Содержание

     Введение

1. Определение и задачи кластерного анализа
2. Методы кластерного анализа
3. Дендограммы

Заключение

Список литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение 

     Кластерный  анализ – это совокупность методов, позволяющих классифицировать многомерные наблюдения. Термин кластерный анализ, впервые введенный Трионом (Tryon) в 1939 году, включает в себя более 100 различных алгоритмов.

     В отличие от задач классификации, кластерный анализ не требует априорных  предположений о наборе данных, не накладывает ограничения на представление  исследуемых объектов, позволяет  анализировать показатели различных типов данных (интервальным данным, частотам, бинарным данным). При этом необходимо помнить, что переменные должны измеряться в сравнимых шкалах.

     Кластерный  анализ позволяет сокращать размерность  данных, делать ее наглядной.

     Кластерный  анализ служит для выявления в данных групп точек, явственно отличающихся друг от друга. Важность решения этой задачи связана с тем, что применение стандартных средств анализа данных (в т.ч. стандартных эконометрических процедур) при наличии кластеров в данных приведет к смещению как точечных оценок (коэффициентов регрессии), так и стандартных ошибок, а значит, и к неверным статистическим выводам. Кроме того, структура данных и схожесть наблюдений могут представлять и самостоятельный интерес.

     Кластерный  анализ предназначен для разбиения совокупности объектов на однородные группы (кластеры или классы). По сути это задача многомерной классификации данных.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Определение и задачи кластерного  анализа

 

   При анализе и прогнозировании социально-экономических  явлений исследователь довольно часто сталкивается с многомерностью их описания. Это  происходит при решении задачи сегментирования рынка, построении типологии стран по достаточно большому числу показателей, прогнозирования конъюнктуры рынка отдельных товаров, изучении и прогнозировании экономической депрессии и многих других проблем.

   Методы  многомерного анализа - наиболее действенный  количественный инструмент исследования социально-экономических процессов, описываемых большим  числом характеристик. К ним относятся кластерный анализ, таксономия, распознавание образов, факторный анализ.

Кластерный  анализ наиболее ярко отражает черты  многомерного анализа в классификации, факторный анализ – в исследовании связи.

Иногда  подход кластерного анализа называют в литературе численной таксономией, численной классификацией, распознаванием с самообучением и т.д.

     Первое  применение кластерный анализ нашел  в социологии. Название кластерный анализ происходит от английского слова cluster – гроздь, скопление. Впервые  в 1939 был определен предмет кластерного анализа и сделано его описание исследователем Трионом. Главное назначение кластерного анализа – разбиение множества исследуемых объектов и признаков на однородные в соответствующем понимании группы или кластеры. Это означает, что решается задача классификации данных и выявления соответствующей структуры в ней. Методы кластерного анализа можно применять в самых различных случаях, даже в тех случаях, когда речь идет о простой группировке, в которой все сводится к образованию групп по количественному сходству.

     Большое достоинство кластерного анализа  в том, что он позволяет производить  разбиение объектов не по одному параметру, а по целому набору признаков. Кроме  того, кластерный анализ в отличие  от большинства математико-статистических методов не накладывает никаких ограничений на вид рассматриваемых объектов, и позволяет рассматривать множество исходных данных практически произвольной природы. Это имеет большое значение, например, для прогнозирования конъюнктуры, когда показатели имеют разнообразный вид, затрудняющий применение традиционных эконометрических подходов.

     Кластерный  анализ позволяет рассматривать  достаточно большой объем информации и резко сокращать, сжимать большие  массивы социально-экономической  информации, делать их  компактными и наглядными.

Важное  значение кластерный анализ имеет применительно  к совокупностям временных рядов, характеризующих экономическое  развитие (например, общехозяйственной  и товарной конъюнктуры). Здесь можно  выделять периоды, когда значения соответствующих показателей были достаточно близкими, а также определять группы временных рядов, динамика которых наиболее схожа.

     Кластерный  анализ можно использовать циклически. В этом случае исследование производится до тех пор, пока не будут достигнуты необходимые результаты. При этом каждый цикл здесь может давать информацию, которая способна сильно изменить направленность и подходы дальнейшего применения кластерного анализа. Этот процесс можно представить системой с обратной связью.

     В задачах  социально-экономического прогнозирования весьма перспективно сочетание кластерного анализа  с другими количественными методами (например, с регрессионным анализом).

     Как и любой другой метод, кластерный анализ имеет определенные недостатки  и ограничения: В частности, состав  и количество кластеров зависит от  выбираемых критериев разбиения. При сведении исходного массива данных к более компактному виду могут возникать определенные искажения, а также могут теряться индивидуальные черты отдельных объектов за счет  замены их характеристиками обобщенных значений параметров кластера. При проведении классификации объектов игнорируется очень часто возможность отсутствия в рассматриваемой  совокупности каких-либо значений кластеров.

