Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

§ 1. Линейные экономические  модели

1.1. Модель Леонтьева  многоотраслевой экономики

Эффективное ведение  народного хозяйства предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной стороны — как производитель некоторой продукции, а с другой — как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Предположим, что вся производящая сфера народного хозяйства разбита на п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт, причем разные отрасли производят разные продукты. Разумеется, такое представление об отрасли является в значительной мере абстракцией, так как в реальной экономике отрасль определяется не только названием выпускаемого продукта, но и ведомственной принадлежностью своих предприятий (например, данному министерству, тресту и т. п.). Однако представление об отрасли в указанном выше смысле (как "чистой" отрасли) все же полезно, так как оно позволяет провести анализ сложившейся технологической структуры народного хозяйства, изучить функционирование народного хозяйства "в первом приближении".

Итак, предполагаем, что  имеется п различных отраслей Q₁,…,Q_n каждая из которых производит свой продукт. В дальнейшем отрасль Qi. будем коротко называть "i-я отрасль" В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о некотором определенном промежутке времени [Т₀, Т₁] (обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:

Xi — общий объем продукции отрасли i за данный промежуток времени — так называемый валовой выпуск отрасли i;

x_ij — объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;

у_i — объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, — объем конечного потребления.

Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйство запасы, личное потребление, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение и т. д.), по ставки на экспорт.

Указанные величины можно  свести в таблицу (табл. 4.1).

Обратим внимание на элементы { x_ij }. Отрасль представлена двояким образом. Как элемент строки она выступает в роли поставщика производимой ею продукции, а как элемент столбца — в роли потребителя продукции других отраслей экономической системы.

Таблица 4.1

Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что  при любом i  = 1, ..., п должно выполняться соотношение

 

 

означающее, что валовой  выпуск X_i расходуется на производственное потребление, равное х_i1+хi₂+... + х_in, и непроизводственное потребление, равное у_i,. Будем называть (4.1) соотношениями баланса. Таким образом, табл. 4.1 отражает баланс между производством и потреблением.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, ...), или стоимостными.

Леонтьев, рассматривая развитие экономики, обратил внимание на важное обстоятельство. Величины a_ij = x_ij/x_j

остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии.

Таким образом, сделаем  такое допущение: для выпуска  любого объема x_j продукции j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве а_ijx_j, где а_ij — постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяется и на другие виды издержек, например на оплату труда, а также на нормативную прибыль.

Итак, согласно гипотезе линейности имеем:

x_ij = а_ijx_j   (I, j = 1,…,n) (4.2)

Коэффициенты a_ij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициенты материалоемкости).

В предположении линейности соотношения (4.1) принимают вид:

 

 

Вектор х называется вектором валового выпуска, вектор у называется вектором конечного потребления, а матрица А — матрицей прямых затрат. Соотношение (4.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева.

Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так для предстоящего планового периода [Т₀, Т₁)] задается вектор у  конечного потребления. Требуется определить вектор х валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений (4.3) с неизвестным вектором х при заданной матрице А и векторе у. При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы (4.3):

1. все компоненты матрицы А и вектора у неотрицательны (это вытекает из экономического смысла А и вектора у и записывается так: А ≥ О, у ≥ О.
2. Все компоненты вектора х также должны быть неотрицательными:  х ≥ 0.

Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов a_ij прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае из (4.2) видно, что а_ij совпадает со значением х_ij при х_j =1(1 руб.). Таким образом, а_ij есть стоимость продукции отрасли i, вложенной в 1 руб. продукции j. Отсюда видно, что стоимостный подход по сравнению с натуральным обладает более широкими возможностями.

1.2. Продуктивные модели  Леонтьева

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица А ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора   у ≥0  существует решение x≥ 0 уравнения:

 

в этом случае и модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.

Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор у≥ 0 конечного потребления можно получить при подходящем валовом выпуске х≥0 .

Нижеследующая теорема 4.1 показывает, что нет необходимости  требовать существования решения х ≥ 0 уравнения (4.4) для любого вектора у ≥ 0. Достаточно, чтобы такое решение существовало хотя бы для одного вектора у ≥ 0.

Условимся в дальнейшем писать у ≥ 0' и называть вектор у положительным, если все компоненты этого вектора строго положительны.

□ ТЕОРЕМА 4.1. (Первый критерий продуктивности.)

Если А≥0 и для некоторого положительного вектора у* уравнение (4.4) имеет решение х ≥ 0, то матрица А продуктивна.

Уравнение Леонтьева (4.4) можно записать следующим образом:

 

где Е — единичная  матрица.

Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы (Е- А).

Понятно, что если обратная матрица (Е-А)^-1 существует, то из (4.5) вытекает:

□ТЕОРЕМА 4.2. (Второй критерий продуктивности).

Матрица А ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е-А)^-1 существует и неотрицательна.

Доказательство.

Если (Е — А)^-1 существует и неотрицательна, то из формулы (4.6) следует продуктивность матрицы А.

Обратно, пусть матрица  А продуктивна. Рассмотрим еле дующие системы уравнений:

где е₁,е₂,..,,е_п —столбцы единичной матрицы.

Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А  имеет неотрицательное решение, т. е. существуют такие векторы (столбцы), с1≥0,с₂ ≥0, …, с_п ≥0 что

(Е-А)с₁=е₁,(Е-А)с₂ = е₂,...,(Е-А)с_п=е_п. (47)

Обозначим через С  матрицу, составленную из столбцом с_1; с₂,…, с_п. Тогда вместо п равенств (4.7) можно написать одно:

 (Е-А)С = Е.

