Реляционная модель данных для больших совместно используемых банков данных

      Если  π₂₁(R) или S являются функциями,⁸⁾ то при соединении R с S не может возникнуть точка неоднозначности. В этом случае естественное соединение является единственным соединением R с S. Заметьте, что повторяющееся уточнение "R с S" является необходимым, поскольку S может быть соединимым с R (как и R с S), и это соединение должно быть предметом полностью отдельного рассмотрения. На рис.5 ни одно из отношений R, π₂₁(R), S, π₂₁(S) не является функцией.

      Неоднозначность в соединении R и S может быть иногда разрешена при помощи других отношений. Предположим, что нам даны или мы можем построить на доменах проект и поставщик из источников, не зависимых от R и S, отношение T со следующими свойствами:

1. π₁(T) = π₂(S)
2. π₁(T) = π₁(R)
3. T(j,s) → ∃p(R(s,p) ∧ S(p,j)
4. R(s,p) → ∃j(S(p,j) ∧ T(j,s)
5. S(p,j) → ∃s(T(j,s) ∧ R(s,p)

      В этом случае мы можем построить соединение трех отношений R, S, T, то есть тернарное отношение такое, что

      π₁₂(U)=R, π₂₃(U)=S, π₃₁(U)=T

      Такое соединение мы будем называть циклическим 3-соединением, чтобы отличать его от линейного 3-соединения, которое представляло бы собой 4-арное отношение V такое, что

      π₁₂(V)=R, π₂₃(V)=S, π₃₄(V)=T.

      Поскольку возможно существование более чем одного циклического 3-соединения (см., например, рис.8,9), обстоятельства, при которых это может происходить, накладывают гораздо более сильные ограничения, чем условия множественности 2-соединений. Более точно, отношения R, S, T должны содержать точки неоднозначности соединений R и S (скажем, точка x), S и T (скажем, y) и T и R ( скажем, z) и, более того, y должно соответствовать x в S, z соответствовать y в T и x соответствовать z в R. Заметьте, что на рис.8 точки x=a, y=d, z=2 обладают этими свойствами.

      Рисунок 8.Бинарные отношения с несколькими  циклическими 3-соединениями

      Рисунок 9.Два циклических 3-соединения отношений c рис.8

      Естественное  линейное соединение трех бинарных отношений  R, S, T определяется так:

      R*S*T = { (a,b,c,d) : R(a,b) ∧ S(b,c) ∧ T(c,d) },

      где скобки в левой части равенства  не нужны, т.к. естественное 2-соединение (*) ассоциативно. Для получения циклического аналога мы введем оператор ν, выдающий в качестве результата отношение степени n-1 из отношения степени n, связывая вместе его концы. Если R есть n-арное отношение (n≥2), то связывание R определяется уравнением

      ν(R) = { (a₁, a₂, ....,a_n-1) : R(a₁, a₂, ...., a_n-1, a_n) ∧ a₁=a_n}

      Теперь  мы можем представить естественное циклическое 3-соединение R, S, T выражением

      ν(R*S*T).

      Обобщение понятий линейного и циклического 3-соединений и их естественных аналогов для соединения n бинарных отношений (где n≥3) очевидно. Однако можно сказать несколько слов относительно соединения отношений, которые не обязательно являются бинарными. Рассмотрим случай двух отношений R (степени r) и S (степени s), которые должны быть соединены по р их доменам (р < r, р < s). Для простоты предположим, что эти р доменов являются последними р из r доменов R и первыми р из s доменов S. Если это не так, мы всегда можем применить соответствующую перестановку, чтобы этого добиться. Теперь возьмем Декартово произведение первых r-р доменов R и назовем это новым доменом A. Возьмем Декартово произведение последних р доменов R и назовем это B. Возьмем Декартово произведение последних s-р доменов S и назовем это C.

      Мы  можем трактовать R как бинарное отношение над доменами A, B. Точно так же, мы можем трактовать S как бинарное отношение над доменами B, C. Теперь полностью применимы понятия линейного и циклического 3-соединений. Аналогичный подход может быть предпринят для линейных и циклических n-соединений n отношений разных степеней.

      2.1.4. Композиция. Читатель, возможно, знаком с понятием композиции применительно к функциям. Мы обсудим обобщение этого понятия и применим его вначале к бинарным отношениям. Наши определения композиции и композиционности основаны непосредственно на определениях соединения и соединимости, приведенных выше.

      Предположим, что нам даны два отношения  R и S. T является композицией R и S, если существует соединение U отношений R и S такое, что T = π₁₃ (U). Таким образом, два отношения являются композиционными в том и только в том случае, когда они являются соединяемыми. Однако, существование более чем одного соединения R и S не влечет за собой существования более чем одной композиции R и S.

      Для естественного соединения R и S существует естественная композиция,⁹⁾ определяемая как

      R · S = π₁₃ (R*S) .

      Естественная  композиция отношений R и S, приведенных на рис. 5, показана на рис.10, другая композиция приведена на рис.11 (получена из соединения, представленного на рис.7).

      В случае существования двух или более  соединений, количество различных композиций может варьироваться от 1 до общего количества различных соединений. Ha рис.12 представлен пример двух отношений, имеющих несколько соединений и всего одну композицию. Заметьте, что точка неоднозначности c теряется при композиции R и S, т.к. однозначное соответствие устанавливается через точки a,b,d,e.

      Рисунок 10. Естественная композиция отношений R и S (показанных на рис.5)

      Рисунок 11. Другая композиция отношений R и S (показанных на рис.5)

      Рисунок 12. Много соединений, только одна композиция

      Расширение  понятия композиции на пары необязательно  бинарных отношений (возможно, с разными  степенями) следует тому же подходу, что и расширение понятия попарного  соединения таких отношений.

      Недостаточное понимание понятия композиции привело  некоторых разработчиков систем к ситуации, которую можно назвать  ловушкой связей. Эта ловушка может  быть проиллюстрирована на следующем  примере. Предположим, что описание каждого поставщика связано указателями с описаниями каждой из деталей, поставляемых этим поставщиком, и, аналогичным образом, описание каждой детали связано с описаниями каждого проекта, использующего эту деталь. Напрашивающийся вывод, являющийся, вообще говоря, ошибочным, заключается в том, что если проследовать по всем путям от данного поставщика через детали, поставляемые им к проектам, в которых используются эти детали, то можно получить правильное множество всех проектов, в которых участвует этот поставщик. Такое заключение верно только в очень частном случае, когда искомое отношение между проектами и поставщиками является, по существу, естественным соединением двух других отношений – и конечно, мы должны добавить фразу "в любой момент времени", т.к. обычно это свойство подразумевает существование требований, относящихся к технике путей доступа.