Эффективная годовая процентная ставка

Эффективная годовая процентная ставка

Доходность инвестиций может отличаться в зависимости от конкретных периодов начисления процентов. Если мы хотим сравнивать между собой варианты инвестиций, с отличающимися периодами начисления процентов, то должны привести их процентные ставки к единой, стандартной базе. Из этого следует, что мы должны различать номинальную (или объявленную) процентную ставку и эффективную годовую процентную ставку (effective annual interest rate). Эффективная годовая процентная ставка — это годовая процентная ставка, которая обеспечивает такой же процентный доход, как и номинальная ставка при ее начислении m раз в году.

Эффективная годовая процентная ставка (effective annual interest rate)

Фактическая процентная ставка, начисляемая (выплачиваемая) после внесения в

номинальную ставку поправки на такие факторы, как количество периодов начисления

процентов за год, Таким образом, по определению,

(1 + эффективная годовая процентная ставка) = (1 + [г / т])'

начисления процентов в году тп мы можем представить эффективную годовую

процентную ставку в следующем виде4:

Эффективная годовая процентная ставка = (1 + [г/tn])m -1 (3.21)

Если, например, ваш сберегательный план предполагает ежеквартальные

начисления на годичный вклад по номинальной процентной ставке, равной

8%, тогда эффективная годовая процентная ставка будет равняться:

(1 + [0.08/4])4 -1 = (1 + 0,02)" -1 = 0,08243.

Лишь в случае, если бы проценты начислялись ежегодно, эффективная годовая процентная ставка равнялась бы 8%-ной номинальной ставке.

Табл. 3.7 содержит ряд значений будущей стоимости по окончании одного

года для 1000 долл., на которые начисляется номинальная ставка 8%, для нескольких

разных периодов начисления. Из таблицы следует, что чем больше периодов начисления, тем выше будущая стоимость соответствующего депозита (и процентный доход, начисляемый на этот депозит) и тем выше эффективная годовая процентная ставка.

Т а б л и ц а 3.7. Влияние различных п е р и о д о в начисления процентов

на б у д у щ у ю с т о и м о с т ь 1000 д о л л . , инвестированных п о д 8% годовых

Начальная сумма (долл.) Периоды начисления процентов Будущая стоимость по окончании одного года (долл.) Эффективная годовая процентная ставка (%)*

1000 Ежегодно 1080,00 8,000

1000 Раз в полгода 1081,60 8,160

1000 Ежеквартально 1082,43 8,243

1000 Ежемесячно 1083,00 8,300

1000 Ежедневно (365 дней) 1083,28 8,328

1000 Непрерывно 1083,29 8,329

"1000 долл., инвестированные на год при этих ставках, начисляемых ежегодно, обеспечили бы такие же значения будущей стоимости, как те, которые указаны в столбце 3.

Простые проценты (simple interest) — это проценты, которые выплачиваются

(или приносятся) лишь на исходную, или основную, сумму (principal), взятую (или отданную) в долг. Денежное выражение простых процентов является функцией трех переменных: исходной, или основной, суммы (principal), взятой (или отданной) в долг; процентной ставки за один период времени; и количества периодов времени, на которые основная сумма берется (или отдается) в долг.

Простые проценты (simple Interest)

Проценты, которые выплачиваются (приносятся) лишь на исходную, или основную,

сумму (principal), взятую (или отданную) в долг, Формула для вычисления простых процентов имеет следующий вид:

SI = P0(i)(n), (3.1)

где SI — простые проценты в денежном выражении;

Р„ — основная, или исходная, сумма, заимствованная (или одолженная)

в первоначальный момент времени (точка 0 в начале первого периода);

i — процентная ставка за один период времени;

п — количество периодов времени.

Допустим, например, что вы открываете сберегательный вклад на 100 долл.,

предполагающий выплату простых процентов в размере 8%, и намереваетесь хранить

эти деньги в течение 10 лет. В конце десятилетнего периода сумма накопленных

процентов составит:

$80 = $100(0,08)(10).

