Теория норм синдромов

 

ТКС на основе (31, 10) – БЧХ-кода с проверочной матрицей корень полинома приняло сообщение:

с синдромом  ошибок . Вычислим норму этого синдрома:

.

Сравним вычисленную норму с данными таблицы: Следовательно, двойная вектор-ошибка , которая присутствует в сообщении принадлежит Г-орбите и получается циклическим сдвигом вектора . Величина циклического сдвига определяется отношением первой компоненты синдрома к первой компоненте  синдрома :

Следовательно, искомая ошибка вектор-ошибка весом 2 с единицей на 13-й и 17-й позициях.

 

Задание 6 В БЧХ-коде с проверочной матрицей где корень примитивного полинома принято сообщение с синдромом Найти вектор ошибок в принятом сообщении сведением задачи к кубическому уравнению и решением этого уравнения методом Чэня.

 

Решение:

Тройная ошибка в сообщении произошла на неизвестных позициях i, j, k, В подматрице матрицы позициям i, j, k соответствуют столбцы . Их рассмотрим как элементы поля Галуа GF(2⁵), задаваемые с помощью полинома . Для определения истинных значений позиций i, j, k искомой тройной ошибки синдрома составим систему уравнений:

Левые части  уравнений системы – симметрические степенные полиномы от переменных x, y, z. Симметрические полиномы связаны с элементарными симметрическими полиномами, которые имеют виид:     .

Таким образом

Подставим в систему значения : Получим следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных :

Подставим значения s₁ = α¹⁶, s₂ = α²⁹, s₃ = α⁹. Получим систему

  

Следовательно, или Таким образом, Полученные значения служат, согласно теореме Виета, коэффициентами кубического уравнения , корнями которого являются искомые неизвестные . Решение системы сводится к поиску корней кубического уравнения в поле .

Метод Чэня, то есть последовательная подстановка  в уравнение элементов поля вместо , позволяет найти корень: . То есть уравнение можно представить в виде:

,

что говорит  об отсутствии тройной ошибки в сообщении  с синдромом  .

 

Задание 7 Задачу из задания 6 решить норменным методом.

 

Решение:

В двоичном коде длиной 31 имеется тройных ошибок, которые делятся на 145 орбит. Прямой норменный метод требует построения таблицы образующих всех орбит тройных ошибок, синдромов этих образующих, а также норм синдромов образующих.

Модифицируем  норменный метод, преобразуем искомую  вектор-ошибку в другую тройную ошибку , синдром которой имеет первую компоненту Тогда компоненты синдрома выражаются следующим образом через компоненты синдрома :

;  ; 

Так как , то

;  .

Таким образом, .

Тогда .

Посчитаем количество тройных векторов-ошибок в БЧХ-коде , синдромы которых имеют первую компоненту и оценим количество Г-орбит таких ошибок.

Количество тройных векторов-ошибок в БЧХ-коде , синдромы которых имеют первую компоненту , определяется формулой:

,

а количество Г-орбит таких тройных ошибок оценивается числом

Это число равно  пяти при .

Определим вектора-ошибки синдромы которых имеют и нормы синдромов этих векторов:

:  s₁ = 1 + α⁵ + α⁷ = 0;

s₂ = 1 + α¹⁵ + α²¹ = α¹²;

s₃ = 1 + α²⁵ + α³⁵ = 1 + α²⁵ + α⁴ = α⁴;

;   .

 

:  s₁ = 1 + α⁸ + α¹¹ = 0;

s₂ = 1 + α²⁴ + α³³ = 1 + α²⁴ + α² = α¹⁹;

s₃ = 1 + α⁴⁰ + α⁵⁵ = 1 + α⁹ + α²⁴ = α⁶;

;   .

 

:  s₁ = 1 + α + α¹³ = 0;

s₂ = 1 + α³ + α³⁹ = 1 + α³ + α⁸ = α¹⁴;

s₃ = 1 + α⁵ + α⁶⁵ = 1 + α⁴ + α³ + α +1 + α³ = α²⁴;

;   .

 

: s₁ = 1 + α¹⁰ + α¹⁴ = 0;

s₂ = 1 + α³⁰ + α⁴² = 1 + α³⁰ + α¹¹ = α²⁴;

s₃ = 1 + α⁵⁰ + α⁷⁰ = 1 + α¹⁹ + α⁸ = α²²;

;   .

 

:  s₁ = 1 + α⁶ + α¹⁵ = 0;

s₂ = 1 + α¹⁸ + α⁴⁵ = 1 + α¹⁸ + α¹⁴ = α²¹;

s₃ = 1 + α³⁰ + α⁷⁵ = 1 + α³⁰ + α¹³ = α²⁵;

;   .

 

Таким образом, в (31, 16)-БЧХ-коде отсутствуют Г-орбиты с такой нормой. Следовательно, в сообщении с синдромом отсутствует тройная ошибка.