Теория информации

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6. Разделимые циклические коды.

А) 1) По информационной посылке Хинф = Nвар. записать информационную посылку Λинф. четырехэлементным двоичным кодом.

2) Записать полином Λ(z) разделимого циклического кода при образующем полиноме

 ;

3) Записать кодовую комбинацию  Λ полученного разделимого циклического кода.

В) На приемной стороне принята кодовая  комбинация Λ^* разделимого циклического кода (табл. 5).

1) Проверить есть ли ошибка в  принятой кодовой комбинации.

2) Если ошибка есть, то исправить  ее и записать Λ^*испр. исправленную кодовую комбинацию разделимого циклического кода.

3) Записать принятую информационную  посылку Λ^*инф. Сравнить ее с информационной посылкой, полученной в п. 1 задачи. Сделать выводы.

Таблица 5

Nвар.	λ*7	λ*6	λ*5	λ*4	λ*3	λ*2	λ*1
6	1	1	1	0	1	0	1

 

Решение

Исходя  из своего варианта запишем информационную посылку:

Х_инф = 6

и запишем её четырехэлементным двоичным кодом:

Λ =  0 1 1 0

Запишем полином Λ(z) разделимого циклического кода при образующем полиноме

G(z) = z³ + z +1

Перемножим  первичный информационный код λ_инф на z^r. В нашем случае – z³

Λ_пр(z) = z³ × λ_инф(z)

Λ_пр(z) = z³ × (z² + z ) = z⁵ + z⁴

Cформируем кодовую комбинацию первичного информационного кода, дописывая R нулей:

Λ = 0 1 1 0    0 0 0

          λ_инф         R

Следующим шагом, полученное произведение Λ_пр(z) поделим на порождающий полином:

 

z⁵ + z⁴            z³ + z + 1

z⁵ + z³ + z²   z² + z +1   

 z⁴ + z³ + z²    

 z⁴ + z² + z                    

  z³ + z                 

  z³ + z + 1                     

     1

 

 

В итоге получился остаток R(z) = 1

Запишем полученный полином по формуле:

Λ(z) = Λ_пр(z) + R(z)

Λ(z) = z⁵ + z⁴ + 1

Запишем кодовую комбинацию Λ полученного  разделимого циклического кода:

Λ = 0 1 1 0 0 0 1

Запишем принятую кодовую комбинацию:

Λ^* = 1 1 1 0 1 0 1

Для нахождения ошибок для начала запишем  принятую комбинацию в виде полинома:

Λ^*(z) = z⁶ + z⁵ + z⁴ + z² + 1

 

 

 

Далее разделим полученный полином на образующий полином:

 

                     z⁶ + z⁵ + z⁴ + z² + 1      z³ + z + 1

                     z⁶ + z⁴ + z³                    z³+ z²             

                            z⁵ + z³ + z² +1

                            z⁵ + z³ + z²

                                   1

 

Получился остаток R(z) =  1, следовательно присутствует ошибка.

Таблица 5.8 (УП Основы теории информации, А.М. Карлов, Е.Н. Авдеев, стр. 141)

№ искаженного символа i	1	2	3	4	5	6	7
R(z)	1	z	z2	z + 1	z2 + z	z2 + z + 1	z2 + 1
Код остатка	0 0 1	0 1 0	1 0 0	0 1 1	1 1 0	1 1 1	1 0 1

 

По  таблице 5.8 находим полученный результат  и выявляем, в какой символ ошибочный:

ПО  таблице видно, что ошибочный символ – 1.

Запишем исправленную кодовую комбинацию разделимого  циклического кода:

Λ^*_испр(z) = 1 1 1 0 1 0 0

Проверим  полученный результат:

Λ(z) = G(z) × Λ_инф(z)

Λ^*_испр(z) = G(z) × Λ^*_инф(z)

      z⁶ +z⁵ +z⁴+ z²      z³ + z + 1

                         Z⁶ + z⁴ + z³          z³ + z²    

                           Z⁵ + z³ + z²             

                           Z⁵ + z³ + z²                           

                        0

 

т.к. остаток R(z) = 0 , значит полученная исправленная комбинация верна.

Запишем принятую информационную посылку и  информационную посылку полученную в 1 пункте:

λ^* = 1 1 1 0 1 0 1     Λ =  0 1 1 0 0 0 1      λ^*_испр = 1 1 1 0 1 0 0

Вывод: В нашем случае при исправлении одной ошибки кодовой комбинации получился неправильный результат. Это говорит о том, что Разделимый циклический код  даёт возможность обнаруживать и исправлять только одинарные ошибки.