Міністерство  освіті і науки України

Полтавський національний технічний університет  імені Юрія Кондратюка

Кафедра будівельної механіки 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

Чисельні  методи

розв’язування прикладних задач будівельної інженерії  на ПЕОМ 

07091 
 
 
 
 

     Виконав студент 

     гр.401-БМ

     Вишар Є.В. 
 
 
 
 
 
 
 
 

Полтава 2010 
Зміст 
 

1.Нормування  міцності будівельного  матеріалу на основі  статистичної обробки  результатів експериментальних  досліджень

1.1.Статистична  обробка результатів експеримента

1.2.Обчислення  функції Лапласа для заданого рівня забезпеченості

1.3.Визначення  аргумента функції Лапласа

1.4.Розрахунок  нормативного значення міцності

1.5.Визначення  розрахункового значення міцності  за коефіц надійності матеріалу 

2.Розрахунок  балки за окремими  значеннями внутрішніх  зусиль за дії розподіленого навантаження невизначеного закона 

2.1. Побудова  інтерполяційного полінома Лагранжа як функції

       розподілу поперечної сили за довжиною балки

2.2. Розв’язування диференційного рівняння за Рунге-Кутта

      для визначення згинального момента у заданих перерізах балки

2.3. Побудова інтерполяційного полінома Лагранжа опису згинального момента

       за довжиною балки

2.4. Розв’язування нелінійного рівняння Q(x)=0 за методом діхотомії

       для визначення прив’язки перерізу нульового значення поперечної сили

2.5. Визначення максимального згинального момента у прольоті балки

       за інтерполяційним поліномом

2.6. Дібрання геометричних характеристик поперечного перерізу балки

       за розрахунковим значенням міцності матеріалу  

3.Визначення  переміщень балки  змінного перерізу за методами чисельного інтегрування 
 

4. Список літератури

 

1.Нормування міцності  будівельного матеріалу  на основі статистичної  обробки результатів  експериментальних  досліджень 

§1.1.Статистична обробка результатів експеримента  

Використавши  формули статистичної обробки, автоматизуємо  визначення основних статистичних характеристик  та представимо результати у таблиці MSExcel:

Примітка: значення випадкових величин міцності наведені у (МПа/см²)

Коефіцієнт  варіації, який характеризує ступінь  мінливості міцності визначаю:

Як зазначено  у публікаціях наукових досліджень міцності будівельних матеріалів, розподіл випадкових величин міцності підпорядкований  статистичному закону нормального розподілу Гаусса [3]. За умовами індивідуального завдання статистичний ряд узгоджується із кривою Гаусса за критерієм c² -Пірсона. За умови такого закону розподілу міцності, всі подальші розрахунки будуть виконуватись за відповідною функцією Лапласа. 
§1.2. Обчислення функції Лапласа для заданого рівня забезпеченості 

Як нам  відомо, функція Лапласа визначається у диапазоні границь аргумента (границь інтегрування) [0¸х]. Також відомо, що площа правої половини графіка щільності дорівнює 0.5, відповідно, для визначення потрібного нам значення функції Лапласа необхідно від значення забезпеченості відняти 0.5:

= 0.98 - 0.5 = 0.48

Отримане  значення функції Лапласа буде відправним при визначенні аргумента цієї функції х, за умови значення якого, функція Лапласа дорівнює значенню  p-0.5  тобто 0.48. 

§1.3. Визначення квантіля аргумента функції Лапласа

Як  відомо, шляхом чисельного інтегрування нараховані таблиці значень функції Лапласа для табульованого аргумента у диапазоні [0¸х]. За цими таблицями визначаю при якому значенні аргумента х, функція Лапласа дорівнює 0.48:

x = 2.054  при Ф(х=0.48)

Значення  аргумента визначаю за лінійною інтерполяцією табличних значень при та .

§1.4.Розрахунок нормативного значення міцності

Нормативне  значення міцності обчислюю на основі визначеного відхилення ліворуч  від математичного очікування. Це відхилення визначене у стандартах для нормованого аргумента, тому необхідно врахувати значення стандарта для нашої вибірки випадкових значень міцності ( 82.815 МПа):

= 485.27 – 2.054*82.815 = 315.17 МПа.

