Контрольная работа по "Прогнозированию национальной экономики"

 

Задание 1. Имеются данные численности наличного населения города В за 2001-2009 гг. (на начало года), тыс.чел.

2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
439,2	437,4	433,7	413,9	409,4	407,3	403,5	399,6	395,8

 

1. Постройте  прогноз численности наличного населения города Х на 2008-2009 гг., используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.

2. Постройте  график фактического и расчетных  показателей.

3. Рассчитайте  ошибки полученных прогнозов  при использовании каждого метода.

4. Сравните  результаты.

 

Решение.

1. Метод  скользящей средней.

Для того чтобы  рассчитать прогнозное значение, необходимо:

1) определить величину интервала сглаживания, например равную 3 (n=3)

2) рассчитать  скользящую среднюю для первых  трех периодов:

 

m2002= (У2001+У2002+У2003)/3= (439,2+437,4+433,7)/3=436,7

m2003= (У2002+У2003+У2004)/3= (437,4+433,7+413,9)/3=428,3

m2004= (У2003+У2004+У2005)/3= (433,7+413,9+409,4)/3=419

m2005= (У2004+У2005+У2006)/3= (413,9+409,4+407,3)/3=410,2

m2006= (У2005+У2006+У2007)/3= (409,4+407,3+403,5)/3=406,7

m2007= (У2006+У2007+У2008)/3= (407,3+403,5+399,6)/3=403,5

m2008= (У2007+У2008+У2009)/3= (403,5+399,6+395,8)/3=399,6

 

Для решения  задачи составим таблицу

 

 

Годы	Данные численности  наличного населения, тыс.чел. Уt	Скользящая средняя m	Расчет средней  относительной ошибки /Уф - Ур/     Уф            * 100
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009	439,2 437,4 433,7 413,9 409,4 407,3 403,5 399,6 395,8	- 436,7 428,3 419 410,2 406,7 403,4 399,6 -	- 0,16 1,24 -1,23 -0,19 0,14 0,02 0 -
итого			0,14
прогноз 2010 2011

 

 

3) Рассчитав  скользящую среднюю для всех  периодов, строим прогноз на 2010 год  по формуле:

У_t+1=m_t-1+ 1/n*(У_t – У_t-1), если

где  t + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.);  y_t+1 – прогнозируемый показатель; – скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; y_t – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период; y_t-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.

У2010= 399,6+1/3*(395,8-399,6)=398,3 

 

Определим скользящую среднюю m для 2010 г.

m= (399,6+395,8+398,3)/3=397,9

 

Строим прогноз на 2011 год:

У2011= 397,9+1/3*(398,3-395,8)= 398,7

Заносим полученный результат  в таблицу.

Рассчитываем среднюю  относительную ошибку:

ε = 0,14/7=0,02

 

2. Метод  экспоненциального сглаживания.

Определяем значение параметра  сглаживания по формуле  

 

       2/ n+1 = 2/ 9+1 = 0,2

 

Определяем  начальное значение Uo двумя способами:

1 способ (средняя  арифметическая) Uo = 3739,8/9=415,5 

2 способ (принимаем  первое значение базы прогноза) Uo = 439,2

 

Годы	Данные численности  наличного населения, тыс.чел. Уt	Экспоненциально взвешенная средняя, Ut		Расчет средней  относительной ошибки /Уф - Ур/        Уф            * 100
		1 способ	2 способ	1 способ	2 способ
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009	439,2 437,4 433,7 413,9 409,4 407,3 403,5 399,6 395,8	420,2 423,6 425,6 423,2 420,4 417,8 414,9 411,8 408,6	439,2 438,8 437,8 433,02 428,3 424,1 419,9 415,8 411,8	4,3 3,2 1,9 2,2 2,6 2,5 2,8 3,05 3,2	0 0,3 0,9 4,6 3,6 4,1 1,06 4,05 4,04
итого	3739,8	3766,1	3848,7	25,75	25,65
прогноз 2010		406,04	408,6

 

Рассчитываем  экспоненциально взвешенную среднюю для каждого года по формуле

                                                                  

1 СПОСОБ U2001= 439,2*0,2+(1-0,2)*415,5=420,2 U2002= 437,4*0,2+(1-0,2)*420,2=423,6 U2003= 433,7*0,2+(1-0,2)*423,6=425,6 U2004= 413,9*0,2+(1-0,2)*425,6=423,2 U2005= 409,4*0,2+(1-0,2)*423,2=420,4 U2006= 407,5*0,2+(1-0,2)*420,4=417,8 U2007= 403,5*0,2+(1-0,2)*417,8=414,9 U2008= 399,6*0,2+(1-0,2)*414,9=411,8 U2009= 395,8*0,2+(1-0,2)*411,8=408,6

