5) эти затраты составят

                                                                             (2.18)

При расчете  затрат С₃ будем считать, что штраф за дефицит составляет в единицу времени с₃ на каждую единицу продукта. Так как средний уровень дефицита за период T₂ равен (n-s)T₂/2, то штраф за этот период T₂ составит 1/2c₃(n-s)T₂, а за весь период с учетом (2.7) —

                                                (2.19)

Теперь, учитывая (2.12), (2.18) и (2.19), суммарные затраты равны

                                                                                  (2.20)

Нетрудно  заметить, что при n=s формула (2.19) совпадает с ранее полученной (2.8) в модели без дефицита.

Рассматриваемая задача управления запасами сводится к отысканию такого объема партии n и максимального уровня запаса s, при которых функция С (2.19) принимает минимальное значение. Другими словами, необходимо исследовать функцию двух переменных С(n,s) на экстремум. Приравнивая частные производные к нулю, получим после преобразований систему уравнений:

                                                                                    (2.21)

Решая систему, получаем формулы наиболее экономичного объема партии и максимального уровня запаса для модели с дефицитом¹:

                                                                            (2.22)

                                                                                                    (2.23)

 Величина

                                                                                                                  (2.24)

называется  плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса и играет важную роль в управлении запасами. Заметим, что  . Если значение с₃ мало по сравнению с с₂, то величина близка к нулю: когда с₃ значительно превосходит с₂, то близка к 1. Недопустимость дефицита равносильна предположению, что с₃ = или = 1.

Используя (2.24), основные формулы (2.22) и (2.23) можно  записать компактнее:

                                                                                                             (2.25)

                                                                                                                 (2.26)

Следует учесть, что в силу (2.17) и (2.26) и . Поэтому утверждение о том, что плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса равна , означает, что в течение (1- )100% времени от полного периода T запас продукта будет отсутствовать.

Из сравнения  формул (2.25) и (2.10) следует, что оптимальные  объемы партий для задач с дефицитом  и без дефицита при одинаковых параметрах связаны соотношением

                                                                                                                 (2.27)

откуда  вытекает, что оптимальный объем  партии в задаче с дефицитом всегда больше (в  раз), чем в задаче без дефицита. 
 


2.5. Многопродуктовая  статическая модель с ограничениями  на ёмкость складских помещений

     Эта модель предназначена для системы  управления запасами, включающей n > 1 видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади. Пусть А - максимально допустимая площадь складского помещения для n видов продукции; a_i - площадь, необходимая для хранения единицы продукции i-го вида; y_i - размер заказа на продукцию i-го вида. Задача сводится к минимизации при для всех i. 


2.6. Стохастические  модели управления запасами

Рассмотрим  стохастические модели управления запасами, у которых спрос является случайным. Этот факт существенным образом сказывается  на характере соответствующих моделей  и значительно усложняет их анализ, в связи с чем ограничимся рассмотрением наиболее простых моделей.

Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения р(r) или плотность вероятностей (обычно функции р(r) и оцениваются на основании опытных или статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то приобретение (хранение, продажа) излишка продукта требует дополнительных затрат с₂ на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с₃ на единицу продукции.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной  величиной, рассматривают ее среднее  значение или математическое ожидание.

В рассматриваемой  модели при дискретном случайном  спросе r, имеющем закон распределения р(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид²:

                                                                              (3.28) 


В выражении (3.28) первое слагаемое учитывает  затраты на приобретение (хранение) излишка s - r единиц продукта (при ), а второе слагаемое - штраф за дефицит на r - s единиц продукта (при ).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого  плотностью вероятностей , выражение C(s) принимает вид:

                                                                         (3.29)

Задача  управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (3.28) или (3.29) принимает минимальное значение. Доказано, что при дискретном случайном спросе r выражение (3.28) минимально при запасе s₀, удовлетворяющем неравенствам

                                                                                                     (3.30)

а при  непрерывном случайном спросе r выражение (3.29) минимально при значении s₀ , определяемом из уравнения

                                                                                                                   (3.31)

где

                                                             F(s) = p(r < s)                                             (3.32)

есть функция распределения спроса r, F(s₀) и F(s₀ +1) - ее значения; - плотность убытков из-за неудовлетворенного спроса, определяемая по (2.24). 
 


Рис. 9 


Оптимальный запас s₀  при непрерывном спросе по данному значению может быть найден и графически (рис. 9).

В условиях рассматриваемой модели предположим, что расходование запаса происходит непрерывно с одинаковой интенсивностью. Такую ситуацию можно представить  графически (рис. 10).

