Сезонные адаптивные модели

Содержание 

 

1. Сезонные адаптивные модели 

     В экономике многие явления характеризуются периодически повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряда» их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Эти ряды и их колебания можно представить как генерируемые моделями двух основных типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными коэффициентами сезонности. Модели первого типа имеют вид:

     

     где динамика величины характеризует тенденцию развития процесса;

       — коэффициенты сезонности;

     l — количество фаз в полном сезонном цикле (если ряд представляет месячные наблюдения, то в экономике обычно I = 12, при квартальных данных l = 4 и т. п.);

       — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

     Модели второго типа записываются как:

     

     где величина описывает тенденцию развития процесса;

       —аддитивные коэффициенты сезонности;                                                      

     l — количество фаз в полном сезонном цикле;

     g_t — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием.

     Адаптивная  модель с мультипликативной сезонностью была предложена П. Р. Уинтерсом. Аддитивная модель рассмотрена Г. Тейлом и С. Вейджем.

     Уинтерс поставил задачу разработать модель для прогнозирования объемов сезонных продаж с использованием ЭВМ.

     Модель  должна быть такой, чтобы: а) прогнозы рассчитывались на основе одних и тех же программ для большого количества продуктов; б) вычисления производились быстро и дешево; в) использовался минимальный объем памяти для информации; г) учитывались изменяющиеся условия.

     Прогнозы  объемов продаж предназначаются для систем управления запасами и планирования производства. Такие системы предполагают наличие правил принятия решений, которые определяют, когда и сколько производить или заказывать отдельных видов товаров. Правила однообразно применяются ко многим продуктам, часто к десяткам тысяч или даже сотням тысяч изделий. Прогнозы должны делаться часто (ежемесячно или еженедельно). Метод прогнозирования должен быть четко формализован, что необходимо для автоматической обработки на ЭВМ. Необходимо иметь возможность легко вводить свежую информацию о фактических продажах.

     Для прогнозирования продаж отдельных  видов товаров могут быть применены  несколько методов. Модель Уинтерса базируется на анализе изолированных временных рядов о продажах. Единственной используемой информацией является предыстория продаж данного товара,- Модель Уиктерса является моделью экспоненциального типа. Эта схема, очевидно, имеет необходимые характеристики.

     Для некоторых продуктов, характеризующихся  стабильной интенсивностью продаж и малыми сезонными колебаниями, уже простая экспоненциальная модель является вполне удовлетворительной. Многие продукты, однако, имеют заметную тенденцию роста или падения продаж, особенно когда они производятся впервые или когда появляются конкурирующие товары. Для некоторых продуктов существенны сезонные изменения уровня продаж.

     Поэтому целесообразно в прогностических  моделях учитывать конкретный характер тенденции и сезонных колебаний. Это и сделал Уинтерс с помощью экспоненциальной схемы. Модель при этом становится сложнее, зато и точность прогнозов для большинства товаров существенно возрастает.

     Прежде  чем переходить к полной модели Уинтерса, отражающей и сезонность, и линейную тенденцию роста, рассмотрим более простой вариант, который содержит только сезонный эффект. 

1.1 Прогнозирование  с коэффициентами  сезонности

     Модель  имеет вид:

     

     Как видим, является взвешенной суммой текущей оценки полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных x_t и предыдущей оценки В качестве коэффициента сезонности f_t берется его наиболее поздняя оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла. Затем величина полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму уравнению. Прогноз следующего значения ряда:

     

     Более общим выражением для прогноза на шагов вперед будет:

     

     Величины  и f_t могут быть записаны через прошлые данные и начальные условия: 

     

     

     Следовательно, прогноз является функцией всех прошлых значений фактического ряда, параметров и начальных условий

     Влияние начальных условий на прогноз  зависит от величины весов и длины ряда, предшествующего текущему моменту t. Влияние обычно будет уменьшаться быстрее, чем влияние начальных значений f_t,0 так как пересматривается на каждом шаге, a f_t только один раз за цикл.