Чтобы определить будущую стоимость (которую иногда называют конечной

стоимостью) суммы на этом счете на конец десятилетнего периода (FVt0),

мы добавляем проценты, заработанные только на основную сумму, к инвестированной

исходной сумме.

Будущая стоимость (конечная стоимость) (future value, terminal value)

Стоимость имеющейся в настоящее время суммы денег (или последовательности

платежей) в какой-то момент времени в будущем, оцениваемая с учетом заданной

процентной ставки.

Таким образом,

FVl0 = $100 + Г$100(0,08)(10)] = $180.

ДЛЯ любых простых процентов будущая стоимость суммы на счете в конце

и периодов определяется по формуле

FVn=P0+SI = P0+P0(i)(n),

или, что то же самое,

FV„=P0[i + (i)(n)]. (3.2)

Иногда нам приходится двигаться в обратном направлении. Иными словами,

нам известна будущая стоимость вклада при i процентах на п лет, но неизвестна

первоначально инвестированная основная сумма — приведенная

(текущая, современная) стоимость суммы на счете (PV0= Р0).

Приведенная (современная) стоимость(present value)

Текущая стоимость какой-либо будущей суммы денег или последовательности

предстоящих платежей, оцениваемая по заданной процентной ставке.

Все, что нам требуется в этом случае, — по-другому представить уравнение (3.2),

а именно

PV0=P0=FV,ftl+(i)(n)]. (3-3)

Теперь, когда мы познакомились с механизмом начисления простых процентов,

читателям, наверное, будет не очень приятно узнать, что большинство

ситуаций в финансах, связанных со стоимостью денег во времени, не имеет

вообще никакого отношения к простым процентам. Обычно в таких ситуациях

используются сложные проценты. Однако понимание механизма начисления

простых процентов поможет вам лучше разобраться в концепции сложных

процентов.

Сложные проценты

Разницу между простыми и сложными процентами можно лучше понять на

примере. Табл. 3.1 иллюстрирует весьма серьезное влияние, которое сложные

проценты оказывают на стоимость инвестиций во времени (особенно, если

сравнивать его с тем влиянием, которое оказывают на стоимость инвестиций

простые проценты). Из этой таблицы нетрудно понять, почему некоторые экономисты

называют сложные проценты величайшим изобретением человечества.

Концепция сложных процентов (compound interest) имеет большое значение

для понимания всей финансовой математики. Сам по себе этот термин

просто означает, что проценты, выплачиваемые (приносимые) по займу

(инвестиции), периодически добавляются к основной сумме. В результате

проценты зарабатываются на проценты, а также на первоначальную основную

сумму. Именно эффект этих "процентов на проценты" определяет колоссальную

разницу между простыми и сложными процентами. Как будет показано,

сложные проценты можно использовать для решения широкого спектра финансовых

задач.

Сложные проценты (compound interest)

Проценты, выплачиваемые (приносимые) на любые ранее выплаченные (принесенные)

проценты, а также на основную сумму, взятую (или отданную) в долг.

Т а б л и ц а Б у д у щ а я с т о и м о с т ь инвестированного 1 д о л л . д л я различных периодов времени при годовой процентной с т а в к е 8%

Годы При использовании простых При использовании сложных

процентов (долл.) процентов (долл.)

2 1,16 1,17

20 2,60 4,66

200 17,00 4 838949,59

Начисление сложных процентов несколько раз в течение года

Полугодичный и другие периоды начисления сложных процентов

Будущая стоимость. До сих пор мы предполагали, что проценты выплачиваются

ежегодно. Такое предположение существенно облегчает понимание основ изменения стоимости денег во времени. Сейчас, однако, наступило время рассмотреть взаимосвязь между будущей стоимостью и процентными ставками для различных периодов начисления процентов. Предположим, что проценты по вкладу выплачиваются раз в полгода. В этом случае, если вы помещаете 100 долл. на сберегательный счет при номинальной (nominal) (или объявленной (stated)) годовой процентной ставке, равной 8%, будущая стоимость по истечении шести месяцев составит:

FV05 = $100(1+[0,08/2]) = $104.

Иными словами, в конце полугодия вам должны начислить 4%, а не 8%. В конце

года будущая стоимость вашего вклада составит:

Щ =$100(1 + [0,08/2])2 =$108,16 .