2 СПОСОБ U2001= 439,2*0,2+(1-0,2)*439,2=439,2 U2002= 437,4*0,2+(1-0,2)*439,2=438,8 U2003= 433,7*0,2+(1-0,2)*438,8=437,8 U2004= 413,9*0,2+(1-0,2)*437,8=433,02 U2005= 409,4*0,2+(1-0,2)*433,02=428,3 U2006= 407,3*0,2+(1-0,2)*428,3=424,1 U2007= 403,5*0,2+(1-0,2)*424,1=419,9 U2008= 399,6*0,2+(1-0,2)*419,9=415,8 U2009=395,8*0,2+(1-0,2)*415,8=411,8

Рассчитываем прогнозное значение:

U2001= 395,8*0,2+0,8*408,6=406,04 (1 способ)

U2001= 395,8*0,2+0,8*411,8=408,6 (2 способ)

Средняя относительная  ошибка:

ε = 25,75/9=2,86%

ε = 25,65/9=2,85%

3. Метод  наименьших квадратов.

Для решения  используем следующую таблицу.

Годы	Численность наличного  населения, Уф	Условное обозначение времени, Х	Уф*Х	Х2	Ур	Расчет средней  относительной ошибки / Уф - Ур/       Уф  * 100
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009	439,2 437,4 433,7 413,9 409,4 407,3 403,5 399,6 395,8	1 2 3 4 5 6 7 8 9	439,2 874,8 1301,1 1655,6 2047 2443,8 2824,5 3196,8 3562,2	1 4 9 16 25 36 49 64 81	-295,5 -271,5 -247,5 -223,5 -199,5 -175,5 -151,5 -127,5 -103,5	167,3 162,1 157,1 154 148,7 143 137,5 131,9 126,1
итого	3739,8	45	18345	285	1795,5	1327,7
прогноз 2010 2011		10 11

 

Определим условное обозначение времени как последовательную нумерацию периодов базы прогноза. Рассчитаем графы 4 и 5.

Ур определим по формуле   

у _t+1 = а*Х + b

где  t + 1 – прогнозный период;  y_t+1 – прогнозируемый показатель;  a и b - коэффициенты; Х - условное обозначение времени.

коэффициенты a и b по формулам:

 

а = 18345- (36*3739,8)/9  = 24 ;    в = 3739,8/9-24*36/9 = 319,5

          285-36² /9

 

У2001= 24*1-319,5= -295,5

У2002= 24*2-319,5= -271,5

У2003= 24*3-319,5= -247,5

У2004= 24*4-319,5=-223,5

У2005= 24*5-319,5=-199,5

У2006= 24*6-319,5=-175,5

У2007= 24*7-319,5=-151,5

У2008= 24*8-319,5=-127,5

У2009= 24*5-319,5=-103,5

 

Определяем  прогнозное значение.

У2010=24*10-319,5=-79,5

У2011=24*11-319,5=-55,5

Рассчитываем среднюю относительную ошибку    ε = 1327,7/9=147,5%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. Имеются данные объема реализации мороженого в городе по кварталам  за 2006-2009 гг. (тыс. порций)

 

Квартал	2006	2007	2008	2009
1-й	3,2	3,2	3,3	3,4
2-й	3,8	3,7	3,8	3,9
3-й	5,7	5,4	5,5	5,6
4-й	2,7	2,8	2,9	2,8

 

1. Постройте  график исходных данных и определите  наличие сезонных колебаний.

2. Постройте  прогноз объема реализации мороженого  в городе на 2010-2011 гг. с разбивкой  по кварталам.

2. Рассчитайте ошибки прогноза.

Решение:

1. Строим график исходных данных.

 

 

Наличие сезонных колебаний при реализации мороженого в городе за 2006-2009 гг. очевидно, так  как в 3-м квартале (летом) наблюдается  резкое повышение, а в 4-м квартале (зимой) резкое понижение реализации мороженого.

 

2. Составим таблицу.

