Применение обратных вычислений к формированию экономических решений в условии определённости

           

Откуда

 

 

Интересующее  нас значение: (0,2164<0,4) .

 

Таким образом, фирме при  изменении долей активов в  своём портфеле ценных бумаг, для  достижения желаемого уровня инвестиционного  риска (мерой которого является СКО) равного 3, необходимо повысить долю акций второго типа до 0,783 (+0,183) и снизить долю акций первого типа до 0,216 (-0,183).

В рассмотренном  примере вопрос о возможности  понижения уровня инвестиционного  риска для фирмы не должен представляться неопределённым. К-примеру, если руководство  фирмы захочет, при вышеперечисленных  условиях, изменить структуру активов  в портфеле таким образом, чтобы  , то решение данной задачи искать бессмысленно в связи с тем, что (достигается в точке (0,586; 0,413)).

Безусловно, в  реальности фирмы формируют свой портфель ЦБ гораздо из большего количества видов акций и других ЦБ, но метод  решения в корне не поменяется, а только усложнится увеличением  размерности. Кроме того, даже в рассмотренном примере возможности фирмы при решении задачи небезграничны. Например, фирма не может определять КОВ для соответствующих видов понижаемых (повышаемых) долей акций. То есть, если руководство фирмы решит, что повышение  доли акций второго типа с КОВ равным 0,8 и повышением уровня инвестиционного риска до 3 является оптимальным для неё (), то на данном этапе возникают трудности. Продемонстрируем их на примере.

Пусть решение  производится на основе индивидуальных коэффициентов роста.

Запишем систему  уравнений

 

 

 

Подставим имеющиеся  данные в систему, получим

 

Используем функцию  MS Excel  «Поиск решения» и найдём: ,

Пусть теперь используется другой способ решения – на основе единого коэффициента прироста аргументов.

Введём . Задача обратных вычислений заключается в поиске величины из уравнения

 

С учётом вышесказанного, запишем задачу в следующем виде

 

Откуда ;

Оба метода, с использованием КОВ, оказываются неэффективными для решения данной задачи. Это можно объяснить тем, что задача сводится к нахождению долей при ограниченной нами дисперсии, а когда вводится КОВ − который можно интерпретировать как ограничение на изменение долей − получается двойное ограничение (и на дисперсию, и на изменение долей). При таких ограничениях задача не может быть корректно решена, что и продемонстрировано на примере.

 

  

                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Применение обратных вычислений к формированию экономических решений в условии риска

 

Существует большое число  задач, где зависимости между  переменными носят вероятностный  характер. Среди таких задач достаточно актуальными являются:

• Управление безопасностью – определение условий или мероприятий, выполнение которых обеспечит установленный уровень информационной, экономической, технической, экологической, военной, социальной и др. безопасности;
• Управление надёжностью – определение условий, гарантирующих установленный уровень надёжности системы (информационной, экономической, технологической).

Так же, как и в детерминированных  задачах, одни вероятностные события  зависят от других событий, которые, в свою очередь, могут носить как  детерминированный, так и стохастический характер. Поэтому в общем случае следует рассматривать зависимости от того, и другого характера совместно. Проблема решения обратных задач на основе обратных вычислений, сочетающих в себе детерминированные и вероятностные задачи, ещё ждёт своего решения. Мы остановимся на методах решения обратных вероятностных задач.

 

1. Поиск безусловной вероятности наступления одного из несовместных событий

 

1. Решение задачи без коэффициентов прироста.

Как известно, вероятность  наступления в некотором испытании  какого-либо одного из событий A, B, C,…равна сумме вероятностей событий, если любые два из них несовместны. Расчёт ведётся по формуле

 

В общем виде задача ОВ, если рассматриваются два события, решается с помощью следующей системы  уравнений:

 

Где P(A+B) – вероятность наступления одного из независимых событий A и B;

 – желаемый прирост вероятности наступления одного из независимых событий A или B;

 – вероятности наступления событий A и B соответственно;

 – приросты вероятностей наступления независимых событий A и B;

 – коэффициент приоритетности в наступлении событий A и B соответственно.

Пример 1.

Рассматривается урна, в  которой находятся три красных  шара, четыре белых и четыре чёрных. Вероятность того, что при одном  извлечении будет вынут либо красный, либо белый шар без труда можно  определить по формуле безусловной  вероятности. Обозначив через A событие извлечения красного шара, а через B  - белого, получим:

 

Допусти, необходимо увеличить  вероятность наступления событий  A и B до 0,8. Достижение цели должно, в большей степени, происходить за счёт повышения вероятности наступления события A (КОВ = 0,7). В меньшей мере нагрузка ложится на второе событие B (КОВ = 0,3).

Пусть задана целевая установка .

Для решения сформулированной задачи ОВ запишем следую систему  уравнений:

 

 

 

 

Для того, чтобы обеспечить новые условия для наступления  событий A или B, решим следующие уравнения:

 

 

Где - число красных и белых шаров, обеспечивающих новую вероятность наступления событий A и B, являющихся независимыми.

 

Так как общее число  шаров должно быть 11, уменьшим число  чёрных на 2. Тогда новое соотношение  красных, белых и чёрных будет  следующим: 4, 5, 2.

