Конечные элементы

Введение

Практически все железобетонные конструкции, используемые в строительстве, в той или иной степени работают на восприятие поперечных сил. Для большинства из них расчет на поперечную силу является определяющим при назначении размеров сечения и поперечного армирования, которое в отдельных случаях составляет 40...50 % от общего расхода арматуры на элемент.

В СНиП  2.03.01-84 «Бетонные и железобетонные конструкции» методика расчета на поперечную силу претерпела значительные изменения, к которым в первую очередь относятся: определение усилия, воспринимаемого поперечной арматурой в наклонной трещине независимо от поперечной силы, воспринимаемой бетоном; учет в расчете продольной сжимающей силы и усилия предварительного обжатия полки в сжатой зоне тавровых и двутавровых элементов; оценка прочности коротких элементов (коротких консолей) по наклонной сжатой полосе. Усовершенствования позволили повысить точность расчета, сократить расход материалов и повысить надежность проектируемых конструкций.

Однако метод в целом остался на прежних расчетных позициях, сохранив наряду с достоинствами (простотой и общей физической четкостью подхода) присущие ему основные недостатки — раздельное рассмотрение уравнений равновесия поперечных сил и моментов, общую эмпирическую оценку поперечной силы, воспринимаемой бетоном и поперечной арматурой.

Использование методов расчета; основанного на эмпирических зависимостях, в условиях расширяющейся номенклатуры железобетонных конструкций, разнообразия их конструктивных форм и материалов (бетона и арматуры) не дает возможности правильно оценить несущую способность элементов во всех случаях действия поперечных сил.

Качественная и количественная оценка влияния на несущую способность железобетонных конструкций характерных для них факторов важна не только на стадии создания методов расчета, но и проектирования. Современный уровень развития методов расчета не позволяет учесть все факторы, влияющие на несущую способность и их взаимодействие в различных случаях. Для инженера-проектировщика важно иметь общее представление хотя бы о количественном влиянии того или иного фактора, что позволит на стадии проектирования в одних случаях избежать излишних запасов и сократить расход материалов, в других — более осторожно подходить к назначению поперечного армирования и размеров сечения элемента.

Базируясь на данных экспериментальных исследований, факторы, оказывающие наибольшее влияние на несущую способность, могут быть условно разделены на две группы:

Первая —  факторы внешнего воздействия, включающие в себя условие опирания и схему загружения элемента, вид и режим действия поперечной нагрузки, состояние окружающей среды;

Вторая — конструктивные факторы самого элемента — продольное и поперечное армирование, класс бетона, размеры и форма поперечного сечения, условия анкеровки арматуры, ее сцепление с бетоном и т. д.

Виды разрушения

Случай 1. При наличии достаточно сильной, хорошо заанкеренной продольной арматуры, препятствующей взаимному повороту разделенных трещиной частей приопорного блока элемента, разрушение происходит вследствие среза бетона сжатой зоны. При этом обе части приопорного блока взаимно смещаются, а напряжения в стержнях поперечной и наклонной арматуры достигают предела текучести. Такой характер разрушения вызывается преимущественно действием поперечной силы.

Случай 2. При малой ширине стенки поперечного сечения изгибаемых элементов (тавровое, двутавровое, коробчатое) и сильной поперечной арматуре элементы могут разрушаться в зоне действия поперечных сил из-за раздробления бетона стенки между наклонными трещинами от главных сжимающих напряжений.

Методика расчета железобетонных балок по нормативным документам

Рассмотрим методики расчета железобетонных балок при действии поперечных сил, предлагаемые Сводом Правил [1], Еврокодом [2] и американскими Нормами [3].

В отечественных Нормах [1] принята методика расчета по предельным усилиям в наклонных сечениях, включающим поперечную силу, воспринимаемую бетоном Qb, и поперечную силу, воспринимаемую поперечной арматурой, пересекающей наклонное сечение, Qsw.

