Расчет двох різних пластин з ідеальним тепловим контактом

Завдання на курсову роботу

Необмежена пластина 0 £ х £ l₂ отримана з'єднанням необмежених пластин 0 £ х £ l₁,l₁ £ х £ l₂ c різними теплофізичними коефіцієнтами, рис. 1.

Поставити крайову задачу про визначення температури  в цій системі, коли:

а) обмежуючі  поверхні при t > 0 підтримуються при різних температурах;

b) поверхня  х = 0 теплоізольована, а на поверхні  х = l₂ відбувається конвективний теплообмін за законом Ньютона із середовищем, температура якого задана і дорівнює Т_с;

с) поверхня х = 0 нагрівається тепловим потоком q₀ = const, а поверхня x = l₂ підтримується при початковій температурі.

Поставити математичну модель рішення  даної задачі і реалізувати на ПЕОМ у виді стандартної процедури.

Графічно зобразити температурне поле, його поширення.

Рис. 1.Зображення необмеженої пластини

Вхідні  дані:

Таблиця1.

Характеристики  пластин

	Перша пластина	Друга пластина
Матеріал	Алюміній	Мідь
Коефіцієнт  теплопровідності, Вт/м*К	209	390
Щільність, кг/м3	2700	8930
Теплоємність, кдж/кг*К	0,896	0,388
Коефіцієнт  температуропровідності, м2/с	86*10-6	112,56*10-6
Довжина, м	0,04	0,04

 

Граничні  умови №1: Т_с1=273 К; Т_с2=400 К;

Граничні  умови №2: Т_с2=373 К; a=20 Вт/м²*К; q_ст1=0;

Граничні  умови №3: q_ст1=const=1000 Вт/м; Т₂=Т_н=300 К.

Реферат

У даній курсовій роботі розроблена математична модель визначення розподілу  температур по товщині в системі, що складається з двох різних пластин  з ідеальним тепловим контактом, у залежності від часу при різних граничних умовах.

Розроблена модель була реалізована  на ЕОМ при використанні чисельного методу кінцевих різниць.

Основні поняття:

Теплообмін;

Теплопровідність;

Алгоритм;

Чисельний метод.

Дана  курсова робота містить:

20 сторінок;

5 таблиць;

5 рисунків.

ЗМІСТ

                                                                                                          Стор.

Вступ                        

1. Основні  теоретичні положення рішення  задач теплопровідності 

необмеженої пластини……. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  6

2. Математична  постановка задачі теплопровідності  в необмеженій 

пластині. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . .  8

3. Алгоритм рішення визначення розподілу температур по

товщині пластини. . . . ……………………… . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .  9

     Аналіз результатів                          

    Література

    Додатки

Вступ

У зв’язку з роботою різних апаратів та установок окремі їх частини і  вузли випробують температурні навантаження. Для надійної роботи конструкції  необхідно щоб температури були нижче критичних, у іншому ж випадку  може відбутися деформація та руйнування конструкції. Таким чином треба  мати можливість аналізу впливу зовнішніх  умов на поширення температури в  елементі конструкції. Щоб спростити  задачу вводять умови однозначності. У цій курсовій роботі розглянуте одержання температурного поля для  необмеженої пластини при різних умовах. Ця задача має велике практичне  значення і її можливо використовувати  при розрахунку температурних полів  заготівок при їх нагріванні[3].

Застосування обчислювальної техніки  і чисельних методів значно розширює класи досліджуваних польових задач  теплообміну, дозволяючи одержувати наближені  рішення багатомірних, нелінійних, нестаціонарних задач, для яких використання точних і наближених аналітичних  методів не представляється можливим. При виборі математичних моделей, що описують процеси теплообміну в  реальних об'єктах, границі їхньої припустимої  складності в даний час часте  визначаються не стільки можливостями чисельних методів і ресурсами  ЕОМ, скільки недоліком достовірної  вхідної інформації для цих моделей[2].

При визначенні різних просторово-тимчасових полів необхідно знаходити рішення  крайових задач для диференціальних  рівнянь у частинних похідних у заданих областях зміни просторових  перемінних і тимчасових інтервалах. Відмінною рисою застосування чисельних  методів є дискретизація просторової  і тимчасової областей на першому  ж етапі рішення задачі. При  дискретизації вибираються вузлові  крапки в просторовій і тимчасовій областях. На другому етапі складається  система алгебраїчних рівнянь щодо значень шуканих функцій у  цих вузлових крапках. На третьому –  проводиться рішення системи  і знаходяться значення досліджуваних  величин у вузлових крапках.                     Дискретизація області часто  робиться і при розрахунку на основі аналітичних рішень, однак у цих  випадках вона проводиться на заключних  етапах,    реалізованих уже  після одержання аналітичного рішення[1].

 Існують два основних чисельних  методи рішення рівнянь у частинних  похідних:   метод кінцевих  різниць і метод кінцевих елементів.  Метод кінцевих різниць базується  безпосередньо на диференціальному  рівнянні і граничних умовах, а метод кінцевих елементів  – на еквівалентній варіаційній  постановці задачі.

1. Основні теоретичні положення

Моделюванням називається метод  експериментального вивчення моделі явища  замість натурного явища; модель вибирають так, щоб результати експерименту можна було поширити на натурне явище.

Цей метод застосують у тих випадках, коли чи важко неможливо вивчити  натурне з технічних причин, тобто  по неприпустимій тривалості вивчення чи процесу внаслідок його надмірно високої вартості.

Моделювання як метод розпадається на два самостійних етапи: перший – створення моделі; другий –  виміри і спостереження на моделі.

