Основные положения теплопроводности

Содержание

2 Основные положения теплопроводности

2.1 Температурное поле

              Теплопроводность представляет собой процесс распространения энергии между частицами тела, находящимися друг с другом в соприкосновении и  имеющими различные температуры.

              Рассмотрим нагрев какого-либо однородного и изотропного тела. Изотропным называют тело, обладающее одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При нагреве такого тела температура его в различных точках изменяется во времени и теплота распространяется от точек с более высокой температурой к точкам с более низкой. Из этого следует, что в общем случае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твердом теле сопровождается изменением температуры T как в пространстве, так и во времени:

,                                                                      (2.1)

где              — координаты точки;

              t — время.

              Эта функция определяет температурное поле в рассматриваемом теле. В математической физике температурным полем называют совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства, в котором протекает процесс.

              Если температура тела есть функция координат и времени, то температурное поле называют нестационарным, т.е. зависящим от времени:

.                                                        (2.2)

              Такое поле отвечает неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности.

              Если температура тела есть функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле тела называют стационарным:

.                                                        (2.3)

              Уравнения двухмерного температурного поля для режима стационарного:

;                                                        (2.4)

нестационарного:

.                                                        (2.5)

              На практике встречаются задачи, когда температура тела является функцией одной координаты, тогда уравнения одномерного температурного поля для режима стационарного:

;                                          (2.6)

нестационарного:

.                            (2.7)

              Одномерной, например, является задача о переносе теплоты в стенке, у которой длину и ширину можно считать бесконечно большой по сравнению с толщиной.

2.2 Градиент температуры

Если соединить точки тела с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической. Изотермические поверхности между собой никогда не пересекаются. Они либо замыкаются на себя, либо кончаются на границах тела.

Рассмотрим две близкие изотермические поверхности с температурами T и T + T (рисунок 2.1).

Перемещаясь из какой либо точки А, можно обнаружить, что интенсивность изменения температуры по различным направлениям неодинакова. Если перемещаться по изотермической поверхности, то изменения температуры не обнаружим. Если же перемещаться вдоль какого-либо направления P, то наблюдаем изменение температуры. Наибольшая разность температур на единицу длины будет в направлении нормали к изотермической поверхности. Предел отношения изменения температуры к расстоянию между изотермами по нормали , когда стремится к нулю, называют градиентом температуры.

                                                        (2.8)

              Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный частной производной от температуры по этому направлению. За положительное направление градиента принимается направление возрастаниятемператур.
2.3 Основной закон теплопроводности

         Для распространения теплоты в любом теле или пространстве необходимо наличие разности температур в различных точках тела. Это условие относится и к передаче теплоты теплопроводностью, при которой градиент температуры в различных точках тела не должен быть равен нулю.

              Связь между количеством теплоты , проходящим за промежуток времени через элементарную площадку dS, расположенную на изотермической поверхности, и градиентом температуры устанавливается гипотезой Фурье, согласно которой

.                                          (2.9)

              Минус в правой части показывает, что в направлении теплового потока температура убывает и grad T является величиной отрицательной. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности или более кратко - теплопроводностью. Справедливость гипотезы Фурье подтверждено многочисленными опытными данными, поэтому эта гипотеза в настоящее время носит название основного уравнения теплопроводности или закона Фурье.

              Отношение количества теплоты, проходящего через заданную поверхность, ко времени называют тепловым потоком. Тепловой поток обозначают q и выражают в ваттах (Вт):

.                                                                      (2.10)

Отношение теплового потока dq через малый элемент изотермической поверхности к площади dS этой поверхности называют поверхностной плотностью теплового потока (или вектором плотности теплового потока), обозначают j и выражают в ваттах на квадратный метр (Вт/м2):

.                                                                                    (2.11)

              Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности в сторону убывания температуры. Векторы j и grad T лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

              Тепловой поток q, прошедший сквозь произвольную поверхность S, находят из выражения

.                                                        (2.12)

              Количество теплоты, прошедшее через эту поверхность в течение времени t, определяется интегралом

.                                                                      (2.13)

              Таким образом, для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо произвольную поверхность твердого тела, необходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и составляет основную задачу аналитической теории теплопроводности.
              2.4 Дифференциальное уравнение теплопроводности

              Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача теплоты теплопроводностью, при установлении зависимостей между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс.

              При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения:

   внутренние источники теплоты отсутствуют;

   среда, в которой распространяется тепло, однородна и изотропна;

   используется закон сохранения энергии, который для данного случая формулируется так: разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный параллелепипед за время dt и вышедшей из него за тоже время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.

              Выделим в среде элементарный параллелепипед с ребрами (рисунок 2.2). Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлении осей . Через площадку за время dt, согласно уравнению Фурье, проходит количество теплоты:

                                                                      (2.14)

(grad T взят в виде частной производной,  т.к. предполагается зависимость температуры не только от x, но и от других координат и времени).

              Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты, определяемое из выражения:

,                                                        (2.15)

где              — температура второй грани, а величина определяет изменение температуры в направлении z.

Последнее уравнение можно представить в другом виде:

.                            (2.16)

              Итак, приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси z равно:

.                                                        (2.17)

              Приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси y выразится аналогичным уравнением:

,                                                        (2.18)

а в направлении оси x:

.                                                        (2.19)

              Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде:

.                            (2.20)

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:

,                                                        (2.21)

где              — объем параллелепипеда;

              — масса параллелепипеда;

              c — удельная теплоемкость среды;

— плотность среды;

              — изменение температуры в данной точке среды за время dt.

              Левые части уравнения (2.20) и (2.21) равны, поэтому:

,                            (2.22)

или

.                                                        (2.23)

              Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно ; величину называют температуропроводностью и обозначают буквой a. При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид:

.                                                                      (2.24)

              Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля.

              Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м2/c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры.

              Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a. Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.