Предельная поперечная сила, воспринимаемая бетоном в наклонном сечении, определяется по полуэмпирической зависимости, обратно пропорциональной длине проекции наклонного сечения «с» на продольную ось элемента

Предельная поперечная сила, воспринимаемая поперечной арматурой, определяется по полуэмпирической зависимости, прямо пропорциональной длине проекции наклонного сечения c на продольную ось элемента.

Длина проекции наклонного сечения лежит в пределах 0,6h0 — 3h0 для бетона.

Для арматуры данную величину принимают не более 2h0;

φb, φsw — эмпирические коэффициенты.

В американских Нормах также принята методика расчета по предельным усилиям на срез. Предельные усилия на срез включают предельную поперечную силу, воспринимаемую бетоном Vc, и предельную поперечную силу, воспринимаемую поперечной арматурой Vs.

где Vu — действующая поперечная сила;

φ — коэффициент безопасности.

где fC — предел прочности бетона на сжатие;

pw — процент продольного армирования;

Vu, Mu -поперечная сила и изгибающий момент в сечении;

Величину Vc принимают не более Величину Vud/Mu принимают не более 1,0.

где Av — площадь поперечной арматуры;

fy — предел текучести поперечной арматуры;

s — шаг поперечной арматуры.

В международных европейских Нормах расчет на действие поперечных сил принят на основе стержневой модели, состоящей из наклонных растянутых и сжатых стержневых элементов.

Для элементов без преднапряжения, не требующих по расчету поперечной арматуры, предельная поперечная сила определяется по формуле:

с минимумом

где fck — нормативная цилиндрическая прочность бетона на сжатие

;

CRdc= 0,18/ус — эмпирические коэффициенты;

ρl; < 0,02 — процент продольного армирования;

bw — наименьшая ширина растянутой зоны сечения;

d — рабочая высота сечения.

Для элементов с вертикальной поперечной арматурой сопротивление поперечной силе VRd определяется выражением:

С максимумом

где Asw — площадь сечения поперечной арматуры;

θ — угол наклона сжатого бетонного подкоса;

Z — плечо внутренней пары сил;

S — шаг хомутов;

fywd — расчетное значение предела текучести поперечного арматуры;

v1 — коэффициент уменьшения прочности бетона при трещинообразовании;

cw < 1 — коэффициент учета напряженного состояния в сжатом поясе.

Из изложенного видно, что методы расчета железобетонных конструкций на действие поперечных сил, представленные в наиболее значимых нормативных документах, существенно отличаются друг от друга и содержат различные эмпирические зависимости.

Несущая способность по бетону в Нормах РФ представляет собой произведение площади рассматриваемого сечения bh0, расчетного сопротивления бетона при растяжении Rbt и эмпирического коэффициента φbh0 / c, зависящего от пролета среза. Несущая способность по арматуре является суммарным усилием в поперечной арматуре, расположенной в пределах проекции наклонного сечения, с учетом понижающего коэффициента φsw, учитывающего неравномерность усилий в арматуре.

Наиболее близкими к отечественным Нормам являются американские Нормы ACI. Здесь несущая способность по бетону также представляет собой произведение рабочей площади сечения bwd и расчетного сопротивления бетона срезу , определяемого по эмпирической зависимости. Второе слагаемое несущей способности вносит значительно меньший вклад в несущую способность сечения по бетону. Его вклад является значительным лишь при больших процентах продольного армирования (порядка 5 %). При наиболее часто встречающихся процентах продольного армирования (1—2 %) мы видим практически постоянную величину несущей способности по бетону в отличие от гиперболической зависимости СП. Поперечная сила, воспринимаемая хомутами, определяется по аналогичной СП формуле. Отличие заключается в длине проекции наклонной трещины.

Отечественные Нормы ограничивают данную величину с = 2h0, а американские с =1h0. Кроме того, суммарная несущая способность сечения, определенная по ACI, умножается на коэффициент безопасности φ, меньший единицы. Все это: практически постоянная несущая способность по бетону, меньшая длина проекции наклонного сечения, понижающий коэффициент к несущей способности, делают американские Нормы более осторожными по отношению к отечественным.