Следовательно, матрица (Е-А)имеет обратную матрицу С, причем С≥0, что и требовалось доказать. ■

Пусть а — некоторое число. Из курса математического анализа известно, что если ряд 1 +а + а² +... (бесконечная геометрическая прогрессия) сходится (условием этого является |a|<1 ), то его сумма равна (1-а) ^-1

Лемма 4.1. Если бесконечный ряд (из матриц)

1 + А + А² + ... (4.8)

сходится, то его сумма  есть матрица (Е — А)^-1 .

Доказательство. Пусть ряд (4.8) сходится. Прежде всего, покажем, что матрица (Е-А) имеет обратную матрицу, Рассуждая от противного, допустим, что матрица (Е-А) вырожденная. Рассмотрим тождество:

(Е + А + А²+... + А^к-1)(Е-А)=Е-А^к. (4.9)

Мы знаем, что уравнение Вх = 0 с вырожденной матрицей В обязательно имеет ненулевое решение. Следовательно, существует вектор х ≠0, такой, что (Е — А)х = 0. Применив к вектору х обе части равенства (4.9), получим (Е-А)х=0 или х = А^кх . Но lim А^к =0 , что следует из сходимости ряда (4.8) (необходимое условие сходимости ряда). Следовательно, lim А^кх = 0, т. е. х = 0 вопреки условию. Таким образом, матрица (Е-А) имеет обратную матрицу. Из (4.9) находим:

(Е + А + А²+... + А^к-1) = (Е-А*)(Е-А)^-1.

С учетом того, что lim   А^к =0 , получаем:

lim (Е + А + А² +... + А^к-1) = (Е-А)^-1.

Итак, сумма ряда (4.8) существует и равна (Е- А)^-1.  Лемма доказана.

□ ТЕОРЕМА 4.3. (Третий критерий продуктивности).

Матрица А≥0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд Е + А + А² +... (4.10)

Доказательство. Пусть сходится ряд (4.10). Согласно лемме его сумма равна (Е-А)⁴. При этом сумма указанного ряда будет неотрицательна, поскольку все слагаемые ряда неотрицательны. Итак, матрица (Е- А)^-1 существует и неотрицательна. Отсюда по теореме 4.1 следует продуктивность А. Обратное утверждение (если А продуктивна, то ряд (4.10) сходится) доказывать не будем. ■

Полученный нами критерий продуктивности матрицы А (теорема 4.3) в ряде случаев может быть использован для проверки матрицы А на продуктивность. Покажем, например, что если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы А < 1 (в стоимостной модели баланса это означает, что при любом j =1,...,п суммарный вклад всех отраслей в выпуск продукции отрасли на 1 рубль j меньше 1, т. е. отрасль рентабельна), то А продуктивна.

Действительно, пусть q — наибольшая из указанных сумм, q < 1. Ясно, что тогда все элементы матрицы А не превосходят q. Из правила перемножения матриц легко вывести, что любой элемент матрицы А² не превосходит q²:

 

Точно так же получим, что элементы матрицы А³   не превосходят   q³  и т. д.,   =>  сходимость ряда (4.10), а значит, и продуктивность матрицы А доказаны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть А≥0 — продуктивная матриц; Запасом продуктивности матрицы А назовем такое числo а > 0, что все матрицы λА, где 1 < λ < 1 + а , продуктивны, а матрица (1 + а)А — непродуктивна.

Обычно матрицы А межотраслевого баланса обладают большим запасом продуктивности. Рост произведенных расходов (в частности, учет затрат на преодоление негативных воздействий производства на окружающую среду) вызывает увеличение элементов матрицы А и, как следствие, снижение  ее запаса продуктивности.

1.3. Вектор полных  затрат

Пусть А≥0. Равенство (Е-А^-1= Е + А + А² +... справедливо, как мы уже знаем, в том и только в том случае, когда матрица А продуктивна и имеет экономический смысл.

Чтобы это увидеть, обратимся  к формуле (4.8). Эта формула принимает вид:

х = у + Ау + А²у+... (4.11)

В чем смысл распадания вектора х на слагаемые У , Ау ,  А²у , и т. д.?

Для получения валового выпуска х , обеспечивающего кoнечное потребление У, нужно прежде всего произвести комбинацию товаров, описываемую вектором у. Но этого мало, так I как для получения У нужно затратить (а значит, сначала произвести) продукцию, описываемую вектором   Ау. Но и этого недостаточно в связи с тем, что для получения Ау нужно произвести  дополнительные  затраты,   описываемые  вектором А(Ау)= А² у и т. д.

В итоге приходим к заключению, что весь валовой выпуск   х   должен составляться из слагаемых   у,   Ау,   А² у   и т. д., что и зафиксировано в формуле (4.11).

В соответствии с этим рассуждением сумму  у + Ау + А²у +... называют вектором полных затрат, а сделанное выше заключение формулируется так: вектор валового выпуска х совпадает с вектором полных затрат.

Экономический смысл элементов матрицы (Е — А)^-1 = В.

Данную матрицу называют матрицей коэффициентов полных внутрипроизводственных затрат. Коэффициент |b_ij| выражает стоимость той части валового продукта, которая необходима для выпуска единицы конечной продукции. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)^-1 = В неотрицательна.

Коэффициенты полных затрат |b_ij| являются элементами матрицы, обратной (Е - А), и поэтому могут быть вычислены по формуле:

где А_ij = (-1)^i+jM_ij - алгебраическое дополнение элемента |b_ij| матрицы (Е — А);