Проверка:

Целевые установки в данной задаче могут меняться (), но способ решения кардинально не поменяется.

 

2. Решение задач без указания приоритетности целей

Пусть в общем виде задана целевая установка .

Задача ОВ принимает следующий вид:

 

Где k – коэффициент, позволяющий определить искомые приросты вероятностей. Остальные обозначения прежние.

Пример 2.

Целевая установка для данной задачи имеет вид

Пусть теперь P(A)=0,36 и P(B)=0,27.

Запишем систему задачи ОВ в данном случае

 

 

Решив систему относительно k, получим k=0,78. Приросты равны:

 

 

Теперь определим новое  количество шаров:

 

 

 

Таким образом, красных шаров 7, белых – 1, а чёрных – 3 (разность 11-8).

Проверка:

Здесь необходим анализ исходных данных, так как существует возможность  получения бессмысленных результатов. Прежде всего это касается вероятности  наступления события A, которая должна быть больше вероятности наступления события B. Это требование вытекает из определения вероятности, которая не может быть меньше нуля.

Кроме того, желаемое значение не может превышать определённого уровня, что также может привести к отрицательным значениям вероятностей.

 

2. Поиск безусловной вероятности наступления одного из совместных событий

 

В данном пункте рассмотрим решение задачи без коэффициентов  прироста.

Известно, что вероятность  появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей событий без вероятности их совместного  появления:

 

С практической точки зрения приведённая формула для вычисления безусловной вероятности наступления одного из совместных событий для событий, число которых больше двух, неудобна. Поэтому, можно воспользоваться иной формулой:

 

Мы рассмотрим случай с  двумя событиями.

В общем виде задача поиска безусловной вероятности наступления  одного из совместных событий записывается в виде:

 

Рассмотрим целевую установку , для которой приведём пример.

Пример 3.

Вначале рассмотрим прямую задачу. Токарь обслуживает два станка, работающих независимо один от другого. Вероятность того, что первый станок в течении часа не потребует внимания токаря, равна 0,6, а второго – 0,4. Какова вероятность того, что в течение  часа хотя бы один станок не потребует  внимания токаря?

Обозначим через A событие, выражающее искомую вероятность, а через события, заключающееся в том, что оба станка в течении часа не потребуют внимания токаря. Все события независимы, но совместны.

 

Теперь рассмотрим обратную задачу. Допустим, необходимо узнать условия, при которых вероятность того, что хотя бы один станок не потребует внимания токаря, повысится до 0,92. При этом приоритетность наступления событий: для A она равна 0,7, для B – 0,3. Согласно рассматриваемой целевой установке запишем систему уравнений (сначала в общем виде).

 

 

Откуда искомые приросты:

В результате получен следующий  ответ: для того, чтобы вероятность  того, что хотя бы один станок не потребует внимания токаря, повысилась до 0,92 необходимо повысить вероятность P(A) до 0,81, а P(B) – до 0,588. Здесь, в отличии от предыдущих примеров, в условии задачи не указаны мероприятия или характеристики объектов, от которых зависят исходные вероятности. Поэтому обратные вычисления не этом заканчиваются, и перечень необходимых мероприятий, позволяющих повысить исходные вероятности, не приводится.

 

3. Поиск вероятности наступления события совместно с одним из ряда несовместных событий (полная вероятность)

 

ОВ оказываются чрезвычайно  полезными при принятии решений, качающихся наступления некоторого события совместно с другими  событиями, обычно называемыми гипотезами. Речь идёт о формуле полной вероятности

 

Где P(A) – вероятность наступления события A;

P(вероятность осуществления гипотезы ,

 – условная вероятность наступления события A при осуществлении гипотезы

Пример 4.

Рассмотрим целевую установку , для которой приведём пример.

В цехе два типа станков  производят одни и те же детали. Производительность станков одинакова, но качество выпускаемой  продукции различное: первый тип  станков даёт 0,9, а второй 0,75 продукции  отличного качества. Вся продукция  содержится на складе. Число станков  первого типа 7 шт., а второго – 3 шт. Определить вероятность того, что взятая наугад продукция окажется отличного качества.

Пусть A – событие, состоящее в том, что взятая наугад продукция окажется отличного качества. Имеются так же две гипотезы: - взятая  продукция произведена станками первого типа, со станками второго типа.

Тогда,

 

Условные вероятности  события A при этих гипотезах следующие:

 

Тогда по формуле полной вероятности получаем P(A)=0,825.

Теперь, допустим, существует необходимость повышения P(A) до 0,91. Каковы при этом должны быть соотношения станков, если приоритетность в изменении станков следующая: число с танков первого типа должно увеличиться пропорционально КОВ а второго – уменьшаться пропорционально КОВ .

Для решения данной задачи составим систему уравнений:

 

 

Откуда .

Найдём новое соотношение  станков:

 

 

Для того, чтобы вероятность события, состоящего в том, что взятая наугад продукция  была отличного качества, равнялась 0,91, необходимо, чтобы выполнялось  соотношение станков двух типов  следующим образом: 8 станков первого  тира и 2 станка второго типа.

Решая такого типа задачи, необходимо тщательно проанализировать область  значений исходных данных, при которых  задача имеет смысл.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение