Модели олигополии

P = a - bQ,(11.6) 

где 

Q = q1 + q2.(11.7) 

Подставив (11.7) в (11.6), получим 

P = a - b(q1 + q2).(11.6*) 

Тогда прибыли дуополистов можно представить как разности между выручкой и затратами на выпуск каждого из них: 

p₁ = TR1 - cq1 = Pq1 - cq1,(11.8)

p₂ = TR2 - cq2 = Pq2 - cq2 

Подставив в правые части (11.8) значение Р из (11.6*), получим 

p₁ = aq1 - bq12 - bq1q2 - cq1,(11.9)

p₂ = aq2 - bq22 - bq1q2 - cq2.(11.9*) 

Условием  максимизации прибылей дуополистов будет равенство нулю первых производных уравнений (11.9), (11.9*): 

∂p₁ /∂q1 = a - 2bq1 - bq2 - c = 0,(11.10)

∂p₂ /∂q2 = a - 2bq2 - bq1 - c = 0.(11.10*) 

Уравнения (11.10), (11.10*) могут быть переписаны так: 

2bq1 + bq2 + c = a,(11.11)

2bq2 + bq1 + c = a.(11.11*) 

Откуда  после несложных преобразований получим 

q1 = (a - c)/2b - 1/2 q2,(11.12)

q2 = (a - c)/2b - 1/2 q1.(11.12*) 

Это и  есть уравнения кривых реагирования дуополистов

Им на рис. 11.3 соответствуют линии R1(q2) и R2(q1). Равновесные выпуски Курно определяются подстановкой (11.12*) в (11.12) для определения q*1 и соответственно (11.12) в (11.12*) для определения q*2 (или с использованием правила Крамера). После подстановки имеем 

q*1 = (a - c)/3b,(11.13)

q*2 = (a - c)/3b, 

и следовательно, 

Q* = (q*1 + q*2) = 2(a - c)/3b.(11.14) 

Равновесные выпуски дуополистов (11.13) и являются координатами точки равновесия выпусков Курно - Нэша (точка C-N на рис. 11.3).

Говорят, что рынок находится в состоянии  равновесия Нэша, если каждое предприятие придерживается стратегии, являющейся лучшим ответом на стратегии, которым следуют другие предприятия отрасли. Или, иначе, рынок находится в состоянии равновесия Нэша, если ни одно предприятие не хочет изменить своего поведения в одностороннем порядке. Такой тип равновесия назван равновесием Нэша в честь американского математика и экономиста, нобелевского лауреата по экономике (1994) Джона Нэша. Равновесие Курно - частный случай равновесия Нэша, а именно это такой вид равновесия Нэша, когда стратегия каждого предприятия заключается в выборе им своего объема выпуска.

Подставив теперь значения равновесных выпусков из (11.13) в (11.6*), найдем значение равновесной  цены дуополии Курно: 

P* = a - b ∙ 2(a - c)/3 = a/3 + 2c/3.(11.16) 

Следовательно, равновесные цены и объемы выпуска  дуополистов Курно одинаковы, что объясняется однородностью их продуктов (близостью товаров-субститутов) и равенством их затрат на производство. 
 
 

МОДЕЛЬ ЧЕМБЕРЛИНА 

Модель  дуополии Чемберлина предполагает, что дуополисты не столь наивны, как в модели Курно, что они способны сделать определенные выводы из собственного опыта. Они не будут, в частности, придерживаться предположения о заданности объемов выпуска друг друга, если видят, что выпуск соперника изменяется в ответ на их собственные решения. И, в конце концов, они поймут, что в интересах каждого из них действовать так, чтобы их совместная прибыль была бы максимальной.

Таким образом, не вступая в сговор, они придут к желательности установления монопольной цены на свою (однородную) продукцию. Сходство рис. 11.5 и 11.1 указывает на известную близость моделей Чемберлина и Курно. Исход олигополии Чемберлина аналогичен решению Курно для монополии (11.17), (11.18), в чем нетрудно убедиться. Очевидно, что общий выпуск обоих дуополистов составит 

Q = 2qi = (a - c)/2b.(11.41) 

Подставив (11.41) в (11.36), найдем значение цены: 

Pm = (a + c)/2.(11.42) 

Результаты (11.41) и (11.42) аналогичны (11.17) и (11.18).

Модели  дуополии Курно и Чемберлина различаются предположениями продавцов о поведении друг друга. В модели Курно дуополисты при определении своих прибылемаксимизирующих выпусков рассматривают выпуски друг друга как некие заданные параметры, константы. В модели Чемберлина каждый дуополист исходит из предположения о том, что выпуск соперника будет меняться некоторым согласующимся с его собственными, интересами образом. Такое предположение в принципе представляется более реалистичным. Ведь при однородности выпускаемой продукции оба дуополиста оказываются, если можно так сказать, "в одной лодке" и действия каждого из них объективно должны быть направлены на то, чтобы удержать "лодку" на плаву и не сбиться с курса. И как любая пара гребцов, они стремятся действовать в унисон.

Однако  это предположение отнюдь не бесспорно. Максимизация общей (совокупной) прибыли  олигополии (дуополии), как мы увидим в разделе 11.3, весьма проблематична  даже при наличии сговора. Тем  более она маловероятна в его  отсутствии, когда предприятия действуют  на свой страх и риск. Ведь для  максимизации общей прибыли продавцы должны иметь представление о  кривой рыночного спроса и кривых затрат (которые в действительности не являются нулевыми) друг друга. Иметь  одинаковые представления о них  при отсутствии сговора вряд ли возможно. Кроме того, как и модель Курно, модель Чемберлина закрыта в том смысле, что она не учитывает возможности входа в отрасль других продавцов. А ведь монопольная цена в дуополии Чемберлина является отличной приманкой для вторжения на ее рынок предприятий-новичков (англ. entrants), а тогда равновесие в модели Чемберлина окажется нестабильным.

Если  вход в отрасль свободен, необходимы дополнительные предпосылки относительно поведения (и взаимоотношений) изначально укоренившихся в отрасли дуополистов и новичков.

МОДЕЛЬ  ШТАКЕЛЬБЕРГА 

Модель  асимметричной дуополии, предложенная Г. фон Шта-кельбергом в 1934 г., представляет развитие моделей количественной дуополии Курно и Чемберлина. Асимметрия дуополии Штакельберга заключается в том, что дуополисты могут придерживаться разных типов поведения - стремиться быть лидером (англ. leader) или оставаться последователем (англ, follower). Последователь Штакельберга придерживается предположений Курно, он следует своей кривой реагирования и принимает решения о прибылемаксимизирующем выпуске, полагая выпуск соперника заданным. Лидер Штакельберга, напротив, не столь наивен, как обыкновенный дуополист Курно, Он настолько изощрен в понимании рыночной ситуации, что не только знает кривую реагирования соперника, но и инкорпорирует ее в свою функцию прибыли, так что последняя принимает вид 

p_i = f(q_i, R_j, (q_i)). (11.43) 

А затем  он максимизирует свою прибыль, действуя подобно монополисту.

Ясно, что  в случае дуополии возможны четыре комбинации двух типов поведения.

1. Дуополист 1 - лидер, дуополист 2 - последователь.

2. Дуополист 2 - лидер, дуополист 1 - ∙ последователь.

3. Оба  дуополиста ведут себя как последователи.

4. Оба  дуополиста ведут себя как лидеры.

В случаях 1 и 2 поведение дуополистов совместимо, один ведет себя как лидер, другой - как последователь. Здесь не возникает конфликта и исход их взаимодействия стабилен. Случай 3 по сути представляет ситуацию дуополии Курно, оба дуополиста руководствуются своими кривыми реагирования, и исход их взаимодействия стабилен. Нередко поэтому говорят, что модель Курно - это частный случай модели Штакельберга.

А вот  в последнем случае, когда оба  дуополиста стремятся стать лидерами, каждый из них предполагает, что соперник будет вести себя в соответствии со своей кривой реагирования, т. е. как монополист Курно, тогда как на деле ни один из них не придерживается такого типа поведения. Исходом подобного взаимодействия становится неравновесие Штакельберга, ведущее к развязыванию ценовой войны. Она будет продолжаться до тех пор, пока один из дуополистов не откажется от своих притязаний на лидерство либо дуополисты вступят в сговор. Сам Штакельберг считал именно случай 4 наиболее обычным исходом дуополии. Рассмотрим возможные исходы подробнее.

Последователь Штакельберга, как уже было сказано, придерживается своей функции реагирования вида (11.11), (11.11*) или (11.12), (11.12*), а затем при определенном количественном решении соперника, представляющегося последователю лидером, приспосабливает свой выпуск к прибылемаксимизирующему уровню. Лидер понимает, что его соперник ведет себя как последователь, и при данной его функции реагирования определяет свой прибылемаксимизирующий выпуск. Поэтому в случае 4 каждый дуополист определяет максимум своей прибыли исходя из предположения, что он является лидером, а соперник - последователем. Если в результате прибыль лидера окажется выше прибыли последователя, дуополист выберет положение лидера, независимо от того, что решит соперник. В противном случае он выберет положение последователя.

