Исследование проблемы выявления и коррекции гетероскедастичности с использованием тестов Вайта и Парка

Сравнивая значение Obs*R-squared с χ ² (1), который равен 3,84 при α = 0,05, получаем, Obs*R-squared < χ ² (1). Следовательно, в модели нет автокорреляции. 
 Для принятия решения о наличии мультиколлинеарности в модели исследуем коэффициенты корреляции между экзогенными переменными:

	POPULATION	LAND
POPULATION	1	0.646294827328046
LAND	0.646294827328046	1

 

 

 

Высокое значение коэффициента парной корреляции входящих в модель экзогенных переменных (ǀrǀ > 0,8) говорит о наличии мультиколлинеарности. Следовательно,в данной модели можно сделать вывод об отсутствии мультиколлинеарности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка модели на гетероскедастичность

Для начала проверим модель на наличие гетероскедастичности при помощи теста Вайта:

White Heteroskedasticity Test (no cross terms):

F-statistic	39.80702	Probability		0.000000
Obs*R-squared	29.45114	Probability		0.000006

χ ² _(α,k) = χ ² _(0.05,4) = 9.49

White Heteroskedasticity Test (cross terms):

F-statistic	30.82220	Probability		0.000000
Obs*R-squared	29.45691	Probability		0.000019

χ ² _(α,k) = χ ² _(0.05,5) = 11.07

В обоих  случаях теста Вайта (no cross terms/ cross terms) значение P-вероятности меньше уровня значимости α = 0.05 и Obs*R-squared превышает χ ² _(α,k), следовательно в данной модели присутствует гетероскедастичность.

Для большей  достоверности ещё раз проверим наличие гетероскедастичности, используя тест Парка. Строим две регрессионные модели натуральных логарифмов остатков базовой модели на натуральные логарифмы каждой объясняющей переменной отдельно.

Первая  вспомогательная модель теста Парка:

LOG(RESID01^2) = 42.97704876 + 0.24739024*LOG(POPULATION)

Dependent Variable: LOG(RESID01^2)
Method: Least Squares
Date: 12/14/12   Time: 01:25
Sample: 1 35
Included observations: 35
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	42.97705	3.212374	13.37860	0.0000
LOG(POPULATION)	0.247390	0.199971	1.237129	0.2248
R-squared	0.044323	Mean dependent var		46.92201
Adjusted R-squared	0.015363	S.D. dependent var		2.315925
S.E. of regression	2.298067	Akaike info criterion		4.557459
Sum squared resid	174.2767	Schwarz criterion		4.646336
Log likelihood	-77.75553	F-statistic		1.530487
Durbin-Watson stat	1.941850	Prob(F-statistic)		0.224771

Проверим  статистическую значимость коэффициентов  уравнения регрессии по t-статистике:

LOG(RESID01^2) = 42.97704876 + 0.24739024*LOG(POPULATION)

   (t)                     (13.379)                 (1.237)                        

Возьмем уровень значимости . Тогда критическое значение t-статистики равно:

t _{критическое} = t _{α/2, n-m-1}= t _{0.025, 35-1-1} = 2.042

Значение  t-статистики при переменной LOG(POPULATION) меньше критического значения, следовательно, делаем вывод о наличии гомоскедастичности по данной переменной.

Представим  вторую вспомогательную модель теста  Парка:

LOG(RESID01^2) = 41.48804715 + 0.4571981179*LOG(LAND)

Dependent Variable: LOG(RESID01^2)
Method: Least Squares
Date: 12/14/12   Time: 01:23
Sample: 1 35
Included observations: 35
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	41.48805	2.382721	17.41204	0.0000
LOG(LAND)	0.457198	0.198061	2.308372	0.0274
R-squared	0.139024	Mean dependent var		46.92201
Adjusted R-squared	0.112933	S.D. dependent var		2.315925
S.E. of regression	2.181236	Akaike info criterion		4.453106
Sum squared resid	157.0071	Schwarz criterion		4.541983
Log likelihood	-75.92935	F-statistic		5.328580
Durbin-Watson stat	1.749672	Prob(F-statistic)		0.027385

Проверим  статистическую значимость коэффициентов  уравнения регрессии по t-статистике:

LOG(RESID01^2) = 41.48804715 + 0.4571981179*LOG(LAND)

     (t)                   (17.412)                      (2.308)                    

Возьмем уровень значимости . Тогда критическое значение t-статистики равно:

t _{критическое} = t _{α/2, n-m-1}= t _{0.025, 35-2-1} = 2.042

Значение  t-статистики при переменной LOG(LAND) больше критического значения, следовательно, делаем вывод о наличии гетероскедастичности по данной переменной.

