Анализ и решение задач с помощью дерева решений

АНАЛИЗ  И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ  С ПОМОЩЬЮ ДЕРЕВА РЕШЕНИЙ

  Процесс принятия решений с помощью дерева решений в общем случае предполагает выполнение следующих пяти этапов.

  Этап 1. Формулирование задачи. Прежде всего необходимо отбросить не относящиеся к проблеме факторы, а среди множества оставшихся выделить существенные и несущественные. Это позволит привести описание задачи принятия решения к поддающейся анализу форме. Должны быть выполнены следующие основные процедуры: определение возможностей сбора информаций для экспериментирования и реальных действии; составление перечня событии, которые с определенной вероятностью могут произойти; установление временного порядка расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять.

  Этап 2. Построение дерева решений.

  Этап 3. Оценка вероятностей состояний среды, т.е. сопоставление шансов возникновения каждого конкретного события. Следует отметить, что указанные вероятности определяются либо на основании имеющейся статистики, либо экспертным путем.

  Этап 4. Установление выигрышей (или проигрышей, как выигрышей со знаком минус) для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) и состояний среды.

  Этап 5. Решение задачи.

  Прежде  чем продемонстрировать процедуру  применения дерева решений, введем ряд определений. В зависимости от отношения к риску решение задачи может выполняться с позиций так называемых «объективистов» и «субъективистов». Поясним эти понятия на следующем примере. Пусть предлагается лотерея: за 10 дол. (стоимость лотерейного билета) игрок с равной вероятностью р = 0,5 может ничего не выиграть или выиграть 100 дол. Один индивид пожалеет и 10 дол. за право участия в такой лотерее, т.е. просто не купит лотерейный билет, другой готов заплатить за лотерейный билет 50 дол., а третий заплатит даже 60 дол. за возможность получить 100 дол. (например, когда ситуация складывается так, что, только имея 100 дол., игрок может достичь своей цели, поэтому возможная потеря последних денежных средств, а у него их ровно 60 дол., не меняет для него ситуации).

  Безусловным денежным эквивалентом (БДЭ) игры называется максимальная сумма денег, которую ЛПР готов заплатить за участие в игре (лотерее), или, что то же, та минимальная сумма денег, за которую он готов отказаться от игры. Каждый индивид имеет свой БДЭ.

  Индивида, для которого БДЭ совпадает с  ожидаемой денежной оценкой (ОДО) игры, т.е. со средним выигрышем в игре (лотерее), условно называют объективистом, индивида, для которого БДЭ ^ ОДО, - субъективистом. Ожидаемая денежная оценка рассчитывается как сумма произведений размеров выигрышей на вероятности этих выигрышей. Например, для нашей лотереи ОДО = 0,5*0 + 0,5*100 = 50 дол. Если субъективист склонен к риску, то его БДЭ > ОДО. Если не склонен, то БДЭ < ОДО. Вопрос об отношении к риску более строго рассматривается в гл. 4i

  Предположим, что решения принимаются с  позиции объективиста.

  Рассмотрим  процедуру принятия решения на примере  следующей задачи.

  Задача 3.4. Руководство некоторой компании решает, создавать ли для выпуска новой продукции крупное производство, малое предприятие или продать патент другой фирме. Размер выигрыша, который компания может получить, зависит от благоприятного или неблагоприятного состояния рынка (табл. 3.1).

  На основе данной таблицы выигрышей (потерь) можно  построить дерево решений (рис. 3.1).

  

  Рис. 3.1. Дерево решений  без дополнительного  обследования конъюнктуры  рынка: ÿ - решение (решение принимает игрок): [*] - случай (решение "принимает" случай); // - отвергнутое решение

  Таблица 3.1

Номер стратегии	Действия  компании	Выигрыш, дол., при состоянии экономической среды*
		благоприятном	неблагоприятном
1	Строительство крупного предприятия (а1)	200 000	-180 000
2	Строительство малого предприятия (a2)	100 000	-20 000
3	Продажа патента (a3)	10 000	-10 000

 

 

  • Вероятность  благоприятного и неблагоприятного состояний экономической среды равна 0,5.

  Процедура принятия решения заключается в  вычислении для каждой вершины дерева (при движении справа налево) ожидаемых денежных оценок, отбрасывании неперспективных ветвей и выборе ветвей, которым соответствует максимальное значение ОДО.

  Определим средний ожидаемый выигрыш (ОДО):

  • для  вершины 1 ОДО₁ = 0,5*200 000 + 0,5(-180 000) = 10 000 дол.;

  • для  вершины 2 ОДО₂ = 0,5*100 000 + 0,5(-20 000) =  40 000 дол.;

  • для  вершины 3 ОДО₃ = 10 000 дол.

  Вывод. Наиболее целесообразно выбрать стратегию  а₂, т.е. строить малое предприятие, а ветви (стратегии) а₁ и а₃ дерева решений можно отбросить. ОДО наилучшего решения равна 40 000 дол. Следует отметить, что наличие состояния с вероятностями 50 % неудачи и 50 % удачи на практике часто означает, что истинные вероятности игроку скорее всего неизвестны и он всего лишь принимает такую гипотезу (так называемое предположение «fifty - fifty» - пятьдесят на пятьдесят).

  Усложним  рассмотренную выше задачу.

  Пусть перед  тем, как принимать решение о  строительстве, руководство компании должно определить, заказывать ли дополнительное исследование состояния рынка или нет, причем предоставляемая услуга обойдется компании в 10 000 дол. Руководство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной информации, но оно поможет уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей.

  Относительно  фирмы, которой можно заказать прогноз, известно, что она способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода. Возможности фирмы в виде условных вероятностей благоприятности и неблагоприятности рынка сбыта представлены в табл. 3.2. Например, когда фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот прогноз оправдывается (с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия), прогноз о неблагоприятности рынка оправдывается с вероятностью 0,73.

  Таблица 3.2

Прогноз фирмы	Фактически
	Благоприятный	Неблагоприятный
Благоприятный	0,78	0,22
Неблагоприятный	0,27	0,73

 

 

  Предположим, что фирма, которой заказали прогноз  состояния рынка, утверждает:

  • ситуация будет благоприятной с вероятностью 0,45;

  • ситуация будет неблагоприятной с вероятностью 0,55.

  На основании  дополнительных сведений можно построить  новое дерево решений (рис. 3.2), где  развитие событий происходит от корня дерева к исходам, а расчет прибыли выполняется от конечных состояний к начальным.

  

  Рис. 3.2. Дерево решений  при дополнительном обследовании рынка (см. условные обозначения  к рис. 3.1)

  Анализируя  дерево решений, можно сделать следующие  выводы:

  • необходимо проводить дополнительное исследование конъюнктуры рынка, поскольку это позволяет существенно уточнить принимаемое решение;

  • если фирма  прогнозирует благоприятную ситуацию на рынке, то целесообразно строить  большое предприятие (ожидаемая максимальная прибыль 116 400 дол.), если прогноз неблагоприятный - малое (ожидаемая максимальная прибыль 12 400 дол.).