Эта сумма равнялась бы 108 долл., если бы процент выплачивался лишь

раз в год. Разница в 0,16 долл. объясняется тем, что проценты за вторые шесть

месяцев начисляются на дополнительные 4 долл., начисленные в конце первых

шести месяцев. Чем большее число раз на протяжении года начисляются

проценты, тем большей оказывается будущая стоимость в конце данного года.

Номинальная (объявленная) процентная ставка (nominal (stated) interest rate)

Процентная ставка, указываемая применительно к периоду в один год и не корректируемая в соответствии с частотой начисления процентов. Если проценты начисляются несколько раз в год, эффективная процентная ставка оказывается выше, чем номинальная процентная ставка.

Универсальная формула для определения будущей стоимости по истечении п лет, когда процент начисляется m раз на протяжении одного года, имеет следующий вид:

FVn=PV0(l + [i/m]r • (3-17)

Чтобы проиллюстрировать использование этой формулы, допустим, что новые проценты выплачиваются поквартально. Допустим также, что вы хотите знать будущую стоимость 100 долл. в конце одного года, когда объявленная годовая ставка равняется 8%. В этом случае будущая стоимость равняется:

Щ= $100(1 + [0,08/4])< 4 ) < 1 )

= $100(1 + 0,02)4 =$108,24,

что, конечно же, больше, чем мы получили бы при использовании полугодичного

или ежегодного начислениясложных процентов.

Будущая стоимость по истечении трех лет в случае поквартального начисления

сложных процентов составит:

FV3 = $100(1+ [ 0 , 0 8 / 4 ] ) ( 4 ) < 3 )

= $100(1 + 0,02)12 =$126,82,

а в случае полугодичного начисления сложных процентов:

FV3= $100(1 + [0,08/ 2] ) ( 2 ) ( 3 )

= $100(1 + 0,04)6 =$126,53.

В случае ежегодного начисления сложных процентов будущая стоимость

по истечении трех лет составит:

FV3 = $100(1 + [0,08/1])( 1 ) ( 3 )

= $100(1 +0,08)3 =$125,97.

Таким образом, чем чаще в течение года выплачивается процент, тем большей

оказывается будущая стоимость. Когда т в уравнении (3.17) стремится к

бесконечности, мы приближаемся к непрерывному начислению (continuous

compounding) процентов. Вскоре мы более подробно остановимся на непрерывном

начислении и дисконтировании.

Приведенная стоимость. Когда проценты начисляются чаще, чем один

раз в год, формулу для вычисления приведенной стоимости необходимо пересмотреть

в том же плане, что и формулу для вычисления будущей стоимости.

Вместо того чтобы делить будущий денежный поток на (1+г)", как мы поступаем

в случае ежегодного начисления сложных процентов, приведенная стоимость

определяется с помощью формулы

PV0=FVJ(l+[i/m]r, (3.18)

где, как и раньше, FVn представляет собой будущий денежный поток, который

будет получен по окончании года п, т— сколько раз за год начисляются сложные

проценты, a i — ставка дисконтирования. Воспользовавшись уравнением

(3.18), мы могли бы вычислить, например, приведенную стоимость 100 долл.,

полученных по истечении трех лет, при начисляемой поквартально 8%-ной номинальной

ставке дисконтирования:

PV0 =$100/(1 + [ 0 , 0 8 / 4 ] ) ( 4 ) ( 3 >

= $ 100/(1 + 0.02)12 =$78,85.

Если ставка дисконтирования начисляется лишь раз в год, мы получим:

PV0 =$100/(1 + 0,08)3 =$79,38 .

Таким образом, чем меньшее количество раз в год происходит начисление

номинальной ставки дисконтирования, тем большей оказывается приведенная

стоимость. Эта взаимосвязь является полной противоположностью тому, что

мы наблюдаем в случае будущей стоимости.

Непрерывное начисление сложных процентов

Иногда проценты начисляются непрерывно. Таким образом, небесполезно

было бы рассмотреть, как это происходит на практике. Вспомним, что общая