Оптимальное соотношение между вероятностью и величиной штрафа

Оптимальное соотношение между  вероятностью и величиной  штрафа.

А. МИТЧЕЛЛ ПОЛИНСКИЙ И СТИВЕН ШЕЙВЛЛ*

Штрафы используются в различных ситуациях для контроля действия, которые приводят к отрицательным внешним эффектам. Примеры таких действий включают загрязнение воздуха, превышение скорости или парковка вторым рядом, уклонение от налогов и попытка монополизирования промышленности. Если бы издержки на поимку и слежку за людьми(или фирмами) были ниже, когда они участвуют в деятельность, связанную с созданием внешних эффектов, по-видимому все были бы пойманы и оштрафованы в соответствии с издержками от их деятельности. Это традиционный решение – налог Пигу. Люди принимали участие в деятельности только если их частные выгоды превышают издержки, которые несёт общество. Однако, в большинстве ситуаций поимка людей, совершающих деятельность, связанную с внешними эффектами трудна. Если, в результате вероятность поймать индивида меньше чем один, как это часто бывает, то штраф следует поднять до такого уровня , что, как в решении Пигу, люди участвовали бы в деятельности только если их частная прибыль превышает общественные издержки. Так как имеется возможность сделать это для любого уровня вероятности поимки нарушителей и так как повышение вероятности поимки является более дорогостоящим, то часто предполагается, что вероятность должна быть настолько низкой, насколько это возможно. Единственное ограничение на понижение вероятности, которое признано, это неспособность людей заплатить штраф; таким образом, оптимальный штраф равен богатству человека. Отметим, что это рассуждение применяется независимо от величины отрицательного внешнего эффекта от деятельности нарушителя. Это представление оптимального соотношения между вероятность и величиной штрафа не кажутся реалистичными. Людей редко штрафуют на сумму, приближающуюся к их богатству, особенно для действий, которые имеют относительно небольшой внешний эффект. Данная работа указывает на ошибку в представлении и предлагает объяснение выбора оптимальных вероятности и штрафа. Ошибкой было не принимать во внимание возможность того, что люди могут быть несклонными к риску. Возможность отвращения риска действует иначе, так что люди могут принять другое решение относительно участия в незаконной деятельности, отличное от решения Пигу. (Для любой данной вероятности, штраф может быть понижен в пределах от уровня, при котором математическое ожидание равняется стоимости внешних издержек, до уровня, отражающего отвращение риска, такое, что только те люди, для кого частная прибыль превысит внешний ущерб, участвуют в деятельности.) Скорее ошибка состоит в том, что данная точка зрения не принимает во внимание риск, который является пределом для тех, кто действительно участвует в незаконной деятельности. Этот риск присутствует всякий раз, когда люди оплачивают штраф с (положительной) вероятностью меньше чем один. Статья организованна следующим образом.

Первый раздел описывает  проблему максимизации общественного  благосостояния когда индивиды выбирают совершать правонарушение или нет.

Второй раздел посвящён индивидам, нейтральным к риску, оптимальная вероятность настолько низка насколько возможно, а величина штрафа максимально высока. Однако, предположение о нейтральности риска кажется неправдоподобным в ситуациях, когда люди столкнулись бы с риском потери всего их богатства.

Раздел три доказывает два суждения для людей несклонных к риску. Во-первых, если издержки на поимку людей достаточно малы, то оптимальная вероятность равняется единице. Это верно потому что пагубность риска быть пойманным и оштрафованным перевешивает потенциальные сбережения от сокращения вероятности. Кроме того, когда оптимальная вероятность один, оптимальный штраф равняется личной выгоде тех, кто участвует в правонарушении. Во-вторых, если это оптимально для управления правонарушениями вообще, тогда, независимо стоимости поимки индивидов, поимка с очень низкой вероятностью и штрафом, превышающим внешние издержки, никогда не будет оптимальной. Это верно, потому что такой подход так понизил бы полезность от риска и не покрыл бы расходы на контролирование правонарушений.

