Математика в кредитовании

ТИТУЛ

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ. ПОНЯТИЕ  «КРЕДИТ» И «СИСТЕМА КРЕДИТОВАНИЯ»

 

Заем, кредит, ссуда —  древнейшие финансовые операции. По-латыни «creditum» означает «ссуда»; в слове  «кредит» ударение на втором слоге («кредит» с ударением на первом слоге — это правая часть бухгалтерских проводок).

Все три слова —  «заем», «кредит», «ссуда» — означают одно и то же — предоставление денег  или товаров в долг на условиях возвратности и, как правило, с уплатой  процентов. Тот, кто выдает деньги или товары в кредит, называется заимодавец (кредитор), кто берет — заемщик (или дебитор). Условия выдачи и погашения кредитов (займов, ссуд) весьма разнообразны.

Кредитные отношения  в экономике базируются на определенной методологической основе, одним из элементов которой выступают принципы, строго соблюдаемые при практической организации любой операции на рынке ссудных капиталов (4).

При рассмотрении кредитной  системы нужно учитывать, что  она базируется на реализации сложных  экономических отношений, прошедших длительный исторический путь развития и играющих консолидирующую роль в структуре всех экономических взаимосвязей (1).

Различают два понятия  кредитной системы:

• совокупность кредитных отношений, форм и методов кредитования (функциональная форма);
• совокупность кредитно-финансовых учреждений, аккумулирующих свободные денежные средства и предоставляющих их в ссуду (институциональная форма) (2).

Кредитная система государства  складывается из банковской системы  и совокупности так называемых небанковских банков, т.е. небанковских кредитно-финансовых институтов, способных аккумулировать временно свободные средства и размещать их с помощью кредита. В мировой практике небанковские кредитно-финансовые институты представлены инвестиционными, финансовыми и страховыми компаниями, пенсионными фондами, сберегательными кассами, ломбардами и кредитной кооперацией. Эти учреждения, формально не являясь банками, выполняют многие банковские операции и конкурируют с банками. Однако, несмотря на постепенное стирание различий между банками и небанковскими кредитно-финансовыми институтами, ядром кредитной инфраструктуры остается банковская система.

 

.

 

1 ФИНАНСОВАЯ  МАТЕМАТИКА И КРЕДИТНЫЕ РАСЧЕТЫ

1.1 Математические соотношения расчета параметров сделки потребительского кредитования

 

 

Рассмотрим расчет параметров сделки потребительского кредитования. Проиллюстрируем методику расчета  параметров сделки потребительского кредитования на примере постепенно погашаемых кредитов (installment credit).

Финансовая деятельность по предоставлению кредита предполагает использование различных методов погашения задолженности, а также последовательностей определения параметров кредитной сделки, выбор которых зависит чаще всего от статуса кредитора (если банк или кредитное учреждение за базовый параметр берут процентную ставку, то розничный торговец может отталкиваться от разработанного им графика погашения задолженности).

При этом, объявляя график погашения кредита покупателю, розничный  продавец (retailer) должен четко понимать, какую ставку процентов он применяет и какое финансовое бремя ложится в итоге на заемщика. В практике потребительского кредита США эти параметры входят в число прочих, которые кредитор должен «раскрыть» при заключении сделки.

Для определения годовой  ставки поставщики потребительского кредита (vendors), как правило, пользуются специальными таблицами годовых процентных ставок (annual percentage rate), которые позволяют получить величину ставки, исходя из графика погашения долга.

В потребительском кредите  простые проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основной сумме долга уже в момент выдачи кредита. Погашение долга с процентами производится равными частями на протяжении всего срока кредита. Таким образом, сумма долга с процентами равна:

 

 

где S - наращенная сумма долга;

P - выданный кредит;

n - срок кредита в годах; 

i - ставка процентов за период.

Разовый погасительный платеж будет  исчисляться как 

 

 

где q - сумма разового погасительного платежа;

m - количество погасительных платежей в году.

В связи с тем, что проценты начисляются  на всю сумму долга, а фактическая  его сумма периодически уменьшается  во времени, эффективная процентная ставка (по фактически использованному  кредиту) оказывается заметно выше, чем ставка по условию потребительского кредита.

Для измерения эффективной  процентной ставки интерпретируем погасительные  платежи как постоянную срочную  ренту, а выданный кредит - как текущую (приведенную) величину ренты. Под текущей  величиной потока платежей, в том числе финансовой ренты, понимается сумма всех дисконтированных членов такого потока на «нулевой» момент времени. Для определения текущей величины ренты применяются коэффициенты приведения ренты, рассчитываемые как сумма членов геометрической прогрессии, состоящей из дисконтных множителей на каждый период платежа. Значения этих коэффициентов (anj) зависят только от ставки процентов и числа членов ренты, они рассчитаны для широкого спектра значений ставок (j) и количества платежей (n) и приводятся в специальных таблицах. Таким образом, текущая величина ренты равна:

 

 

где R - член ренты.

Оценка эффективной  ставки сводится, следовательно, к расчету  коэффициента приведения такой ренты  по данным, характеризующим условия  потребительского кредита. Приравняем текущую величину платежей (дисконтируя по неизвестной ставке j) сумме долга:

.