                             а                                                                                      б

Рис. 10 


Рис. 10-а  соответствует случаю , когда спрос не превосходит запаса, а рис. 10-б — случаю, когда спрос превышает запас, т.е. r > s. Следует отметить, что на самом деле график J(t) представляет ступенчатую ломаную, показанную на рис. 10 пунктиром, но для исследования модели нам проще рассматривать J(t)  в виде прямой, сглаживающей эту ломаную.

     Средний запас, соответствующий рис. 10-а, равен

                                                                                            (3.33)

     Средний запас, соответствующий рис. 10-б с  учетом формулы (2.17), в которой полагаем n = r, составляет

                                                                                                         (3.34)

     Средний дефицит продукта за период T₂ для случая, соответствующего рис. 10-б с учетом (2.17), где n = r, равен

                                                                                      (3.35)

     Математическое  ожидание суммарных затрат составит:

                                       (3.36)

     Доказано, что в этом случае математическое ожидание (3.36) минимально при запасе s₀, удовлетворяющем неравенству

                                                                                                     (3.37)

где по-прежнему определяется по формуле (2.24):

                                                                                                (3.38)

L(s₀) и L(s₀+ 1) — значения функции (3.38), a F(s) находится в соответствии с определением (3.32). 
 


2.7. Стохастические  модели управления запасами с  фиксированным

временем  задержки поставок 


В рассмотренных  выше идеализированных моделях управления запасами предполагалось, что пополнение запаса происходит практически мгновенно. Однако в ряде задач время задержки поставок может оказаться настолько значительным, что его необходимо учитывать в модели.

Пусть за время задержек поставок уже заказаны n партий по одной в каждый из n периодов продолжительностью Т = /n.

Обозначим:

s_нз  — первоначальный уровень запаса (к началу первого периода);

s_i — запас за i-й период;

r_i, — спрос за i-и период;

q_i — пополнение запаса за i-и период.

     Тогда к концу n-го периода на склад поступит единиц продукта, а будет израсходовано , единиц, т.е

                                                                                                       (3.39)

или

                                                              s_n=s – r                                                         (3.40)

где

                                                                                                                  (3.41)

                                                                                                                       (3.42)

Требуется найти оптимальный объем партии заказа, который необходимо сделать за последний n-й период, предшествующий поступлению сделанного ранее заказа.

Математическое  ожидание суммарных затрат в этом случае определяется по формуле (3.28), а  оптимальный запас s находится по формуле (3.30), т.е.

                                                                                                     (3.43)

Найдя оптимальный запас s₀ и зная q₁,q,₂,…,q_n-1, можно вычислить q_n  по формуле (3.41), т.е.

                                                                                                     (3.44) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


• Заключение
 
 


Заключение 
 


В любой  задаче управления запасами решается вопрос выбора размеров и сроков размещения заказов на запасаемую продукцию. К  сожалению, общее решение этой задачи нельзя получить на основе одной модели. Поэтому разработаны самые разнообразные модели, описывающие различные частные случаи. Одним из решающих факторов при разработке модели управления запасами является характер спроса. В наиболее простых моделях предполагается, что спрос является статическим детерминированным.

В большинстве  моделей управление запасами осуществляется оптимизацией функции затрат, включающей затраты на оформление заказов, закупку  и хранение продукции, а также  потери от дефицита. Потери от дефицита обычно наиболее сложно оценить т.к. они могут быть обусловлены такими нематериальными факторами, как, например, ухудшение репутации. С другой стороны, хотя оценку затрат на оформление заказа получить нетрудно, включение в модель этой статьи расходов существенно усложняет математическое описание задачи.

Известные модели управления запасами редко точно  описывают реальную систему. Поэтому  решение, получаемое на основе моделей  этого класса, следует рассматривать  скорее как принципиальные выводы, а не конкретные рекомендации. Найти аналитически оптимальные значения точки запаса и объема партии удается только в относительно простых случаях.

Если  же система хранения запасов имеет  сложную структуру (много видов  хранимой продукции, иерархическая система складов), используемые стохастические модели сложны, а их параметры меняются во времени, то единственным средством анализа такой системы становится имитационное моделирование, позволяющее имитировать («проигрывать») на ЭВМ функционирование системы, исследуя ее поведение при различных условиях, значениях параметров, отражая их случайный характер, изменение во времени и т. п.

• Список  использованной литертуры
 

1. Балашевич В.А., Андронов А.М.. Экономико-математическое моделирование производственных систем – М.: Университетское, 2005.
2. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. — М.: Компьютер, ЮНИТИ, 2007.
3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н.. Математические методы в экономике. - М.: ДИС, 2007.
4. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Статистика, 2008.
5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2009.
6. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. — Минск: Вышэйшая школа, 2004.
7. Математическое программирование / Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: Финстатинформ, 2005.
8. Первозванский А.А., Первозванская. Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. - М.: ИНФРА-М, 2007.
9. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений.- М.: Аудит, 2007.