Исходя  из аналитической версии модели Курно (раздел 11.2.1.1.2), представим функцию прибыли лидера (11.43) для дуополиста 1, подставив в уравнение его прибыли (11.9) функцию реагирования дуополиста 2 (11.12*). Тогда (11.9) примет вид 

p₁ = aq₁ - bq₁² - bq₁[(a - c)/2b – q₁/2] - cq₁,(11.44) 

что после  преобразований и перестановок дает 

p₁ = ((a - c)/2)q₁ - (b/2)q₁².(11.45) 

Приравнивая производную (11.45) по q₁ нулю, имеем 

∂π₁/∂q₁ = (a - c)/2 - bq₁ = 0, 

откуда 

q_l¹ = (a - c)/2b.(11.46) 

Это и  есть оптимальный выпуск лидера Штакельберга. Он обеспечивает максимум его прибыли, поскольку условие второго порядка также выполняется b > 0 по предположению). В силу симметричности ситуации, возникающей в случае 4, прибылемаксимизирующий выпуск дуополиста 2, тоже претендующего на роль лидера, также составит 

Q₂¹ = (a - c)/2b.(11.46*) 

(Верхний  индекс I в (11.46) и (11.46*) означает  прибылемаксимизирующий выпуск лидера).

Определим теперь прибылемаксимизирующий выпуск последователя Штакельберга, подставив (11.46*) в (11.12) и соответственно (11.46) в (11.12*): 

qf1 = [(a - c)/2b] √ [1/2 (a - c)/2b] = (a - c)/4b/i<>,(11.47)

qf2 = [(a - c)/2b] √ [1/2 (a - c)/2b] = (a - c)/4b/i<>.(11.47*) 

(Верхний  индекс /"в (11.47) и (11.47*) означает  прибылемаксимизирующий выпуск последователя).

Таким образом, прибылемаксимизирующий выпуск последователя, qfi, вдвое ниже прибылемаксимизирующего выпуска лидера, qli (i = 1, 2). Сравнив (11.46), (11.46*), (11.47) и (11.47*) с (11.17), заметим, что прибылемаксимизирующий выпуск лидера Штакельберга тот же, что и у дуополиста Курно, а последователя вдвое меньше, чем у последнего.

В случаях 1 и 2, когда один дуополист, неважно какой именно, ведет себя как лидер, а другой как последователь, их общий выпуск будет равен сумме либо (11.46) и (11.47*), либо (11.46*) и (11.47), т. е. 

Q = (a - c)/2b + (a - c)/4b = 3(a - c)/4b.(11.48) 

Подставив (11.48) в функцию рыночного спроса (11.6), найдем равновесную цену олигополии Штакельберга в ситуациях 1, 2. Она будет равна 

P = a - b ∙ 3(a - c)/4b = (a + 3c)/4.(11.49) 

(11.48) и  (11.49) - параметры равновесия Штакельберга.

Для того чтобы от равновесия перейти к  неравновесию Штакельберга (от случаев 1 и 2 к случаю 4), определим сначала прибыли лидера и последователя. Это, между прочим, поможет нам понять стремление олигополистов Штакельберга именно к неравновесию. Подставим сначала значение ql1 из (11-46) в (11.45). Прибыль лидера, если им окажется дуополист 1, составит 

pl1 = [(a - c)/2][(a - c)/2b] √ (b/2) [(a - c)2/4b2] = [(a - c)2/4b] √ [(a - c)2/8b] = (a - c)2/8b.(11.50) 

Симметрично прибыль дуополиста 2, если тот окажется лидером, будет 

pl1 = (a - c)2/8b.(11.50*) 

Определим теперь прибыль последователя, подставив  значения qf и ql в (11.9) и (11.9*). Если им окажется дуополист 1, то 

pf1 = a(a - c)/4b - b[(a - c)/4b]2 - b[(a - c)/4b][(a - c)/2b] - c(a - c)/4b = [(a - c)2/4b] √ [a(a - c)2/16b] √ [a(a - c)2/8b], 

откуда  после упрощений и перестановок получим 

pf1 = (a - c)2/16b.(11.51) 

Симметрично прибыль дуополиста 2, если он окажется последователем, будет 

pf2 = (a - c)2/16b.(11.51*)

Сопоставив  теперь (11.51) с (11.50), а (11.51*) с (11.50*), мы заметим, что прибыль лидера вдвое превышает  прибыль последователя, будь то дуополист 1 или 2. Поэтому-то и тот и другой предпочтут оказаться лидерами. Но тогда их прибыли окажутся не максимальными, а, напротив, минимальными. Действительно, подставив значения прибылемаксимизирующих выпусков обоих стремящихся стать лидерами дуополистов, т. е. (11.46) и (11.46*), в уравнение линейной функции спроса (11.6*), получим