Це значення використовується при розрахунках  конструкцій за ІІ групою граничних  станів. На основі визначається розрахунковий опір сталі .

 

На малюнку  нижче наведено графік функції щільності  для статистичного опису розподілу  міцності нашого будів матеріалу. Цей  графік є теоретичною кривою розподілу  щільності за законом Гаусса. Кожна ордината показує ймовірність появи значення міцності відповідної абсцисі. Площа (інтеграл) показує ймовірність появи значення міцності у диапазоні. Наприклад, 0.5 – ймовірність попадання у інтервал , а – ймовірність появи значення міцності у . Додаючи маємо забезпченість p, тобто ймовірність того, що міцність буде мати значення не менше за нормативне (буде у інтервалі ). 

Графічна  інтерпретація задачі нормування міцності

§1.5.Визначення розрахункового значення міцності (за табл.2 СНиП II-23-81*)

Розрахункове  значення міцності визначається на основі нормативного із врахуванням коефіцієнта надійності матеріалу . Цей коефіцієнт визначається за відповідними СНиП, наприклад, для сталі згідно таблиці:

=315.17 / 1.05 = 300.16 МПа

Це значення буде використане в умовах міцності різних задач опору матеріалів та будівельної механіки при проєктуванні конструкцій з дослідженого матеріалу. 
2.Розрахунок балки за окремими значеннями внутрішніх зусиль за дії нерівномірно розподіленого навантаження невизначеного опису 

 

2.1. Побудова інтерполяційного полінома Лагранжа як функції розподілу поперечної сили за довжиною балки 

Відомі: п’ять значень поперечної сили;

Знайти: вираз Q(x) у вигляді алгебраїчного полінома 4-го степеня.

Використаю  для інтерполяції закону розподілу  Q(x) поліном Лагранжа четвертого степеня, котрий відповідає кількості заданих точок:

Для визначення параметрів полінома складаю систему п’яти рівнянь на основі відомих значень поперечної сили у окремих перерізах черех метрів:

Систему рівнянь  відносно шуканих  формую та розв’язую у MSExcel:

Таким чином, маю інтерполяційний поліном  Лагранжа опису зміни поперечної сили за довжиною балки у вигляді:

2.2. Розв’язування диференційного рівняння

за методом Рунге-Кутта для визначення згинального момента у заданих перерізах балки 

Постановка  задачі: за відомими значеннями поперечної сили у окремих п’яти перерізах визначити значення згинального момента. Як відомо, ці внутрішні зусилля пов’язані між собою диференційним рівнянням . Розв’язати диференційне рівняння – значить знайти вихідну первісну функцію по відношенню до якої були визначені та маються значення похідних.

     Відома: функція похідної ,

     Знайти: первісну функцію .

Визначення  функції згинального момента як шуканої на основі диференційної функції здійсню за чисельним методом Рунге-Кутта. Ця функція за чисельним розв’язком опишеться, відповідно, значеннями M у п’яти перерізах.

Як відомо, задача зводиться до визначення корегуючої добавки: 

 

Для нашої  задачі, для кожного (і+1)-го перерізу згин момент буде визначатись на основі попереднього (і-го): . Функція описуюча диференційне рівняння значеннями похідних , початкове - момент у шарнірі лівої опори.

Розв’язування диференційного рівняння за Р-Кутта  здійснюю у MSExcel: 

 

Маючи, тепер, окремі значення у п’яти перерізах можна будувати інтерполяційний поліном для отримання функції опису зміни згинального момента за довжиною балки - залежності M(x). 

2.3. Побудова інтерполяційного полінома Лагранжа опису значення згинального момента за довжиною балки М(х)

Відомі: п’ять значень згинального момента;

Знайти: вираз у вигляді алгебр. полінома 4-го степеня.

Використаю  для інтерполяції закону розподілу  M(x) поліном четвертого степеня типу:

Для визначення параметрів полінома складаю систему п’яти рівнянь на основі відомих значень згинального момента у окремих перерізах черех метрів:

 
 
 

Систему рівнянь відносно параметрів a_i формую та розв’язую у MSExcel:

 

Таким чином  маю інтерполяційний поліном опису згинального момента за довжиною балки: