Решение биологических задач с помощью дифференциальных уравнений

Составим  уравнение энергетического баланса.

  Обозначим за х – линейный размер растения., тогда высота растения – х, площадь поверхности листьев – х², объём растения будет выражаться величиной – х³, причём х изменяется со временем: х = х(t). При этом пусть х(t₀)=0. Попытаемся выразить все величины, входящие в уравнение энергетического баланса, через х.

  Найдём, сначала, выражение для поступающей  свободной энергии Е. Эта энергия образуется благодаря фотосинтезу в зелёной части растения, и её тем больше, чем больше поверхность зелёной части. Таким образом, можно считать, что Е пропорциональна х²:

      Е = α х²,

  где α – коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и формы листьев и от интенсивности фотосинтеза. Других источников энергии в силу наших предположений нет.

        Проследим, теперь, за расходом энергии. Прежде всего, энергия  тратится на нужды самого процесса фотосинтеза. Этот расход также пропорционален х², и мы можем записать его в виде β х², где β < α – некий коэффициент пропорциональности.

        Далее энергия расходуется  на транспортировку питательного раствора во все части растения. Ясно, что  этот расход будет тем больше, чем  больше путей транспортировки, т. е. чем больше объём растения. Кроме  того, этот расход связан с преодолением силы тяжести и, следовательно, будет  тем больше, чем на большую высоту приходится поднимать питательные  вещества. Таким образом, этот расход пропорционален и х³, и х т .е. равен γ х³ х.

        Наконец, энергия  расходуется на увеличение массы  растения. Этот расход пропорционален скорости роста, т. е. производной массы  m = ρх³ (ρ - средняя плотность растения, х³ - объём) по времени.

        Согласно закону сохранения энергии, расход энергии  должен быть равен её притоку:

или 

      Это и есть искомое балансное соотношение.

      Разделим  обе части уравнения на 3δρх²  и обозначим

        

       Получаем: 

       Перепишем дифференциальное уравнение  в виде 
 

       Тогда  
 

Заметим, что производная dx/dt > 0, так как рост дерева увеличивается.

      Значит, a - bx² > 0, и, следовательно, x²< a / b, т. е. можно воспользоваться методом непосредственного интегрирования (для│x│<│с│справедливо равенство:

        

       Тогда, имеем: 
 
 

      Учтём начальное условие х(t₀)=0, т. е. С = - t₀  и, значит:

        
 

      Разрешая  это уравнение относительно х, имеем окончательно:

        

Полученная  формула (5) даёт кривую роста дерева. Если известны a, b и t₀ (эти величины зависят от породы дерева), то можно подсчитать средний рост дерева данной породы в зависимости от возраста. 

      Ответ. Зависимость роста дерева от времени его роста выражается формулой (5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение.

  Изучение  большого круга задач естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них сводится к математическому  моделированию процессов в виде формулы, т.е. в виде функциональной зависимости.

  Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью  уравнений, в которых кроме независимых  переменных и неизвестных функций  этих переменных, содержатся производные  неизвестных функций (или их дифференциалы).

  Такие уравнения называются дифференциальными. Вот почему возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно – научного цикла довольно широки. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  литературы. 

1. Баврин  И. И. Высшая математика: Учебное пособие для студентов хим.-биол. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1980.

 

2. Виленкин  Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. - М.: Просвещение, 1984.

 

3. Владимиров  Ю. А. и др. Биофизика: Учебник. - М.: Медицина, 1983.

 

4. Зайцев  И. А. Высшая математика: учебник для неинж. спец. с.-х. вузов. - М.: высшая школа, 1991.

 

5. Маковецкий  П. В. Смотри в корень!: Сборник любопытных задач и вопросов. - М.: Наука, 1979.

 

6. Справочник  машиностроителя, том 1. - М.: МАШГИЗ, 1956.

 

7. Хомченко  Г. П. Химия для поступающих в вузы: Учебное пособие. - М.: Высшая школа, 1993.

 

8. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 2001.