Эконометрика Лекции

  Желание статистика представить любое из наблюдений хi в виде вектора z вспомогательных  показателей.

   с существенно меньшим, чем число р компонент р` бывает обусловлен следующим причинам:

  необходимостью  наглядного представления исходных данных, что достигается их проецированием на специально подобранное трехмерное пространство (p`=3) или двухмерное (р`=2) или одномерное (р`=1);

  стремлением к локализму исследуемых моделей для упрощения счета и интерпретации полученных выводов;

  Ограниченными возможностями человека в одновременном  охвате большого числа частных критериев;

  Например: в анализе ряда разноспекторных  характеристик качества жизни человека. А отсюда, стремление к сверстке информации и этих частных критериев и переходу к интегральному индикатору.

  Необходимостью  сжатия объемов хранимой информации (стат) в специальной БД. При этом вспомогательные признаки z₁ z₂ …_zр могут вбираться из числа иходных признаков, либо явл их линейными комбинациями.

  При формировании новой системы признаков k последним  предъявляются разного рода требования, такие как: Наибольшая информативность (в определенном смысле) взаимная некоррелированность

  Наименьшее  искажение структуры их данных; В зависимости от варианта формальной конкретизации этих требований приходим к тому или иному алгоритму снижения размерности.

  Имеется по крайней мер 3 основных тип принципиальных предпосылок, обуславливающих возможность  перехода от большего числа р- исходных показателей, состояний исследуемой системы k существенно меньшему р` наиболее информативных переменных: дублирование информации (наличие взаимосвязанных признаков); не информативность (малая вариательность признака при переходе от одного объекта к др); возможность агригорования (т.е. простого суммирования или взаимного по некоторым группам).

  Формально задача перехода с наименьшими потерями от р признаков к новому набору р` м.б. описана следующим образом: Пусть Z=Z(x)=Z(Z<sub>1</sub> Z<sub>2</sub> … Z<sub>p</sub>`) Некоторая р` -мерная функция от исходных переменных.

  И пусть  У_р(Z(x)) – определенным образом заданная мера информативности р`-мерной системы признаков: Z= Z(Z₁(х) Z₂(х) … Z_p(х))Т

  Конкретный  выбор функционально зависит  от специфики реально решаемых задач  и оперяется на один из возможных критериев.

  Критерия  автноинформативности нацеленных на мах-ие сохранение информации, содержащейся в исходном массиве x_i , относительно самих исходных признаков.

  Критерий  внешней информативности, нацеленной на мах-ию «выжимания» из х_i информации относительно некоторых внешних показателей.

  Тот или  иной вариант конкретизации этой постановке приводит к конкретному  методу снижения размерности, а именно: -методу гл. компонентов; -методу факторного анализа; -метод экстремальной группировке параметров.

  Метод гл. компонент.

  Во  многих задачах обработки многомерных  наблюдений и в частности в  задачах классификации исследователя интересуют лишь те признаки, γ обнаруживают наибольшую изменчивость при переходе от одного объекта к др. С др стороны не обязательно для описания состояния объекта использовать какие-то из исходных замеренных на нем признаки (например, портной делает М изделий но для покупки достаточно 2 значения : рост и объем груди). Следуя общей оптимальности постановок задачи снижения размерности выражения:

   ,

  можно принять в качестве меры информативности p`-мерной системы показателей. Тогда  при любом фиксированном р` вектор Z искомых показателей вспомогательных переменных (новых) определяется как линейная комбинация Z= исходных данных, где - вектор центрированных исходных данных.

   - принцип строки, γ удовлетворяет условию ортагональностьи.

  Полученных  т.о. переменные и называют гл. компонентами.

  1-ой  гл. компонентой явл та, γ обладает наибольшей дисперсией. Далее компоненты располагаются по мере убывания дисперсей. Вычисление гл. компонент. По исходным статистическим данным получить вектор ср. значений и квалификационную матрицу ∙Σ.

  Для определения  коэффициентов линейного преобразования, с помощью γ осуществляется переход к главным компонентам необходимо решить харак-ческое уравнение.

  

  где ε  – единичная матрица соответствующего порядка, λ=(λ1, λ2, … λр) – собств-ые значения (числа),  Σ- сигма.

  найти относительные доли суммарной дисперсии, обусловленные этим компонентом

   ; ; …

  К сожалению  гл. компонента бывает сложно интерпретировать.

  Х1- носит  самую большую нагрузку.

  Располагая  исходными данными и используя уравнение для z1 (меняя значения х) можно посчитать значения 1-ой гл. компоненты для люб измеряемых пр-ий.

  Интерпретируем z₁ как объясняющую переменную и записываем уравнения хi=f(z1) (уравнение парной регрессии) для люб исходного показателя.

 

13. Измерение тесноты связи  м/у показателями. Анализ матриц парных коэффициентов корреляции.

 

 

14. Компьютерная  технология эконометрического  моделирования. И  использование статистических пакетов

 

 

15. Оценка  влияния факторов на зависимую переменную: коэффициент эластичности и β-коэффициент.

