Цифровая электроника

Вариант 30

 

Задача 1

 

1.1 Представить десятичное число (таблица № 1, строка 1) в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной форме.

1.2 Представить шестнадцатеричное число (таблица № 1, строка 2) в двоичной форме.

 

Таблица 1 – Исходные данные для расчета

Вариант	30
1	1854
2	28Е

 

Решение:

 

1. Представим десятичное число 1854 в двоичной форме путем последовательного деления данного числа на 2.

 

Таким образом,

Для восьмеричной — разбиваем переводимое число на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (2³=8), в данном случае 3, то есть триад). Преобразуем триады по таблице триад:

000=0             100=4

001=1             101=5

010=2             110=6

011=3             111=7

 

Тогда, в восьмеричной системе счисления:

 

 

Для шестнадцатеричной  — разбиваем переводимое число  на количество цифр, равное степени 2 (2 возводится в ту степень, которая требуется, чтобы получить основание системы, в которую требуется перевести (24=16), в данном случае 4, то есть тетрад). Преобразуем тетрады по таблице тетрад:

 

0000=0      0100=4       1000=8         1100=C

0001=1      0101=5       1001=9         1101=D

0010=2      0110=6       1010=A        1110=E

0011=3      0111=7       1011=B        1111=F

 

Тогда, в шестнадцатеричной  системе счисления:

 

 

 

2. Представим шестнадцатеричное число 28Е в двоичной форме:

 

 

 

Задача 2

 

2.1 Логические функции у1, у2, у3, заданные таблицей истинности (таблица 2), представить в совершенных нормальных дизъюнктивной (СДНФ) и конъюнктивных (СКНФ) формах.

2.2 Минимизировать функции, применив любой известный метод минимизации.

2.3 Синтезировать комбинационную схему, реализующую функции у1, у2, у3.

 

Таблица 2 – Таблицы  истинности логических функций

Вариант				30
0	0	0	0	1	0	0
0	0	0	1	1	1	1
0	0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1
0	1	0	0	1	0	1
0	1	0	1	0	1	0
0	1	1	0	0	1	1
0	1	1	1	1	0	1
1	0	0	0	1	1	0
1	0	0	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	0
1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1
1	1	0	1	1	0	1
1	1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1

 

Решение:

 

1а СДНФ функции Y получается как дизъюнкция минтермов (конъюнкции прямых и инверсных переменных, определяющих “единичное” значение функции Y):

Составим СДНФ для  , , :

 

 

1б СКНФ функции Y получается как конъюнкция макстермов (дизъюнкции прямых и инверсных переменных, определяющих “нулевое” значение функции Y):

 

Составим СКНФ для , , :

 

2 Минимизируем полученные функции.

 

2.1 Для функции составим Карту Карно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.1 – Карта Карно для минимизации СДНФ функции

 

Тогда минимизированная функция равна:

В полном базисе:

 

 

 В базисе И-НЕ:

 

 К базису ИЛИ-НЕ данная функция не преобразуется

 

2.2 Для функции составим Карту Карно.

 

 

 

Рисунок 2.2 – Карта Карно для минимизации СДНФ функции

 

Тогда минимизированная функция  равна:

В базисе И-ИЛИ-НЕ:

 

 

В базисе И-НЕ:

 

 

К базису ИЛИ-НЕ данная функция не преобразуется

 

2.3 Для функции составим Карту Карно.

 

 

 

Рисунок 2.3 – Карта Карно для минимизации СДНФ функции

 

Тогда минимизированная функция  равна:

В базисе И-ИЛИ-НЕ:

 

 

В базисе И-НЕ:

 

 

 

2.4 Минимизируем функцию .

Составим Карту Карно.

 

 

Рисунок 2.4 – Карта Карно для минимизации СКНФ функции

 

Тогда минимизированная функция  равна:

 

В полном базисе:

 

 

В базисе ИЛИ-НЕ:

 

 

 

2.5 Минимизируем функцию .

Составим Карту Карно.

 

 

Рисунок 2.5 – Карта Карно для минимизации СКНФ функции

 

Тогда минимизированная функция  равна:

В базисе И-ИЛИ-НЕ:

 

 

В базисе ИЛИ-НЕ

 

 

2.6 Минимизируем функцию .

 

Составим Карту Карно.