     В кластерном анализе считается, что:

     а) выбранные характеристики допускают в принципе желательное разбиение на кластеры;

     б) единицы измерения (масштаб) выбраны  правильно.

   Выбор масштаба играет большую роль. Как  правило, данные нормализуют вычитанием среднего и делением на стандартное  отклоненение, так что дисперсия оказывается равной единице.

   Задача  кластерного анализа заключается  в том, чтобы на основании данных, содержащихся во множестве Х, разбить  множество объектов G на m (m – целое) кластеров (подмножеств) Q1, Q2, …, Qm, так, чтобы каждый объект Gj принадлежал одному и только одному подмножеству разбиения и чтобы объекты, принадлежащие одному и тому же кластеру, были сходными, в то время, как объекты, принадлежащие разным кластерам были разнородными.

   Например, пусть G включает n стран, любая из которых характеризуется ВНП на душу населения (F1), числом М автомашин на 1 тысячу человек (F2), душевым потреблением электроэнергии (F3), душевым потреблением стали (F4) и т.д. Тогда Х1 (вектор измерений) представляет собой набор указанных характеристик для первой страны, Х2 - для второй, Х3 для третьей, и т.д. Задача заключается в том, чтобы разбить страны по уровню развития.

   Решением  задачи кластерного анализа являются разбиения, удовлетворяющие некоторому критерию оптимальности. Этот критерий может представлять собой некоторый функционал, выражающий уровни желательности различных разбиений и группировок, который называют целевой функцией. Например, в качестве целевой функции может быть взята внутригрупповая сумма квадратов отклонения:

где xj - представляет собой измерения j-го объекта.

     Для решения  задачи кластерного анализа необходимо определить понятие сходства и разнородности.

     Понятно то, что объекты i-ый и j-ый попадали бы в один кластер, когда расстояние (отдаленность) между точками Хi и Хj было бы достаточно маленьким и попадали бы в разные кластеры, когда это расстояние было бы достаточно большим. Таким образом, попадание в один или разные кластеры объектов определяется понятием расстояния между Хi и Хj из Ер, где Ер - р-мерное евклидово пространство. Неотрицательная функция d(Хi , Хj) называется функцией расстояния (метрикой), если:

а) d(Хi , Хj) ³ 0, для всех Хi и Хj из Ер

б) d(Хi, Хj) = 0, тогда и только тогда, когда Хi = Хj

в) d(Хi, Хj) = d(Хj, Хi)

г) d(Хi, Хj) £ d(Хi, Хk) + d(Хk, Хj), где Хj; Хi и Хk - любые три вектора из Ер.

     Значение d(Хi, Хj) для Хi и Хj называется расстоянием  между Хi и Хj и эквивалентно расстоянию между Gi и Gj соответственно выбранным  характеристикам (F1, F2, F3, ..., Fр).

     Наиболее  часто употребляются следующие  функции расстояний:

1. Евклидово  расстояние      

d2(Хi , Хj) =

2. l1 - норма                      

d1(Хi , Хj) =

3. Сюпремум - норма     

d¥ (Хi , Хj) = sup

k = 1, 2, ..., р 

4. lp - норма                           

dр(Хi , Хj) =

 

   Евклидова метрика является наиболее популярной. Метрика l1 наиболее легкая для вычислений. Сюпремум-норма легко считается и включает в себя процедуру упорядочения, а lp - норма охватывает функции расстояний 1, 2, 3,.

   Пусть n измерений Х1, Х2,..., Хn представлены в виде матрицы данных размером p ´ n:

     Тогда расстояние между парами векторов d(Хi , Хj) могут быть представлены в виде симметричной матрицы расстояний:

     Понятием, противоположным расстоянию, является понятие сходства между объектами Gi. и Gj. Неотрицательная вещественная функция S(Хi ; Хj) = Sij  называется мерой сходства, если : 

1) 0£  S(Хi , Хj)<1 для Хi ¹ Хj

2) S(Хi , Хi) = 1

3) S(Хi , Хj) = S(Хj , Хi)  

     Пары значений мер сходства можно объединить в матрицу сходства:

   Величину Sij называют коэффициентом сходства.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Методы  кластерного анализа

 

   Методы  кластерного анализа можно разделить  на две группы:

• иерархические;

• неиерархические.

     Каждая  из групп включает множество подходов и алгоритмов.

     Используя различные методы кластерного анализа, аналитик может получить различные  решения для одних и тех же данных. Это считается нормальным явлением. Рассмотрим иерархические и неиерархические методы подробно.

     Суть  иерархической кластеризации состоит  в последовательном объединении  меньших кластеров в большие  или разделении больших кластеров  на меньшие.

     Иерархические агломеративные методы (Agglomerative Nesting, AGNES)Эта  группа методов характеризуется  последовательным объединением исходных элементов и соответствующим  уменьшением числа кластеров.