Год	Квартал	Объем продаж млн.руб   Уф	Показатели сезонности				Условное  обозначение времени,    Х	Х^2	Уф*Х	Ур	Расчет средней относи тельной ошибки
			4-квартальные  суммы	4-квартальные средние	Центрированные  средние	Показатели  сезонности
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2006	1	3,2	-	- - 3,85 3,85 3,825 3,75 3,775 3,8 3,8 3,875 3,875 3,9 3,95 3,925 3,925	-   -   3,85   3,8375   3,7875   3,7625   3,7875   3,8 3,8375 3,875 3,8875 3,925 3,9375 3,925	-	1	1	3,2	3,109	2,8
	2	3,8	-			-	2	4	7,6	3,118	17,9
	3	5,7	-			148,05	3	9	17,1	3,127	45,1
	4	2,7	15,4			70,36	4	16	10,8	3,136	-16,1
2007	1	3,2	15,4			84,49	5	25	16	3,145	1,7
	2	3,7	15,3			98,34	6	36	22,2	3,154	14,7
	3	5,4	15			142,57	7	49	37,8	3,163	41,4
	4	2,8	15,1			73,68	8	64	22,4	3,172	-13,3
2008	1	3,3	15,2			85,99	9	81	29,7	3,181	3,6
	2	3,7	15,2			95,48	10	100	37	3,19	13,8
	3	5,7	15,5			146,62	11	121	62,7	3,199	43,8
	4	2,8	15,5			71,34	12	144	33,6	3,208	-14,6
2009	1	3,4	15,6			86,35	13	169	44,2	3,217	5,4
	2	3,9	15,8			99,36	14	196	54,6	3,226	17,4
	3	5,6	15,7			-	15	225	84	3,235	42,2
	4	2,8	15,7			-	16	256	44,8	3,244	-15,8
Итого	-	61,7	-	-	-	-	136	1496	527,7	-	190
прогноз 2010	1 2 3 4	2,78 3,19 4,77 2,35
Прогноз на 2011	1 2 3 4	2,81 3,22 4,81 2,38

 

1. 4-х квартальные суммы рассчитываются суммированием Уф за четыре рядом стоящие квартала.

3,2+3,8+5,7+2,7=15,4

3,8+5,7+2,7+3,2=15,4 и  т.д.

2.  4-х квартальные средние = 4-х квартальные суммы/4 = 15,4/4 =3,85; 15,4/4 = 3,85; 15,3/4= 3,825 и т.д.

3. Центрированные средние рассчитываются как сумма двух 4-х квартальных средних деленная на 2: 3,85+3,85/2=3,85; 3,85+3,825/2=3,8375

4. Определяем показатели сезонности.

Псезон= Уф / Центр.средние * 100 (или графа 3/на графу 6 * 100).

Так, для 3 квартала 2006 г. Псезон = 5,7 / 3,85 * 100 = 148,05

Для 4 квартала 2006 г. Псезон = 2,7/ 3,8375 * 100 = 70,36 и т.д.

 

5. Определим  индексы сезонности для каждого  квартала (I j) . Для расчета берутся показатели сезонности, суммируются по квартально и делятся на количество суммированных значений.

  Для 1 квартала  I ₁ = (84,49+85,99+86,35) /3 = 85,61

  Для 2 квартала  I ₂= (98,34+95,48+99,36) /3 = 97,73

  Для 3 квартала  I ₃= (148,05+142,57+146,62) /3 = 145,75

  Для 4 квартала  I ₄= (70,36+73,68+71,34) /3 = 71,79

 

6. Определяем в таблице графы 8,9,10.

   

    Ур = a * X + b ,  коэффициенты a и b рассчитываются по формулам

 

а = 527,7 - (136*61,7)/16 =0,009         в = 61,7/16 – (0,009*136)/16 = 3,1

        1496 – 136²  /16

 

Ур = 0,009*1+3,1 = 3,109                     Ур = 0,009*6+3,1 = 3,154            

Ур = 0,009*2+3,1 =3,118                      Ур = 0,009*7+3,1 = 3,163

Ур = 0,009*3+3,1 = 3,127                      Ур = 0,009*8+3,1 = 3,172

Ур = 0,009*4+3,1 =3,136                       Ур = 0,009*9+3,1 = 3,181

Ур = 0,009*5+3,1 = 3,145                       Ур = 0,009*10+3,1 = 3,19

Ур = 0,009*11+3,1 = 3,199                     Ур = 0,009*14+3,1 = 3,226

Ур = 0,009*12+3,1 =3,208                        Ур = 0,009*15+3,1 = 3,235

Ур = 0,009*13+3,1 =3,217                        Ур = 0,009*16+3,1 = 3,244

7. Строим прогноз  на 2010г. с разбивкой по кварталам.

     Уt+1 = (a * Х + b) * I j/100

 

У1 = (0,009*17+3,1)*85,61/100= 2,78

У2 = (0,009 *18+3,1)*97,73 /100= 3,19

У3 = (0,009*19+3,1)*145,75/100= 4,77

У4 = (0,009*20+3,1)*71,79/100= 2,35

 

Аналогично  строим прогноз на 2011 год:

У1 = (0,009*21+3,1)*85,61/100= 2,81

У2 = (0,009*22+3,1)*97,73 /100= 3,22

У3 = (0,009*23+3,1)*145,75/100= 4,81

У4 = (0,009*24+3,1)*71,79/100= 2,38

 

8. Средняя относительная  ошибка.

ε = 190/16= 11,9%