Квантовая статистика Больцмана

 

Квантовая статистика Больцмана.

 

В работе объясняется функция распределения Больцмана и описывается квантовая статистика Больцмана, поясняться применение последней для систем с невзаимодействующими и слабо взаимодействующими частицами.

 

The function of the Boltzmann distribution is explained and the quantum Boltzmann statistics is described, moreover, the use of quantum statistics systems with non-interacting and weak interacting particles is shown in this article.

 

1. Функция распределения Максвелла — Больцмана.
2. Квантовая статистика Больцмана.
3. Применение статистики Больцмана.

 

Статистике Больцмана  подчиняются молекулы идеального газа (т.е. системы, содержащие невзаимодействующие  частицы). В реальности статистика Больцмана  справедливо для разреженных  газов. В системах с большим числом частиц общие черты поведения являются усредненным отражением движения отдельной частицы. В этом случае их координаты r и импульсы p принимают определенное значение. Возможные состояния частиц математически описывается функцией распределения. Для молекул идеального газа (находящихся в поле внешних сил) функция распределения имеет вид:

В функции распределения  Больцмана р²/2m — это кинетическая энергия молекулы, U (r) — её потенциальная энергия во внешнем поле, k — Больцмана постоянная, Т — абсолютная температура газа; А - постоянная определяется из условия.

 Данная функция  характеризует вероятность пребывания  частицы в данном состоянии и определяет отношение полной энергии частицы и энергии ее теплового движения. Два сомножителя присутствующие в функции : ехр (-р²/2mкТ) и exp (-U (r)/kT) определяют распределение молекул по импульсам или скоростям (распределения Максвелла) и распределение по координатам в поле внешних сил соответственно. Поэтому иногда только вторую зависимость называют распределением Больцмана, а общую формулу называют распределением Максвелла — Больцмана/1/.

В квантовой статистике Больцмана вместо функции распределения рассчитывается среднее число частиц находящихся в данном квантовом состоянии.

В системе из N частиц задана полная энергия U объем V, так же в системе заданы значения энергии на энергетических уровнях ε_i. Энергия системы складывается из энергии отдельных частиц:

N=n₁+n₂+…n_r=Σn_j=const

U= n₁ε₁+ n₂ε₂+…n_rε_r= Σn_jε_j=const

V=const

Макросостояния задается числами n_i, т.е. количеством частиц на каждом уровне энергии.

Микросостояния задается указанием номеров частиц на каждом уровне. Расчет ведется для системы из трех различных частиц.

Установлено, что вероятность нахождения частиц на каждом уровне рассчитывается по следующей формуле:

W=N!/(n₁!▪n₂!▪ …n_i!), где N-общее число частиц, n-количество частиц в фазовой ячейки.

Допустим, что все частицы  находятся на одном уровне тогда W=3!/0!▪3!▪0!=1

Учитывая максимальную W, которая должна соответствовать максимуму энтропии, т.е. равновесному состоянию системы, формулу Стирлинга и метод Лагранжа можно найти плотность вероятности нахождения частицы на уровни i:

p_i=n_i/N=z_ie^-βεi/Q,

где n_i-число частиц на уровне, z_i-вырожденность, Q- сумма по состоянию или молекулярная сумма по состояниям.

А среднее число частиц n_i на уровне i находят по формуле:

Σn_i=N, где N общее число частиц в системе.

Квантовая статистика Больцмана  применяется для невзаимодействующих  атомов идеального газа.

Статистика справедлива для систем, у которых все числа n̅_i малы по сравнению с 1. Это означает, что частицы проводят почти всё время в сильно различающихся состояниях и потому не оказывают влияние друг на друга, тогда можно пренебречь квантовомеханическими эффектами, связанными с взаимным влиянием частиц.

Поэтому при малой степени вырождения распределение Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дирака переходят в классическое распределение Максвелла—Больцмана/2/.

Однако на данный момент ученые пытаются решить проблему применения квантовой статистики Больцмана для слабо взаимодействующих частиц.

В работе /3/ авторы исследовали модельную квантовую систему и при помощи различных операторов применяли квантовую статистику Больцмана для описания процессов проходящих в этих системах.

В работе /4/ авторы пытались получить уравнения исходя из квантовой  статистики Больцмана для системы N взаимодействующих квантовых частиц. Однако пришли к выводу, что математическое обоснование квантового уравнения Больцмана остается открытой проблемой.

Таким образом, можно  сделать вывод о том, что квантовая  статистика Больцмана применима  для систем с малой степенью вырождения, например для разреженных атомных и молекулярных газов и плазмы,  в остальных случаях следует учитывать взаимное влияние частиц и применять статистику Ферми-Дирака.

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Хуанг К., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1966.
2. Carter, Ashley H., "Classical and Statistical Thermodynamics", Prentice–Hall, Inc., 2001, New Jersey.
3. Accardi L., Kozyrev S. Quantum Boltzmann statistics in interacting systems.// February 1, 2008
4. Benedetto D., Castella F., Esposito R., M. Pulvirenti A short review on the derivation of the nonlinear quantum Boltzmann equations.