Вариант № 5

 

      Задание 1

      Дан треугольник  ABC, где Найти:

1. длину стороны AB;
2. внутренний угол A с точностью до градуса;
3. уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;
4. точку пересечения высот;
5. уравнение медианы, проведенной через вершину C;
6. систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;
7. сделать чертеж.

А(5;4), В(2;0), С(8;3). 
 
 

Решение:

1. Найдем координаты вектора :

 

.

Длина стороны  АВ равна

.

2. Внутренний угол А будем искать как угол между векторами  и :

.

Тогда угол .

3. Прямая проходит через точку С(4;4) и имеет нормалью вектор .

По формуле  получим уравнение высоты:

, ,

- уравнение СК.

Длину высоты будем искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор . По формуле получим

, ,

- уравнение прямой АВ.

Воспользуемся формулой .

.

4. Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено. выведем аналогичным способом уравнение высоты ВН, проходящей через точку В перпендикулярно вектору .

, .

Координаты  точки Р найдем как решение системы:

  , , .

Р (0;7).

5. Координаты основания медианы будут:

, ,

М(-0,5; 3).

Уравнение медианы  найдем, используя формулу  , как уравнение прямой, проходящей через две точки: С и М.

  , , , 

- уравнение медианы СМ. 

6. Треугольник АВС задается пересечением трех полуплоскостей, определяемых через уравнения прямых АВ, ВС, АС.

Найдем уравнения  ВС и АС по формуле  .

, , , 

- уравнение ВС.

, , ,

- уравнение АС.

- уравнение АВ.

Чтобы определить полуплоскость, в которой лежит  треугольник АВС относительно прямой АВ, подставим координаты точки С в уравнение АВ:

4∙4-3∙4+11=16-12+11=15≥0.

Тогда полуплоскость, в которой лежит треугольник  АВС относительно прямой АВ, определяется неравенством:  .

Аналогично  для прямых ВС и АС.

; .

; .

Таким образом, треугольник АВС определяется системой неравенств:

 Ответ:

1) ;

2) ;

3) ; ;

4) Р(0;7);

5) ;

6) . 
 

      Задание 2

      Даны  векторы Доказать,  что векторы  образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

₁ (2, -1, 0, 3) , ₂ (-1, 1, 2, 1) , ₃ (1, 0, 2, 0) , ₄ (0, 1, -1, 1) , (-1, 2, -4, 6).

 

    Решение:

     - система из четырех четырехмерных  векторов. Следовательно, чтобы доказать, что она является базисом пространства  , достаточно доказать ее линейную независимость.

    Составим  и вычислим определитель матрицы, столбцами  которой являются векторы :

     .

    Для вычисления этого определителя, разложим его по четвертому столбцу:

     .

    Определитель  Δ≠0, следовательно  - линейно независимая система из четырех четырехмерных векторов, то есть базис пространства .

    Для нахождения координат вектора  в этом базисе, разложим вектор по базису :

       .

    Найдем  - координаты вектора в этом базисе.

     .

    Решим эту систему методом Гаусса.

    Поменяем  местами первое и третье уравнение:

    Первое  уравнение, умноженное последовательно  на (-1) и (2), прибавим соответственно ко второму и третьему уравнениям системы:

    

    Поменяем  местами второе и четвертое уравнения, третье разделим на 5: 

    

    Прибавим  к третьему уравнению второе:

    

    Поменяв местами третье и четвертое уравнение, получим систему треугольного вида:

     

    Система имеет единственное решение. Решаем снизу вверх:

    

    Вектор  в базисе имеет координаты . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Задание 3

       Найти производные функций:

      

      

      

      

      Задание 4

      Исследовать функцию и построить её график.

        y =

    

1. Область определения  .
2. На концах области определения:   .

     - значит  - вертикальная асимптота.

    Найдем  наклонные асимптоты, если они есть: 

    

    

    У функции есть горизонтальная асимптота  .

    3. Так как область определения  не симметрична относительно 0, функция  не является ни четной, ни нечетной, т. е. функция общего вида.

    4. Функция периодичностью не обладает.

    5. Найдем первую производную функции: 

     . Решая уравнение  , получим две критические точки , еще одна критическая точка . 

 Результаты  исследования на монотонность и экстремум  оформим в виде таблицы:

 6. Находим  вторую производную функции:

 

 Решая уравнение  , получим ,

  - это критические точки. Еще одна критическая точка  .

 Результаты  исследования на выпуклость и точки  перегиба оформим в виде таблицы:

 7. Учитывая  результат пункта 2 и непрерывность  функции при  , значения функции заполняют промежуток (-∞;+∞).

 8. Пересечение  с осью Ох: , , точка (0;0). Она же – точка пересечения с Оу.

 9. Необходимости  в дополнительных точках нет.

      Задание 5

      Найти неопределённые интегралы. Результаты проверить дифференцированием: 

      Задание 6

      Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками  функций 

      

 и  . 

Находим координаты точек пересечения двух парабол, решая систему уравнений:

  .

Приравнивая правые части, получим квадратное уравнение:

. Его решения  . Тогда координаты точек пересечения А(6;-5), В(1;0).

, поэтому

 кв. ед.