 

 

 

 

Рисунок 2.6 – Карта Карно для минимизации СКНФ функции

 

Тогда минимизированная функция  равна:

В базисе И-ИЛИ-НЕ:

 

 

В базисе ИЛИ-НЕ:

 

3 Построим комбинационную схему, реализующую функций y1, y2, y3 в базисе И-НЕ.

 

 

Рисунок 2.7 – Комбинационная схема, реализующая функции у1, у2, у3, в базисе И-НЕ

 

Задача 3

 

3.1 Определить логическую функцию, выполняемую заданной комбинационной схемой (рисунок 2).

3.2 Минимизировать полученную функцию, применив любой известный метод минимизации.

 

 

Решение:

 

Составим логическую функцию, выполняемую заданной комбинационной схемой. Поясним принцип работы демультиплексора при помощи таблицы истинности (см. таблицу 3.1)

 

Таблица 3.1

Адресные входы		Выход
А1	А0	Q0	Q1	Q2	Q3
0	0	I	0	0	0
0	1	0	I	0	0
1	0	0	0	I	0
1	1	0	0	0	I

 

Отсюда:

 

 

На основании этого  составим логическую функцию, выполняемую заданной комбинационной схемой.

 

 

 

 

 

Задача 4.

 

Синтезировать синхронный счетчик на базе заданного типа триггеров, реализующий определенный граф переходов (таблица 4.1).

 

Таблица 4.1

Номер варианта	30
Граф переходов
Тип триггеров	T

 

Решение

 

Задан граф переходов: . Он характеризует последовательность изменения состояния триггеров синтезируемого счетчика. Для реализации требуемого счетчика потребуется три синхронных триггера (двоичный код, соответствующий наибольшему выходному состоянию, является трехразрядным: 7₁₀ = 111₂, кроме того, общее количество состояний счетчика в цикле счета, равное 6, также описывается как минимум трехразрядным двоичным кодом). Так как требуется синтезировать синхронный счетчик, то тактовые импульсы (сигнал С) подаются на Т-триггеры параллельно. Функциональная схема счетчика представлена на рисунке 4.1. Схемы возбуждения (СВ1…СВ3) должны формировать сигналы возбуждения триггеров счетчика, обеспечивая требуемую по заданию последовательность его переключения. Таким образом дальнейший синтез счетчика сводится к синтезу схем возбуждения.

 

 

Рисунок 4 –  Функциональная схема счетчика

 

В соответствии с графом переходов составляется таблица переходов счетчика и определяются значения функций возбуждения каждого из триггеров. Так как общее количество состояний трехразрядного счетчика – 8, а определены только 6, то необходимо доопределить переходы, т.е. указать в какое состояние из разрешенных графом должен перейти счетчик, если перед этим он каким – либо образом (например, при включении устройства или в результате воздействия помехи) установился в запрещенное графом состояние. Запрещенные состояния проектируемого счетчика 2 и 5. Потребуем, чтобы из этих состояний он переходил в состояние 0.

В таблице 4.2 показаны все возможные переходы состояний триггера и требуемые для этих переходов уровни сигналов на входе Т .

Таблица 4.2 – Таблица  переходов Т-триггера

T(t)	Q(t+1)
0	Q(t)
1

 

T-триггер (T – Toggle) при T=0 не изменяет своего состояния, а при T=1 в следующий момент времени переходит в противоположное состояние ( ).

Таблица переключений проектируемого счетчика будет выглядеть следующим образом (таблица 4.3).

 

Таблица 4.3 – Таблица переключений проектируемого счетчика

Текущее состояние			Следующее состояние			Уровни сигналов на входах триггеров
Q2	Q1	Q0	Q2	Q1	Q0	Т0	Т1	Т2
0	0	0	1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	0	1	0	0
1	1	0	1	0	0	0	1	0
1	0	0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	0	0	1	0	1	0
0	0	1	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	0	0	1	0	1
0	1	0	0	0	0	0	1	0

 

Пользуясь таблицей 4.3, можно заполнить карты Карно для входов Т всех триггеров счетчика. При этом следует помнить, что уровни сигналов на входах Т являются логическими функциями текущего состояния триггеров и на картах Карно (рисунок 4.2) под Q₂, Q₁, Q₀ понимается текущее состояние счетчика, т.е. перед поступлением на вход счетчика очередного импульса.