Используя тест Парка, я оценила в отдельности  каждую переменную исходной модели и  тем самым можно сделать вывод  о  наличии в данной модели герескедостичности по переменной LAND.

При помощи теста Вайта и Парка было доказано присутствие гетероскедастичности в данной модели, а, следовательно, дисперсии остатков данной модели непостоянны.

 

 

 

 

 

 

 

Коррекция гетероскедастичности

Устраним гетероскедастичность, выявленную ранее при помощи теста Вайта и Парка, в нашей исходной модели, используя метод взвешенных наименьших квадратов. Для этого возьмём вес равный .

Построим  новую скорректированную методом  взвешенных наименьших квадратов модель и оценим её качество:

AGRICULTURE = 90189600.61 + 226.3069961*POPULATION + 60250.1229*LAND

Dependent Variable: AGRICULTURE
Method: Least Squares
Date: 12/14/12   Time: 01:57
Sample: 1 35
Included observations: 35
Weighting series: 1/LAND
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	90189601	1.02E+08	0.884216	0.3832
POPULATION	226.3070	59.24623	3.819770	0.0006
LAND	60250.12	16435.03	3.665959	0.0009
	Weighted Statistics
R-squared	0.320647	Mean dependent var		2.29E+09
Adjusted R-squared	0.278188	S.D. dependent var		2.18E+09
S.E. of regression	1.85E+09	Akaike info criterion		45.59652
Sum squared resid	1.10E+20	Schwarz criterion		45.72984
Log likelihood	-794.9391	F-statistic		29.94796
Durbin-Watson stat	1.963625	Prob(F-statistic)		0.000000

Сперва, для оценки данной модели проверим статистическую значимость коэффициента детерминации, используя критерий Фишера:

F_{наблюдаемое}  = 29.948

F_{критическое} = F _{α, m, n-m-1} = F _{0.05, 2, 32} = 3.32

F-наблюдаемое больше, чем  F-критическое и из этого следует, что коэффициент детерминации статистически значим.

Статистическую  значимость коэффициентов уравнения  регрессии проверим по t-статистике, которая равна:

AGRICULTURE = 90189600.61 + 226.3069961*POPULATION + 60250.1229*LAND

        (t)                (0.884)                     (3.819)                         (3.666) 

Возьмем уровень значимости . Тогда критическое значение t-статистики соответственно:

t _{критическое} = t _{α/2, n-m-1}= t _{0.025, 35-2-1} = 2.042

Значения  t-статистик рассматриваемых переменных, за исключением свободного члена, больше критического значения (распределение Стьюдента), следовательно, делаем вывод об их значимости.

Проверку  модели на присутствие автокорреляции осуществим с помощью статистики Дарбина-Уотсона:

Durbin-Watson stat

1.963625

Воспользовавшись  грубым правилом (согласно которому автокорреляции нет при значениях DW от 0.5 до 2.5), принимает вывод об отсутствии автокорреляции.

Для проверки модели на гетероскедастичность воспользуемся тестом Вайта:

White Heteroskedasticity Test (no cross terms)

F-statistic	0.237977	Probability		0.914643
Obs*R-squared	1.076404	Probability		0.897998

χ ² _(α,k) = χ ² _(0.05,4) = 9.49

White Heteroskedasticity Test (cross terms):

F-statistic	0.191241	Probability		0.963498
Obs*R-squared	1.117202	Probability		0.952570

χ ² _(α,k) = χ ² _(0.05,5) = 11.07