Теория оптимал. управления экономическими процессами

СОДЕРЖАНИЕ

 

1.  Задача 1

Предприятие может выпускать  два вида продукции – П-1 и П-2 без ограничений на количественный выпуск этой продукции. Для изготовления этой продукции предприятие располагает в течение месяца следующими ресурсами: трудовыми ресурсами в количестве 16 чел.-нед.; полуфабрикатами массой 110 кг; станочным оборудованием в объеме 100 станко-смен. Для изготовления 1 шт. продукции П-1 и П-2 требуется 1 чел.-нед. Для каждого вида продукции, соответственно полуфабрикатов 6 и 5 кг и станочного оборудования 4 и 6 станко-смен. Цена за 1 шт. каждого вида продукции равна соответственно 60 и 70 руб. Требуется составить такой план выпуска, чтобы объем продаж был максимальным.

Решение:

Введем переменные:

Х₁ – количество продукции первого типа, шт;

Х₂ – количество продукции второго типа, шт.

Определяем целевую  функцию:

.

Ограничения на ресурсы:

Из системы неравенств видно, что имеется две неизвестные величины, а, значит, можно использовать графический метод решения задачи.

На рисунке 1.1 изобразим линии ограничения ресурсов, а также целевую функцию для условных значений.

Треугольник ОАВ является областью допустимых значений. В соответствии с рисунком 1.1 максимальный объем продаж можно получить при пересечении целевой функцией точки А. В этом можно убедиться, найдя координаты вершин треугольника и посчитав прибыль в каждой из этих вершин.

Рисунок 1.1 – Определение области допустимых значений

Таким образом, объем продаж q = 1120 руб. получается в точке А(0;16), т.е. оптимальным будет выпуск 16 деталей типа Х₂. Очевидно, что при таком решении не все ресурсы используются полностью, поэтому целесообразно более тщательно проанализировать возможности полного использования ресурсов и предусмотреть меры для их наилучшего применения. Это позволяет выполнить анализ чувствительности.

1. Анализ чувствительности

1) Определим, какие  ресурсы являются лимитирующими, т.е расходуются полностью. Для этого в систему ограничений на ресурсы подставим координаты точки А(0;16), введем дополнительные переменные и преобразуем неравенства в уравнения:

Найдем оптимальные  значения переменных Х₃, Х₄, Х₅, Х₆ в точке А:

  

Х₃=0, т.е. ресурс 1 лимитирующий (трудовые ресурсы расходуются полностью);

Х₄=20, т.е. ресурс 2 (материальные ресурсы – полуфабрикаты) не лимитирующий;

Х₅=4, т.е. ресурс 3 (станочное оборудование) не лимитирующий.

Таким образом, не лимитирующие ресурсы: полуфабрикаты и станочное  оборудование – можно продать  или использовать для выпуска  других изделий, станочное оборудование также может быть сдано в аренду.

2) Исследуем лимитирующие  ресурсы.

В результате проведения анализа чувствительности только один ресурс (трудовой) расходуется полностью. Если появляется дополнительное количество лимитированного ресурса, то оптимальное решение может быть улучшено.

Рассмотрим лимитирующий ресурс. Из графика видно, что при увеличении количества данного ресурса оптимальной крайней точкой является точка С c координатами (0;16,67). Рассчитаем максимальный объем продаж и количество ресурса 1 при таком ассортиментном наборе:

 

;

.

Рассчитаем теневую  цену (т. е. максимальную цену дополнительной единицы ресурса):

 

Из этого следует, что  сверхнормативный запас данного  ресурса целесообразен только в  случае, если стоимость получения  любого дополнительного количества ресурса не превышает 70 руб за 1 единицу ресурса.

 

 

 

2. Исследование изменений в коэффициентах целевой функции

Целевая функция имеет  вид: .

Построим целевую функцию, проходящую через точку А.

          если Х₁=0, то Х₂=16;

если Х₂=0, то Х₁=18,67.