Далее получаем:

 

Значение искомой ставки рассчитывают из полученного коэффициента приведения. Получаемая таким образом  ставка годовых сложных процентов заметно больше ставки, примененной при кредитовании. Например, при трехлетнем периоде потребительского кредитования под 10% годовых действительная ставка составит 19,46%, т. е. практически в два раза больше.

1.2 Правило  расчета 78

 

Поскольку практика потребительского кредита предполагает начисление процентов  сразу на всю сумму кредита, одна из задач, возникающих при планировании погашения задолженности, заключается  в определении остатка задолженности  на любой момент срока кредитования, иначе говоря, как расчленить погасительный платеж на сумму погашения основного долга и проценты по кредиту. Для этого применяется так называемое правило 78 (rule of 78). Название правила вытекает из суммы порядковых номеров месяцев одного года (она равна 78). Предположим, кредит берется на один год с помесячным погашением. Согласно «правилу 78», при первом платеже уплата процентов составляет величину, равную 12/78 от общей начисленной суммы процентов, оставшаяся часть суммы идет на погашение основного долга. Из второго платежа на уплату процентов идет 11/78 общей начисленной суммы процентов и т. д. Последняя уплата процентов составит 1/78. Таким образом, процентные платежи представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, т. е. погашение процентов происходит ускоренно.

Обобщим это правило  для n лет и p платежей в году. Тогда  последовательные номера месяцев в  обратном порядке представляют собой  величины t = pn, pn-1, pn-2, ..., 1, а сумма  этих чисел будет равна:

 

 

Доли от общей суммы процентов, следовательно, составят t/Q. Теперь находим абсолютные суммы процентных платежей: (t/Q)Pni, где P - первоначальная сумма долга.

Правило 78 позволяет использовать при погашении потребительского кредита метод равных срочных  уплат. В соответствии с этим методом на протяжении всего срока погашения заемщиком регулярно выплачивается фиксированная величина, часть которой идет в погашение долга, а другая часть выплачивается в виде процентов за заем. Величина долга систематически убывает. В связи с тем, что процентные выплаты уменьшаются, увеличиваются суммы, идущие на погашение долга. Фиксированная величина одной регулярной выплаты, равная Y, может рассматриваться как постоянная рента, поэтому, приравняв первоначальную сумму долга текущей величине этой ренты, получим:

 

.

 

где anj - коэффициент приведения годовой ренты со ставкой j.

Зная размер срочной  выплаты, можно разработать план погашения кредита при условии, что проценты начисляются на остаток  долга.

1.3 Математический расчет погашения кредита равными выплатами

 

На практике часто  рассматривается случай погашения  кредита равными выплатами (5).

Рассмотрим математическую модель возвращения равными выплатами. Пусть кредит размером D взят на n лет, годовая ставка простых процентов i, следовательно, всего надо набрать выплат на сумму D(1+ni). Если в год предусмотрено (договором о кредите) m выплат, то одна выплата равна (3)

 

, или  .

 

Обычно коэффициент  определяется при помощи таблиц.

 

2 РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ КРЕДИТОВАНИЯ

2.1 Задача о выплате кредита равными выплатами

 

 

Пример. Для иллюстрации  рассмотрим задачу о кредитовании. На покупку дачного домика взят потребительский кредит 40 000 руб. на 8 лет под 8 простых процентов. Его нужно погашать равными ежеквартальными выплатами. Необходимо найти размер этой выплаты.

 

РЕШЕНИЕ

 

Всего необходимо выплатить 

.

Следовательно, ежеквартальная выплата равна

.

Найдем еще ставку сложных процентов j такую, чтобы современная величина потока этих выплат была бы равна номинальной величине кредита 40000:

,

.

По таблице коэффициентов  приведения ренты (таблицы в приложении) подбором получаем , т.е. . Итак, кредит выдан фактически под 14 годовых сложных процентов.

 

 

 

2.2 Задача о выплате кредита по правилу 78

 

Магазин продает телевизоры в рассрочку (кредит) на 1 год. Сразу  же к цене телевизора $400 добавляют 10%  и всю эту сумму надо погасить в течении года, причем стоимость телевизора гасится равномерно, а надбавка – «по правилу 78». Найти ежемесячные выплаты.

 

Решение.

 

По «правилу 78» надбавка $40 выплачивается так: в конце 1-го месяца – всей надбавки меньше, т.е. меньше на 0,5% и т.д. Ежемесячные выплаты (долл.) таковы:

.

 

Литература

1. Российская банковская энциклопедия / Гл. ред. О. И. Лаврушин. - Москва, 2005. Стр. 178.
2. Организация деятельности коммерческих банков: Учебное пособие / Под ред. Роксопова Ю.В. – Хабаровск ХГАЭиП, 2004. Стр. 143.
3. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. — 237 с.
4. Общая теория финансов”. Учебник для ВУЗов Л.А. Дробоздина, Ю.Н. Константинова, Л.П. Окунева и др. М., Банки и биржи, 2005.
5. Общая теория финансов”. Учебник для ВУЗов Л.А. Дробоздина, Ю.Н. Константинова, Л.П. Окунева и др. М., Банки и биржи, 2005 г.