Несущая способность по бетону элементов, не требующих по расчету поперечного армирования, по EN в целом соответствует описанным выше выражениям. Отличия заключаются лишь в эмпирических коэффициентах, определяющих несущую способность бетона на срез, которые к тому же учитывают влияние продольного армирования.

Несущая способность элементов с поперечным армированием представляет собой не что иное, как усилие в поперечной арматуре, находящейся в пределах проекции наклонного сечения:

Asw fywd/s — это усилие в поперечной арматуре на единицу длины;

z cotθ — проекция наклонного сечения.

Принципиальное отличие методики Еврокода заключается в том, что несущая способность по арматуре является несущей способностью балки, которая сравнивается (не должна превышать) с усилием в сжатом бетонном подкосе. В соответствии с СП и ACI мы должны суммировать несущую способность по бетону и арматуре, а в соответствии с Еврокодом — выбрать минимальную несущую способность (по бетону либо по арматуре). При этом в EN не вводится понижающий коэффициент к суммарному усилию в арматуре, а длина проекции наклонного сечения принимается c ~ (1…2,5)h0 (что дает небольшой запас по отношению к СП c = (0,6…3)h0 и превышает требование ACI c = 1h0).

Несущую способность сжатого бетонного подкоса EN также можно привести к виду, аналогичному СП и ACI, при учете, что z = 0,9d: fcdbwd (в привычных для нас обозначениях Rbbh0) представляет собой несущую способность сечения (в данном случае на сжатие), 0,6-0,9/(cotθ + tanθ) — понижающий эмпирический коэффициент.

Следует отметить, что коэффициент зависимости прочности бетона от пролета среза в отечественных Нормах 1/c представляет собой гиперболу. В Еврокоде подобный коэффициент 1/(cotθ + tanθ) представляет собой практически прямую линию, проходящую под углом около 10° к оси абсцисс. Таким образом, зависимость несущей способности по бетону от пролета среза в Еврокоде значительно сглажена по сравнению с СП.

Мы видим, что ни одна из описанных методик не имеет значительных преимуществ и не отвечает законам строительной механики и сопротивления материалов. В основу каждой методики положена умозрительная модель, снабженная набором эмпирических коэффициентов.

Рассмотренные факты позволяет сделать вывод, что, находясь в рамках стержневой теории железобетона, невозможно выделить универсальную методику расчета железобетонных конструкций по наклонным сечениям, и необходимо искать качественно новые альтернативные подходы к решению данной задачи.

УРАВНЕНИЯ ПРОЧНОСТИ УНИВЕРСИТЕТА ХЬЮСТОНА

Простое и точные уравнение поперечной силы было разработано университетом Хьюстона

В размерностях, принятых в США (фунты, дюймы)

где 14 (Vud / Mu) 0,7 <10.

Уравнение (1) показывает, что поперечная сила Vn состояит из трех слагаемых: Vc, Vs и Vp. Переменная Vp является вертикальной составляющей силы предварительного напряжения, и как правило, очень малы (Vp = 0 в случае прямых стержней). Переменная Vs является напряжением арматуры производным от 45-градусной наклонной трещины и от "минимального сопротивления срезу". Переменная Vс прочность принята зависящей от трех наиболее существенных переменных (относительного пролета среза Мu / (Vu d), прочность бетона и интенсивности поперечного армирования). Уравнение (1) применимо к срезу стенки, когда Мu / (Vu d) мало и изгиб-срезе, когда Mu / Vud велик. Отношение Мu / (Vu d)  является обобщением относительного пролета среза a / d для разных схем занружения, так что уравнение (1) может быть применено к балкам под действием как распределенной нагрузки, так и при загружении сосредоточенными силами.

Уравнение (1) было получено с помощью следующих полуэмпирический подходов:

(1) разделение Vc и Vs на основе фиксированного угла среза по теории (Pang и Хсу, 1996). В этой теории, Vc вызвано сопротивлением среза вдоль направления трещины, о чем свидетельствуют усилия сдвига S на рис. 6 части 1.

(2) Величина Vs получается теоретически из концепции наименьшего сопротивления поперечной силе и из наблюдения, что угол наклона трещины составляет примерно 45 градусов.