При моделюванні складних процесів виникає безліч обмежувальних умов. Сукупність їх створює великих труднощів  при практичному здійсненні модельного процесу. У багатьох випадках труднощів  виявляються нездоланними, а точне  моделювання неможливе. Тому прибігають до наближеного моделювання, у якому  окремі критерії, що слабко впливають  на протікання процесу, виключені з  умови задачі.

З усіх чисельних методів найбільш широке поширення для рішення  крайових задач теплопровідності одержав  метод кінцевих різниць (метод сіток). Це порозумівається, у першу чергу, універсальністю методу (він застосовний  як для лінійних, так і для нелінійних задач з різними видами граничних  умов, для різних форм тіла) і його високої алгоритмічності, що відкриває широкі можливості для використання сучасних ЕОМ. Метод сіток не вимагає знання аналітичних виражень для рівнянь границь тіла, крайових умов, коефіцієнтів переносу і т.п., дає можливість у математичному формулюванні задачі максимально відбити специфіку протікання реального процесу, тому що практично не накладає обмежень на умови задачі.

Ідея методу кінцевих різниць полягає  в наступному. Область безупинної зміни аргументів заміняється кінцевою безліччю крапок – розрахунковою  сіткою. Замість функцій безупинного  аргументу розглядаються функції  дискретного аргументу, обумовлені у вузлах сітки – сіткові функції. Частки похідні, що входять у диференціальне рівняння, початкові і граничні умови  заміняються різницевими відносинами, що представляють собою лінійну  комбінацію значень сіткової функції  в декількох вузлах.

У результаті крайова задача в частинних  похідних зводиться до системи алгебраїчних рівнянь щодо значень сіткових функцій  у вузлах. Якщо рішення отриманої  системи диференціальних рівнянь  існує і при здрібнюванні сітки  прагне до рішення вихідної диференціальної  задачі, то це рішення і є шуканим  наближеним рішенням крайової задачі.

Дуже важливим питанням при рішенні  крайових задач методом сіток  є побудова різницевої схеми. Існує  багато способів одержання різницевих аналогів диференціальних операторів: метод формальної заміни похідних кінцево-різницевими  вираженнями, метод інтегральних тотожностей (інтегро-интерполяційний метод), метод невизначених коефіцієнтів, варіаційні методи побудови різницевих схем і ін.

Вибір методу побудови різницевої схеми  визначається, у першу чергу, вимогою  одержання такого різницевого аналога  диференціальної крайової задачі, що забезпечував би навіть на грубих сітках необхідний рівень точності для одержуваного наближеного рішення. Тому різницеві  аналоги повинні зберігати найважливіші властивості вихідних диференціальних  рівнянь.

Виходячи з форми, у якій виходять результати рішення, усі методи поділяють  на: аналітичні і чисельні. До першої групи відносяться методи, що дозволяють рішення у виді формули, підставивши  в який задане значення аргументу, можна  визначити відповідне значення шуканої  функції. До другого – методи, що дозволяють одержати чисельне значення шуканої функції для деяких заданих  заздалегідь значень аргументу, тобто дискретне рішення.

2.  Математична постановка задачі теплопровідності в необмеженій

пластині.

Запишемо  рівняння теплопровідності:

початкова умова:

Граничні  умови:

а) 

б)

в)

3.Алгоритм рішення визначення розподілу температур по товщині необмеженої пластини.

Маємо одномірну по простору нестаціонарну  задачу, для якої побудуємо сітку: по координаті візьмемо крок dx = 0,01 м, при цьому кількість вузлів N₁ = N₂ = 5. Для обчислення кроку за часом скористаємося умовою збіжності [2]: і виберемо dt = 0,4 с. Будуємо сітку:

Рис.2.Схема  нанесення сітки на поверхню матеріалу.

Для рішення даної задачі використовуємо метод кінцевих різностей.

1.Замінюємо  похідні кінцевими різностями:

;      = ;

2.Рівняння  теплопровідності заміняємо кінцево-різницевим  співвідношенням:

Початкова умова:

Граничні  умови:

а)

б)

в)

На підставі цих формул складемо програму (додаток 2).

                                                    Основна програма

Процедура Proc1

Рис. 4. блок схема процедури Proc1

Аналіз результатів

В даній курсовій роботі була застосована  явна кінцево-різницева схема для  знаходження розподілу температур по товщині пластин. При використанні явних кінцево-різницевих схем величина припустимого кроку за часом обмежена і для внутрішніх вузлів залежить від обраного кроку по координаті і температуропровідності матеріалу . З умови збіжності видно, як залежить крок по часу від кроку по координаті. Якщо умова стійкості не буде виконуватися ми отримаємо помилкові результати.  При проведенні розрахунків, треба насамперед подбати про те, щоб величина кроку задовольняла умовам стійкості системи кінцево-різницевих рівнянь.

Результати обчислень приведені  у додатку 3 у вигляді таблиць  та на рис.2. З яких ми можемо судити про інтенсивність нагріву та розподілу температур по товщині пластини. Аналізуючи графічну залежність при граничній умові можна зробити прості висновки:

а) - при збільшенні часу нагріву по товщині пластини з 273 до 400 температура поступово збільшується;

б) – при збільшенні часу нагріву по товщині пластини з 300,15 до 300,42 температура поступово збільшується;

в) – при збільшенні часу нагріву по товщині пластини з 300,37 до 300,14 температура зменшується.

Для перевірки моделі на адекватність я змінив крок за часом   так, щоб виконувалась умова стійкості (0,2; 0,3; 0,5). Потім отримані результати температур (додаток 3) на границях необмеженої пластини були порівняні в одних і тих же вузлах. Звідки видно, що похибка не перевищує 5 % (0; 0,0006; 0,007)

                                                  а)

             

                                                  б)               

                                              в)