Курсовая работа по "Эконометрике"

Проанализировать  объем продаж и спрогнозировать  на будущее, используя теорию временных  рядов. По имеющимся статистическим данным требуется выполнить ряд  заданий:

1. Проверить существование тенденции (закономерности) изменения показателя во времени, используя графический способ и метод сравнения разности средних.
2. Выяснить, существуют ли периодические колебания значений показателя, так называемые сезонные колебания. Если таковые имеются, то найти коэффициенты сезонности и провести сглаживание ряда. Построить график сглаженного ряда.
3. Построить уравнения регрессии для различного вида кривых у=f(t). Взять линейную, квадратическую, экспоненциальную и логарифмическую функции (четыре графика отдельно).
4. Оценить точность построения каждой кривой. Выбрать кривую для прогнозирования.
5. Рассчитать доверительные границы.
6. Спрогнозировать объем продаж на следующий год с разбивкой по кварталам. Определить верхнюю и нижнюю границы прогноза для вероятности Р=0,95. Итоговую информацию представить в виде таблицы:

Объем продаж товара №______ на _______год

Год	Квартал	Точечное значение прогноза	Верхняя граница  прогноза	Нижняя граница  прогноза
	1 2 3 4

 

Задание 1. Проверка существования тенденции.

Графический метод

Исходные данные представим в виде временного ряда,

Таблица 1

t	y
1	27,03
2	27,34
3	27,58
4	27,41
5	28,03
6	28,34
7	28,59
8	28,42
9	29,04
10	29,31
11	29,54
12	29,43
13	29,61
14	29,83
15	29,95
16	29,72
17	30
18	31,2
19	33,45
20	33

где каждому  значению ряда у соответствует описание время t и в виде графика, характеризующего зависимость уровня ряда от времени.

 

Фактический ряд

График 1

Как видно из графика 1, изменения показателя во времени имеют тенденцию к  увеличению.

 

Метод сравнения  разности средних

Для дополнительной проверки ряда на существование тенденции разбиваем анализируемый ряд на две равные части (по 10 членов), каждая из которых рассматривается как выборочная совокупность. Для них вычисляются средние, на которых и строится проверка. Первая часто имеет среднюю у1, вторая у2. Необходимо установить, существенно ли различаются между собой средние у1 и у2. Для этого используют t – статистику Стьюдента

 

где

d²=Σ(y – y)²

n – количество членов ряда;

t – расчетное значение t-статистики;

d² - сумма квадратов отклонений значений ряда от общей средней у;

у – общая средняя.

y1=(27,03+27,34+27,58+27,41+28,03+28,34+28,59+28,42+29,04+29,31)/10 =	28,109
y2=(29,54+29,43+29,61+29,83+29,95+29,72+30+31,2+33,45+33)/10 =	30,573

 

у =(28,109+30,573)/2 =

29,341

 

d²=(27,03-29,341)^2+(27,34-29,341)^2+…+(33-29,341)^2 =

55,435

 

t=׀28,109-30,573׀*корень из (20*19)/55,436 =

6,451201

Расчетное значение статистики t сравнивается с табличным значением tα при вероятности ошибки α=0,05 и n=20, tα=2,09; Если t>tα, то разность двух средних статистически значима и существует тенденция к уменьшению или к увеличению уровней ряда, в противном случае тенденция отсутствует. Так как t>tα, то гипотеза о значимости разности средних принимается, тенденция существует.

 

Задание 2. Определение сезонных колебаний.

Периодические колебания значений временного ряда называются сезонными. На основании таблицы 1 можно судить, что сезонные колебания существуют, так как наблюдаются подъемы и спады показателя.

Существование сезонных колебаний также видно  на графике 1 (повторение формы кривой на отрезках определенной длины). Эти колебания оцениваются с помощью коэффициентов сезонности. Для определения коэффициентов данные представлены в таблице 2.

Таблица 2

квартал	Год
	1990	1991	1992	1993	1994
1	27,03	28,03	29,04	29,61	30
2	27,34	28,34	29,31	29,83	31,2
3	27,58	28,59	29,54	29,95	33,45
4	27,41	28,42	29,43	29,72	33
уi	109,36	113,38	117,32	119,11	127,65
yi/4	27,34	28,345	29,33	29,778	31,9125

Найдем коэффициенты сезонности, для этого проведем оценку сезонного фактора по формуле:

а_iq = y_iq/(y_i/4), где

а_iq – оценка сезонного фактора;

y_iq – значение показателя за q – квартал i – года;

у_i – значения показателя за i-год.

Тогда коэффициенты сезонности S_q определяется по формуле:

 

Таблица 3

квартал	Оценка сезонного  фактора по годам					Коэф. сез. Sq
	1990	1991	1992	1993	1994
1	0,9887	0,9889	0,9901	0,9944	0,9401	0,9804
2	1,0000	0,9998	0,9993	1,0018	0,9777	0,9957
3	1,0088	1,0086	1,0072	1,0058	1,0482	1,0157
4	1,0026	1,0026	1,0034	0,9981	1,0341	1,0082

Исключаем колебания  значений исследуемого показателя по формуле Ў_iq=y_iq/S_q и получаем сглаженные значения.