  Влияние факторов на зависимую переменную оцениваются  с помощью коэффициентов эластичности и β-коэффициентов.

  

  Он  показывает на сколько % увеличится результативный показатель У при увеличении соответствующего j-ого фактора на 1%.

   , где 

    и 

  он  показывает на какую величину своего среднего квадратического отклонения изменится результативный показатель У при увеличении соответствующего j-ого фактора на 1-о свое среднеквадратическое отклонение.

 

16. Анализ  эконометрических объектов и прогнозирование  с помощью модели множественной регрессии.

  По  полученной, адекватной и точной моедли можно строить точечный и интервальный прогноз.

  Прогнозное  значение факторных показателей Х_j можно поучить:

  А) построив уравнение тренда (если он есть)

  Б) либо применить адаптивную модель Брауна, если предпочтения надо отдать последним  данным (при отсутствии сезонности).

  В) либо построив адаптивную модель Хольтст-Уильтерса – если есть сезонность (и курс)

  Г) либо применив метод экспериментальных  оценок (и курс?)

  Д) Поучив обобщенный прогноз по всем вышеперечисленным  моделям с учетом коэффициента важности.

  Подставив точечный прогноз фактора Х_j в модель получим точечный прогноз результативного показателя У. Вероятность того, что от сбудется =0, поэтому необходимо построить доверительный интервал, в γ с заданной доверительной вероятностью р попадет прогнозное значение. Ширина доверительного интервала

   , где Sm – ср квадрат ошибка модели

   ; ,

  

  ?????

 

  

17. Модель  множественной регрессии. Выбор вида модели и оценка ее параметров

  Связь между у и независимыми факторами  х1, х2, … хn можно охарактеризовать уравнением (моделью) множественной регрессии.

  Y=f (х1, х2, … хn).

  Эта модель показывает, какие значения в ср принимает результативный показатель У, если переменные Хi примут какие-то свой конкретные значения.

  В зависимости  от функции f будем иметь линейную или не линейную множественную регрессию.

  Тинтером  было доказано, что усложнение формы  связи м\у хi и у не принципиально  влияет на конечные результаты.

  Линейная  модель множественной регрессии.

  У=а0+а1х1+ а2х2+…+ аmхm+e

  Параметры определяются с помощью методов наименьших квадратов.

   Для  этого проведем все рассуждения  в матричной форме. Введем следующие  матричные обозначения:

     ;

  где У  вектор n значений результативного показателя.

  Х –  матрица n значений m независимых переменных; а матрица параметров

  У=Х∙а+ε.

  Заметим, что а – выборочные оценки совокупности.

  Итак, метод наименьших квадратов требует  мин-ии суммы квадратов отклонений исходных модели значений ,

  Далее:

  Из  матричной алгебры известно, что  , тогда:

  

  1 –  это есть матрица размерностью 1Х1, т.е. число-скаляр, а скаляр  при трансформировании не меняется, поэтому Þ

  Согласно  условию экстремума S по а =0

   ;

  2ХТY+2aXTX=0

  XTY=aXTX

  Для погашения  а умножим обе части этого  уравнения на (ХТХ)-1, тогда

  а= (XTХ)-1∙XTY

  Решение задачи нахождения матицы, а возможно лишь в том случае, если строки и столбцы матрицы Х линейно независимы.

 

  

18. Проверка  качества многофакторных регрессионных моделей.

  Качество  модели, т.е. ее адекватность и точность проверяется с помощью d-критерия – критерия независимости последних уровней остаточной компоненты.

  

  если (d`)dp [1.36;2,0), то остаточные компоненты не коррелированы.

  если (d`)dp>2, то переходим к d`=4 - dp

  если (d`)dp [1.08;1,36), то используют

   ; Þ ………………………………..

  Далее критические повороты точек (о случайности  значений остаточной компоненты)

  При использовании  поворотных точек следует обратить особое внимание на сущ-ие аномальных значение εi .

  Если  какие-то значения εi .явл аномальными, то соответствующие I-ое наблюдение из данных надо убрать.

  Далее R/S-критерий ///соответствие распределения  остаточной компоненты по нормальному  закону///.

   , если R/Sрасч принадлежит соответствующему  интервалу (критические значения R/S стр 72 методички эконометрика), то остаточная компонента распределена по нормальному закону. При выполнении всех критериев модель адекватна.

  Точность  модели можно оценить с помощью  средней относительной ошибки.

    Þ модель точна и ее можно использовать в прогнозировании.

  Влияние факторов на зависимую переменную оцениваются  с помощью коэффициентов эластичности и β-коэффициентов.

  

  Он  показывает на сколько % увеличится результативный показатель У при увеличении соответствующего j-ого фактора на 1%.

   , где 

    и 

  он  показывает на какую величину своего среднего квадратического отклонения изменится результативный показатель У при увеличении соответствующего j-ого фактора на 1-о свое среднеквадратическое отклонение.