Бәсекелестік және монополия

Лабораториялық  жұмыс № 2 

  Тақырыбы:Сызықты теңдеулер жүйесін жуықтап шешу. 

     Тапсырма:Гаусс әдісімен Ax=B түріндегі сызықты теңдеулер жүйесін шешу. 

     Теориялық кіріспе  

     Гаусс әдісі – дәл әдістерінің біреуі.Гаусс әдісінің есептеу алгоритмі екі бағыттан тұрады. Бірінші бағыты А-матрица А = LU көбейтіндісіне жіктеледі. Мұндағы L-төменгі, ал U-жоғарғы ұшбұрышты матрицалар. Содан кейін берілген  (2.1), яғни  жүйесі екі эквивалент (2.2) жүйелерімен алмастырылады.

      Екінші  бағытта (2.2) жүйелері шешіледі. Олар оңай есептеледі, себебі  L мен U- ұшбұрышты матрицалар.

      Бұл екі бағыт - Гаусс әдісінің жалпы сипаттамасы ғана. Есептеу математикасында оның бірнеше түрлері кездеседі және олардың өзіндік ерекшеліктері бар.

      Енді  Гаусс әдісінің қарапайым түріне тоқталайық.

      Айталық, жүйесінде болсын. Кері жағдайда А матрицаның бірінші тік жолындағы элементіне сәйкес келетін жүйенің k – теңдеуін  1-теңдеумен алмастырамыз.

      Ары қарай мынадай теңдік құрамыз:

Оларды  1 - қадамының көбейткіштері, ал -ді осы қадамның бас элементі деп атайды.

      Содан кейін  жүйесінің бірінші теңдеуін ретімен көбейткіштеріне көбейтіп, оларды сәйкесінше 2,3,…,n-ші теңдеулерден шегереміз. Нәтижесінде (2.3) жүйесін шығарып аламыз. Мұндағы матрицасының 1-лік жолының диагональ астындағы элементтері нөлге тең. Енді

матрицасын  құрамыз. Сонда  теңдіктерінің орындалуын тексеру қиын емес.

      Бас элементтер деп алып, есептеулерді ары қарай жалғастырымыз, сонда (n-1)-қадамнан кейін.

(2.4)  жүйесі шығады. Мұндағы матрицасының диагональ астындағы элементтері нөлге тең, яғни ол   

түріндегі ұшбұрышты матрица.

      Нәтижесінде (2.1) жүйесінің орнына матрица ұшбұрышты болатын (2.4) жүйеге келдік.

      Гаусс әдісін екінші бағыттағы алгоритміне  тоқталайық.

      Біріншіден, -ді

формуласы арқылы есептеу  жүйесінің шешімін табумен бірдей. Мұны Гаусс әдісінің тура бағыты деп атайды.

      Екіншіден, U жоғары ұшбұрышты матрица болғандықтан, (2.4) жүйесінің шешімдері 

формулалары арқылы кері бағытта оңай есептеледі. Сондықтан, ол Гаусс әдісінің кері бағыты деп аталады. 
 

     MATLAB-та Гаусс әдісінің есептелуі 
 

     >> A=[2.93 2.98 2.14;3.47 2.98 2.50;4.78 4.22 3.70];

     >> B=[46.41;54.78;75.81];

     >>x=(A/B) 

      x=

                11.8250

                5.5643

                -1.1337