Таблица 4

квартал	Сглаженные  значения показателей
	1990	1991	1992	1993	1994
1	27,57	28,59	29,62	30,20	30,60
2	27,46	28,46	29,44	29,96	31,33
3	27,15	28,15	29,08	29,49	32,93
4	27,19	28,19	29,19	29,48	32,73

 

График сглаженного  ряда

График 2

 

 

Задание 3. Построение уравнения регрессии  для различного вида кривых у = f(t).

График 3

График сглаживания  ряда (линейный тренд)

 

График 4

График сглаживания  ряда (квадратический тренд)

 

График 5

График сглаживания  ряда (экспоненциальный тренд)

 

График 6

График сглаживания  ряда (логарифмический тренд)

 

Задание 4. Оценка точности построения каждой кривой. Выбор кривой для прогнозироввания.

Выбираем график сглаживания ряда с экспоненциальным трендом, так как коэффициент корреляции наибольший

r² =

0,843

ŷ=26,773e^0,0086t - уравнение  регрессии

Таблица 5

t	y	t²	t*y	ŷ	y-ý	(y-ý)^2	y-ŷ	(y-ŷ)^2
1	27,57	1	27,57	27,00	-1,77	3,13	0,57	0,32
2	27,46	4	54,92	27,24	-1,88	3,54	0,22	0,05
3	27,15	9	81,45	27,47	-2,19	4,80	-0,32	0,10
4	27,19	16	108,76	27,71	-2,15	4,62	-0,52	0,27
5	28,59	25	142,95	27,95	-0,75	0,56	0,64	0,41
6	28,46	36	170,76	28,19	-0,88	0,78	0,27	0,07
7	28,15	49	197,05	28,43	-1,19	1,42	-0,28	0,08
8	28,19	64	225,52	28,68	-1,15	1,32	-0,49	0,24
9	29,62	81	266,58	28,93	0,28	0,08	0,69	0,48
10	29,44	100	294,4	29,18	0,10	0,01	0,26	0,07
11	29,08	121	319,88	29,43	-0,26	0,07	-0,35	0,12
12	29,19	144	350,28	29,68	-0,15	0,02	-0,49	0,24
13	30,20	169	392,6	29,94	0,86	0,74	0,26	0,07
14	29,96	196	419,44	30,20	0,62	0,38	-0,24	0,06
15	29,49	225	442,35	30,46	0,15	0,02	-0,97	0,94
16	29,48	256	471,68	30,72	0,14	0,02	-1,24	1,54
17	30,60	289	520,2	30,99	1,26	1,59	-0,39	0,15
18	31,33	324	563,94	31,26	1,99	3,96	0,07	0,01
19	32,93	361	625,67	31,53	3,59	12,88	1,40	1,97
20	32,73	400	654,6	31,80	3,39	11,49	0,93	0,87
210	586,81	2870	6330,6			51,43		8,07

 

у=586,81/20 =

29,34

Качество модели временного ряда

r=корень из ((S²у-S²ŷ)/S²у)
S²ý=Σ(y-у)²
S²ŷ=Σ(y-ŷ)²
0<=r<=1
допустимое r>=0,75
r² =	0,843
r =	0,9182

Дисперсия

ζ²=(Σ(y-ŷ)²)/n-k
k=2 (a₀; a₁)
ζ²=	0,45
ζ=	0,67

Чем больше величина r, тем лучше уравнение регрессии.

Чем меньше величина ζ, тем лучше уравнение.

 

Задание 5. Расчет доверительных границ.

Доверительный интервал прогноза находится по формуле:

[± tα * ζ]
tα-t - статистика  Стьюдента
n=20
α=0,05
tα=2,09
[2,09*0,67] =			[±1,40]
p=0,95

Доверительный интервал прогноза:

[ŷ±1,40]

 

Задание 6. Прогнозирование объема продаж на следующий год с разбивкой  по кварталам

Для получения точечного прогноза на 1, 2, 3, 4-й кварталы 1995 года подставим в уравнение ŷ=26,773e^0,0086t время t = 21, 22, 23, 24. И эти расчетные значения умножим на коэффициент сезонности соответствующего квартала: S₁ = 0,9804, S₂ = 0,9957, S₃ = 1,0157, S₄ =1,0082.

Расчитанные значения показателя на 1995 год по кварталам:

ŷ₂₁=26,773e^0,0086*21=	32,07
ŷ₂₂=26,773e^0,0086*22=	32,35
ŷ₂₃=26,773e^0,0086*23=	32,63
ŷ₂₄=26,773e^0,0086*24=	32,91

Точечный прогноз  на 1, 2, 3, 4-й кварталы 1995 года получим  умножив расчетные значения показателя на коэффициент сезонности соответствующего квартала:

ŷ’₂₁=32,07*0,9804=	31,44
ŷ’₂₂=32,35*0,9957=	32,21
ŷ’₂₃=32,63*1,0157=	33,14
ŷ’₂₄=32,91*1,0082=	33,18