     Если  эта сезонная модель прогнозирования, структура которой не содержит элементов  для отражения какой-либо тенденции  роста, применяется для прогнозирования  ряда, характеризующегося ярко выраженной тенденцией, то коэффициенты f_t перестают быть простыми коэффициентами сезонности и вскоре вбирают в себя в определенной мере эффект роста.. Например, при обработке ряда ежемесячных наблюдений с длительной тенденцией к повышению будет получена сумма двенадцати f_t превышающая 12. Именно это и компенсирует отсутствие в структуре модели соответствующих элементов.

     Если  ряд имеет тенденцию, а многие ряды, по-видимому, ее имеют, то в модель необходимо ввести специфический член, учитывающий эту тенденцию.

 

1.2  Модель сезонных явлений с линейным ростом 

     Полная  сезонная модель Уинтерса с линейным ростом аналогична только что рассмотренной:

     

     Единственным изменением в выражении для  является добавление — наиболее поздней оценки аддитивного фактора роста, характеризующего изменение среднего за полный сезонный цикл уровня процесса за единицу времени (месяц). Выражение для  обновления коэффициента сезонности остается тем же, что и раньше. Оценки модифицируются по аналогичной процедуре экспоненциального сглаживания. Прогноз является здесь функцией прошлых и текущих данных, параметров и первоначальных значений Качество и точность прогнозов зависит от этих факторов.

     Оптимальные параметры Уннтерс предлагает находить экспериментальным путем. Критерием сравнения он берет стандартное отклонение ошибки. При этом предполагается, что прогноз не смещен. Поиск, осуществлялся с помощью сетки значений . Функция стандартной ошибки вблизи минимума предполагалась достаточно плоской.

     У Уинтерса и других исследователей это положение нашло экспериментальное подтверждение. В связи с этим предполагалось использовать один набор весов для широкого класса продуктов. Уинтерс использовал данные за 5—7 лет. При этом рядами были: данные о продаже кухонной утвари, о продажах краски, о котлованах для изготовленных заводским способом сооружений. Первая часть рядов (2—3 года) использовалась для построения модели, а на остальных данных проверялась точность прогнозирования.

     Для получения представления о влиянии различных наборов величин на все три ряда сразу Уинтерс предложил следующую комбинированную оценку. В качестве меры потерь в точности прогнозирования для каждого ряда в отдельности при данном наборе он брал возрастание дисперсии ошибки, выраженное в процентах, по сравнению с дисперсией, соответствующей оптимальным параметрам сглаживания. Например, при (0,2; 0,4; 0,2) для первого ряда превышение над минимумом составило 2%, для второго — 2%, а для третьего — 22%. Комбинированная оценка равна их сумме — 26%. Наилучшей комбинированной оценкой у Уинтерса были 24% при (0,2; 0,4; 0,1).

     Определение оптимальных параметров путем минимизации комбинированной оценки является попыткой найти универсальные веса, подходящие для широкого класса рядов. Несмотря на то, что полученный результат несет отпечаток специфических свойств использованных рядов, он является полезным ориентиром при работе с недостаточной информацией.

     График  ретроспективных прогнозов добычи газа в бывшем СССР, полученных по модели Уинтерса (рис. 1.2), свидетельствует об увеличении несоответствия прогнозов

     

     Рисунок 1.2 Ретроспективное прогнозирование  добычи газа по модели Уинтера,

фактическим данным с ростом годового уровня добычи. Легко заметить более значительный размах сезонных колебаний прогнозов по сравнению с колебанием фактических данных при общем росте кривых. Все это свидетельствует о неадекватности мультипликативной модели реальному процессу. По-видимому, рост добычи газа в большей, степени обеспечивается за счет разработки месторождений, продуктивность которых в меньшей мере подвержена сезонным колебаниям, чем это следует из гипотезы о мультипликативном характере сезонности. 
 
 
 
 

 

Список  использованной литературы 

     1. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. – Учебник. «Финансы и статистика». – М. 2003.

     2. Салин В.Н., Шпаковская Е.П. Социально-экономическая статистика: Учебник. - М.: Юрист, 2001.

     3. Теория статистики: Учебник. - 3-е изд., перераб. / Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 1999.