Раздел IV показывает, что невыгодно позволить индивидам снижать риск быть оштрафованными, с помощью покупки страховки против штрафов. Это верно потому что правительство может достигнуть того же самого результата, понижая штраф.

Раздел V иллюстрирует основное пункты статьи с некоторыми гипотетическими вычислениями оптимальной вероятности и величины штрафа за парковку вторым рядом.

Раздел VI обсуждает  некоторые дополнительные аспекты проблемы определения оптимального соотношения между вероятностью и величиной штрафов. Хотя эта статья не исходит из соображения правосудия в числах, но это очевидно, что они относятся к определению оптимальной вероятности и штрафа. Например, чрезмерное(намного больше внешних издержек для общества) , может расцениваться как несправедливое, или поимка только небольшой части тех, кто создаёт отрицательный внешний эффект, могут быть расценены как случайное действие

Эти соображения  дополняют выводы этой статьи о людях, несклонный риск.

II.   Модель

Индивиды, которые, как предполагается, идентичны, сталкиваются с выбором участвовать в правонарушении или нет. Кто извлечёт пользу от участия в правонарушении зависит от случайных факторов, но известно ему прежде, чем он примет решение.

Если индивид хочет участвовать в деятельности, есть шанс, что он будет пойман и оштрафован. Правительство финансирует усилия по поимке людей путём подушевого налога. Штрафы, выплаченные пойманными индивидами, используются для уменьшения этого налога. Люди имеют возможность застраховаться от ущерба, причиняемого внешними эффектами, но запрещено застраховаться против риска быть оштрафованным. Определите следующие переменные:

U - полезность предоставления функции богатства. Эта функция, как предполагается, отражает нейтральность к риску или избегание риска.

y - начальное богатство.

a, b - возможная прибыль от участия в правонарушении (а<b). Хотя прибыль от нарушения имеет неденежную природу, предполагается, что она имеет денежно-кредитные эквиваленты, a и b.

q - вероятность, что выгода будет равна a (O <q <1).

n – доля населения, участвующих в правонарушении.

e – издержки для общества появляются всякий раз, когда человек участвует в деятельности. Каждый человек в населении, как предполагается, одинаково вероятно, может создавать внешние издержки.

- страховой взнос на душу населения для полный защиты от внешних изздержек. Премия равняется ожидаемой внешней стоимости на душу

          (1)       = ne

 f – штраф, выплаченный индивидом, который участвовал в правонарушении и пойман.

p - вероятность, что индивид, участвующий в правонарушении, будет пойман. Вероятность быть пойманным, как предполагается, не зависит от выгоды человека.

 c (p, X) - стоимость на душу населения поддержания текущего уровня p, как вероятности поимки тех, кто участвует в деятельности, где Сp> O; - параметр изменения функции стоимости, где С > 0 и С (p, 0) =0.

t - налоги на душу населения. Правительство финансирует с помощью налогов издержки на поимку индивидов, снижая их за счёт собранных штрафов.

        (2) t - С (p, ) -npf,

Индивид участвовал бы в правонарушении, если ожидаемая полезность от участия, с учётом выгоды и вероятности заплатить штраф, превышала бы полезность его начального благосостояния. Таким образом, индивид, который извлек бы выгоду, равную а, участвует в деятельности, если

    (3) (1 - p) U (y-t- + a)

                               + pU (y - t - ir + - f)

                                                             > U (y-t-)

Аналогично индивид, который получает выгоду, равную b, участвует в правонарушении, если:

     (4) (1 - p) U (y - t- + b)

      + pU (y - t- + b-f)

   > U (y-t-r)

Доля населения, совершающего правонарушения, n, определена неравенствами (3) и (4).

