Информация и основанные на ней ожидания участников рынка

     Информация  и основанные на ней  ожидания участников рынка.

     План:

1. Прогноз в виде условного математического ожидания.
2. Свойства прогнозов в виде условного математического ожидания.

 
     

1. Прогноз в виде условного  математического  ожидания.

     Говоря  об эффективности рынка, следует иметь в виду информационную эффективность рынка, т.е. эффективность рынка по отношению и в зависимости от определенной информации, а точнее, информационного потока, если учесть динамический характер поведения рынка.

     Для описания финансовых показателей будем использовать случайные величины, определенные на вероятностном пространстве , где

- пространство состояний рынка;  - совокупность всех наблюдаемых случайных событий на финансовом рынке, т.е. вся доступная информация о рынке; - вероятностная мера (вероятность).

     Поскольку анализ состояний рынка осуществляется в последовательные моменты времени  на основании имеющейся информации о рынке, то для целей анализа  в  удобно выделить временной поток доступной участникам рынка и относящейся к делу информации, т.е. поток информации такой ,что:

                                               (1.1)

где - совокупность событий на рынке до момента времени t включительно, т.е. информация, доступная участникам рынка.

     Предположим, что значение , анализируемой финансовой переменной (например, цены или доходности актива) складывается в зависимости от событий, наблюдаемых на рынке до момента времени t включительно, т.е. случайные величины являются измеримыми относительно информации ( -измеримыми).

     В момент времени t будем строить прогноз будущего значения

некоторой финансовой переменной при условии, что имеется информация . Соотношение (1.1) говорит о том, что с течением времени информация не убывает, однако в каждый фиксированный момент времени t участник рынка, как правило, не обладает всей информацией о рынке, а располагает ограниченной информацией Используя информацию , он может строить прогнозы относительно значений анализируемых финансовых показателей в будущий момент времени t+1, а также вычислять их числовые и функциональные характеристики.

     Прогнозное  значение анализируемого показателя X для момента времени t+1 по доступной в момент времени t информации определяется как условное математическое ожидание:

                                      (1.2)

которое существует, если

                                                                               (1.3)

     В отличие от безусловного математического  ожидания условное математическое ожидание является случайной величиной.

     Использование условного математического ожидания для вычисления прогнозных значений обусловлено оптимальностью данных прогнозов в смысле квадратичной функции потерь, известной как «среднеквадратическая ошибка прогноза».

     Пусть - некоторый прогноз , основанный на информации ,доступной к моменту времени t.

     Среднеквадратическая  ошибка прогноза (mean squared error - MSE) определяется выражением:

                             

     Наименьшая  среднеквадратическая  ошибка прогноза достигается , если:

                                     ,

т.е  используется прогноз в виде условного математического ожидания. 

     

2. Свойства  прогнозов в виде условного математического  ожидания.

     Для условного математического ожидания справедливы свойства типа Е.1-Е.3 безусловного математического ожидания:

     Е.1. Пусть с - произвольная константа и Е(Х) существует, тогда

                                                  

     Е.2. Если X, Y - случайные величины и существуют Е{Х}, Е{Y}, то

                                            

     Е.3. Если в условиях свойства Е.2 случайные величины X, Y взаимно независимы, то

                                                
 

     Имеют место следующие свойства условного  математического ожидания (conditional expectation - СЕ).

     СЕ.1. Если "тривиальная информация", включающая только два события - невозможное и достоверное, то с вероятностью 1 (или "почти наверное" - п.н.):

                                            

т.е. тривиальная  информация типа "курс акции не может  быть отрицательным" (отрицательный  курс - невозможное событие Ø) "курс акции неотрицателен" (достоверное событие Ω) не отражается на ожиданиях участников рынка.

     СЕ.2.  Информация , в момент времени t включает всю информацию, доступную к этому моменту, включая и фактическое значение     анализируемого показателя, поэтому его ожидаемое значение совпадает с фактическим.

                                   

     СЕ.3. Если имеются потоки информации двух видов и , причем

                                   то:

                                (2.1)             

     Данное  свойство говорит о том, что ожидаемое  в соответствии с ограниченной информацией значение прогноза , построенного по более полной информации, совпадает с прогнозом по ограниченной информации . Соотношение (2.1) можно представить в виде:

                                                     (2.2)

где величина может интерпретироваться как ошибка прогноза на основе информации .

     Из  последнего соотношения следует, что, основываясь на ограниченной информации нельзя улучшить прогноз, построенный  по более полной информации, или  предсказать его ошибку.

     СЕ.4. В условиях свойства СЕ.З

                

откуда  следует, что:

                  (2.3)

где - ошибка прогноза на основе информации .

     Правую  часть выражения (2.3) можно интерпретировать как поправку к прогнозу, построенному по ограниченной информации за счёт учёта дополнительной информации, содержащейся в . Таким образом, за счет использования более полной информации можно корректировать прогнозы, построенные на основе ограниченной информации.

         Различия в полноте информации  могут быть обусловлены различием  в источниках (видах) информации и времени поступления информации. Например, возможны следующие виды информации:

      - только значения цен и доходностей  активов;   

      - вся доступная участникам рынка  и относящаяся к делу информация, например, дополнительно к значения экзогенных переменных ;

        - вся информация, которая только может быть известна, включая частную информацию, доступную лишь ограниченному кругу лиц .

     Влияние временного фактора на полноту информации отражено в соотношении (1.1): с течением времени информация не убывает. При этом относительно одного и того же потока информации удовлетворяющего условию (1.1), можно сформулировать так называемые телескопические свойства условного математического ожидания типа СЕ.3, СЕ.4, учитывающие различия в полноте информации, обусловленные различием моментов времени ее поступления:

     СЕ.5.     

     СЕ.6.       

     Свойства  условных математических ожиданий используются для описания и исследования временной  зависимости цен финансовых активов  в условиях эффективного рынка. Модель зависимости последовательности случайных величин (цен активов) при этом называется мартингалом.