Введем дополнительные переменные: а – цена детали типа Х₁; b – цена детали типа Х₂.

Исследуем изменение  параметра а:

,

Преобразуя данное выражение, получим:

.

Отношение – тангенс угла наклона.

Преобразуем выражение  для линии (1):

Тангенс угла наклона  в этом случае равен  .

Совместим q с линией (1), т. е.:

Преобразуем выражение для оси ОХ₂:

Совместим q с осью ОХ₂, т. е.:

Таким образом, параметр а находится в диапазоне измерения . Это значит, что точка А соответствует оптимальному ассортиментному набору только до тех пор, пока цена деталей типа Х₁ изменяется от 0 до 70 рублей за штуку, т.е. не превышает 70 рублей.

Исследуем изменение  параметра b:

,

Преобразуя данное выражение, получим:

.

Отношение – тангенс угла наклона.

Преобразуем выражение  для линии (1):

Тангенс угла наклона  в этом случае равен  .

Совместим q с линией (1), т. е.:

Преобразуем выражение для оси ОХ₂:

Совместим q с осью ОХ₂, т. е.:

Таким образом, параметр b находится в диапазоне измерения . Это значит, что точка А соответствует оптимальному ассортиментному набору только до тех пор, пока цена деталей типа Х₂ превышает 60 рублей за единицу.

 

2.  Задача 2

 

Предприятие городского хозяйства занимается благоустройством дворовых территорий. В зависимости  от размера территории, объема работ  и удаленности их друг от друга  стоимость работ может быть различной. Найти оптимальную последовательность благоустройства территорий, чтобы затраты были минимальны (таблица 2.1)

 

Таблица 2.1 – Исходные данные

Последовательность благоустройства	Стоимость, у.е.
1-2	7
1-3	9
1-4	8
2-5	12
2-6	3
3-5	5
3-6	3
3-7	6
4-6	10
4-7	11
5-8	2
5-9	5
6-8	6
6-9	7
7-8	3
7-9	8
8-10	11
9-10	9

 

 

 

 

Решение:

Построим сетевой график благоустройства территорий (рисунок 2.1)

 

Рисунок 1.1 – Сетевой  график благоустройства территорий

 

Для реализации принципа оптимальности удобно использовать следующие обозначения:

 – стоимость, отвечающая  стратегии минимальных затрат  для пути от состояния i, если до конечного состояния остается k шагов;

 – решение (управление), позволяющее  достичь (символ j зависит от шага k, номера вершины i и соответствует некоторому фиксированному пути), показывает переход от вершины к вершине . Последовательность j соответствует оптимальному уравнению.

Рекуррентное соотношение  имеет вид:

.

Упорядоченную запись вычислений выполним в таблице 2.2.

 

Таблица 2.2 – Вычисления оптимального решения

k
1	8	10	11	0	11	11	10
	9	10	9	0	9	9	10
2	5	8	2	11	13	13	8
		9	5	9	14
	6	8	6	11	17	16	9
		9	7	9	16
	7	8	3	11	14	14	8
		9	8	9	17
3	2	5	12	13	25	19	6
		6	3	16	19
	3	5	5	13	18	18	5
		6	3	16	19
		7	6	14	20
	4	6	10	16	26	25	7
		7	11	14	25
4	1	2	7	19	26	26	2
		3	9	18	27
		4	8	25	33

 

 

Оптимальная последовательность благоустройства территорий:

1 – 2 – 6 – 9 – 10,

затраты согласно этой последовательности составят:

Список  использованных источников

1. Михайлова Э.А. Методы оптимального управления экономическими процессами на предприятиях машиностроения и городского хозяйства: Учебное пособие. – 2-е издание, стереотипное. – Рыбинск: РГАТА имени П.А. Соловьева, 2011. – 96 с.
2. Михайлова Э.А., Смирнов А.О. Методы нахождения оптимального управления экономическими системами: Пособие для практических занятий / РГАТА. Кафедра экономики. – Рыбинск, 1999. – 40 с.