Предположим, что EUa и EUb - ожидаемая полезность индивидов, получающих соответственно a или b от совершения правонарушения. Тогда ожидаемая полезность для индивида, высчитывается прежде, чем он будет знать размер его потенциальной выгоды равен a или b

           (5) ЕU = qEUa + (1-q) EUb

Проблемой, обсужденной  здесь, является определение вероятности  и штрафа, которые максимизируют ожидаемая полезность. Формально, проблема заключается в выборе p и f, максимизирующих полезность, где (3) и (4) определяют EUa и EUb с помощью p, f, t, и, и где (1) и (2) определяет и t.

На деле вопрос сложнее, предполагается что если издержки на управление индивидуальным поведением были ниже, тогда ожидаемая полезность максимальна, если бы те, кто получает большую полезность, участвовали в правонарушении, а те, кто меньшую - нет. Другими словами a< e< b.  

Прежде, чем продолжить, необходимо обсудить порог вероятности, самый высокий уровень вероятности, ниже которого невозможно удержать людей от совершения правонарушения. Такая вероятность существует, потому что есть предел, на какую сумму может быть оштрафован индивид.

Обозначим через w богатство человека,

g- потенциальная выгода,

 p1(w, g) - пороговая вероятность.

 Так как g имеет неденежную природу, если человек совершает правонарушение и его штрафуют на максимум w, его полезность - U (g).

Пороговая вероятность вычисляется из уравнения:

(1 – p1) U (w + g) + p1U (g) = U (w)

 с тех пор с максимально возможным штрафом,

p1-устанавливается на таком уровне, что индивиду безразлично совершать правонарушение или нет. Очевидно, если p - меньше чем p1, человек совершал бы правонарушение независимо от уровня штрафа.

Решение для пороговой  вероятности (6) дает

(7) p1(w,g)= U (w + g) - U (w)/U (w + g) - U (g)

 Отметьте что выше личная выгода, тем выше пороговая вероятность,

(8) p1g = [U' (w + g) [U (w) - U (g)] + U' (g) [U (w + g) - U (w)]] * [U (w + g) - U (g)] > 0

Это имеет смысл, потому что сложнее препятствовать совершению правонарушений , когда выгоды от совершения так велики.  

1. Нейтральные к  риску индивиды

 В этом случае, оптимальным будет вероятность, настолько низкая, насколько это возможно(равна пороговой вероятности) и величина штрафа настолько высокая, насколько это возможно(равна богатству индивида).

(a) Этот результат верен независимо от того, насколько мала стоимость поимки людей.

(b) В оптимуме, только те люди, чья частная прибыль превышает стоимость внешних издержек.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Примем p* и f * за оптимальные вероятность и размер штрафа и предположим, что p*> 0 (то есть, это оптимально, чтобы контролировать правонарушения). Тогда получается, что p* = p-(y - t -, a) and* = y - t - . Так как p*> 0, то те, кто извлек бы пользу a не совершают правонарушение, а те, кто получил бы b участвуют в этом: рассмотрим три возможных варианта.

Если все люди участвуют в деятельность, очевидно, что лучше ничего не тратить для контроля правонарушений (то есть, установить p = 0), противоречащее p*.

 Если только  те, кто получает а участвуют в деятельности, снова лучше ничего не тратить на контроль правонарушений с тех пор , когда те, кто получает выгоду b, частная выгода превышает общественные издержки.

Если ни получающие а, ни получающие b не участвуют в деятельности, имеет смысл изменить только штраф, тем самым побудив получающих b, но не получающих а не участвовать в деятельность. 

III. Люди несклонные к риску

В этом случае, оптимальным соотношением между вероятность и величиной штрафа определяется двумя суждениями. Первое: если стоимость поимки людей, λ, достаточно мала, оптимальная вероятность равна единице. Когда оптимальная вероятность равняется один, оптимальный штраф равняется личная выгоде b, получаемой от совершения правонарушения. Второе суждение: при росте λ оптимальная вероятность может быть всегда ниже пороговой вероятности пока они не опустятся до нуля, и оптимальный штраф может быть меньше, чем богатство человека. Как отмечено во введении, использование меньшей вероятности и более высокого штрафа может понизить полезность от риска иметь и больше выгоды, чем от контроля за правонарушениями.