Применение математических методов в биологии

МНОГООБРАЗИЕ  МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ. 

           Часто обнаруживается, что исследования, ведущиеся на стыке нескольких научных дисциплин, оказывают особенно плодотворное воздействие на широкий круг проблем. Именно такой областью является генетика, которая связана не только с наследственностью, но и с физиологией, биохимией, экологией, эмбриологией, психологией, патологией, судебной медициной и т. д., не говоря уже о множестве математических методов, которые были разработаны и используются в генетических исследованиях. Таким предметом является и сама прикладная математика. Попытки решить частные задачи, возникающие в каких-то конкретных обстоятельствах, могут привести к разработке общих математических идей, которые не только позволяют решить первоначальные задачи, но и оказываются применимыми в совершенно иных областях.

           Так называемые уравнения математической физики и связанные с ними специальные функции находят применение в самых различных биологических и социологических задачах: гипергеометрические функции и многочлены Якоби встречаются в теории распространения эпидемических заболеваний; функции Бесселя позволяют исследовать процессы массового обслуживания в медицинских учреждениях; гамма - функции используются для определения наиболее вероятного диагноза.

          Значение математики для науки заключается в том, что она дает исключительно точный язык и систему понятий, позволяющие исследовать самые разнообразные вопросы. Мы начинаем с простого счета и измерения, а затем постепенно вводим все более сложные идеи, соответствующие требованиям стоящих перед нами задач.

           Математический подход не только облегчает точное количественное описание определенной задачи путем построения той или иной подходящей модели, но и дает (или может дать) средство к решению этой задачи. Математические уравнения могут быть неразрешимы аналитическим путем, однако ценные с научной точки зрения результаты можно получить и с помощью соответствующих аппроксимаций, численных расчетов для большого числа частных случаев, моделирования и т. д.

          Если же задача сформулирована неудовлетворительно или принятая модель недостаточно реалистична, то при любом количестве абсолютно точных математических выкладок будет получен ошибочный результат. Основной проблемой прикладной математики является выбор первоначальной математической модели, и ни в одной области знания это не чувствуется так остро, как в биологии и медицине.

          Рассмотрим изолированную группу равномерно общающихся друг с другом восприимчивых индивидуумов. В эту группу попадает единственный зараженный индивидуум, в результате чего заболевание начинает распространяться. В простейшем случае допускается, что случаи выздоровления не имеют места (или наступают через очень длительный промежуток времени и ими можно пренебречь, поскольку рассматриваются начальные стадии болезни). Не представляет труда построить простую стохастическую модель, до некоторой степени аналогичную простой модели процесса размножения. Внутреннюю динамику процесса описывает система дифференциально-разностных уравнений, подобная системе. Точные аналитические решения этой системы возможны, но они очень сложны. 

          Поскольку речь идет о существующих методах решения, одним из них является последовательное решение дифференциальных уравнений, начиная с простейшего. К сожалению, при этом для отыскания решения в общем виде требуются очень громоздкие и длительные математические выкладки. Более разумный путь - использование преобразований Лапласа искомых вероятностей, так как оперировать с ними весьма удобно; правда, при обратном переходе к вероятностям возникают определенные трудности, но имеются некоторые математические приемы, позволяющие облегчить эту работу.

         Другой возможный подход - применение какой-либо производящей функции (такого многочлена от переменной x, что коэффициент при x_r равен p_r(t), т. е. вероятности того, что в момент t будет наблюдаться r случаев заболевания). Это позволяет привести систему дифференциально-разностных уравнений к одному дифференциальному уравнению в частных производных параболического типа второго порядка, которое может быть точно решено, хотя и с некоторыми трудностями. С помощью этого единственного уравнения можно, вероятно, определить многие свойства исследуемого процесса, однако это еще дело будущего.

           Из всего сказанного видно, сколь велико число различных способов получения математического решения любой данной задачи. Что именно можно сделать в каком-либо конкретном случае, зависит от математических знаний и навыков исследователя и от наличия вычислительной техники. Такое многообразие методов служит гарантией того, что в будущем настойчивые усилия будут вознаграждены хотя бы частичным успехом.

           В последние годы много говорят о применении теории информации. Ни один биолог не сомневается в исключительной важности этого предмета. При решении вопросов, связанных с передачей информации в обычном смысле слова, значительное преимущество проведения точного анализа с помощью моделей, в которых используется математическое понятие количества информации, очевидно. Споры ведутся о том, в какой степени понятия теории информации можно применять в совершенно иных областях исследования. Так, при изучении кодирующей роли ДНК в синтезе белка может быть принят криптографический подход. Такие задачи связаны главным образом с хранением и передачей информации (надлежащим образом определенной и измеренной).

           С точки зрения потери информации можно также изучать такие проблемы, как заболевания дегенеративного характера, лучевое повреждение, старение и смерть. Как известно, организмы могут жить и размножаться, несмотря на некоторые дефекты в той генетической информации, которую они в себе несут. В результате увеличения числа таких ошибок под влиянием облучения организмы, которые ранее были близки к летальному пределу, но все же обладали некоторой жизнеспособностью, могут вообще оказаться нежизнеспособными. Это положение можно сформулировать в понятиях теории информации, предположив, что под влиянием облучения повышается частота мутаций, или, что равнозначно, уровень шума в канале связи. Вследствие этого пропускная способность канала уменьшается в такой степени, что у некоторых организмов передача достаточно точных сообщений оказывается невозможной.

           Информационный подход в сочетании с принципом отрицательной обратной связи позволил разработать большое число интересных моделей биологических систем управления. Такие модели особенно полезны в приложении к физиологии, где они позволяют выяснить многие вопросы, касающиеся механизма гомеостаза. На этом фундаменте построена новая наука - кибернетика, охватывающая любые процессы управления в самых разнообразных системах - технических, биологических и социальных.

           Основанная на чисто топологических соображениях теорема Розена гласит, что в любом организме, каким бы простым или сложным он ни был, имеются некоторые компоненты, регенерация которых невозможна.

           Например, при наличии ядра цитоплазма отдельной клетки может регенерировать, однако разрушенные ядра не способны к регенерации. Розен доказал также другую теорему: если некоторый компонент организма, не способный к регенерации, получает входные воздействия непосредственно из внешней среды, то утрата этого компонента приведет к гибели всего организма. Применение топологического подхода при изучении головного мозга дало возможность получить лишь общую абстрактную модель различных функций мозга, позволяющую по-новому взглянуть на важные реляционные аспекты поведения.

            Подлинное значение этих более абстрактных математических исследований еще не получило достойной оценки. Простые модели легко описать, объяснить и проверить. Но чем больше степень абстракции, тем труднее понять, в какой степени связаны между собой модель и реальное явление и не выхолощена ли эта модель настолько, что перенос любых выводов, полученных с ее помощью, на реальную действительность будет малооправданным. Если через некоторое время окажется, что математические модели реляционного типа дают полезные результаты (а это весьма возможно), то, значит, затраченные усилия не пропали даром. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованной литературы: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Приложение. 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ  ЗАДАЧ. 

Пример 1. В среду с определёнными условиями существования вносят популяцию из 100 бактерий. Численность популяции возрастает по закону: 

                                                     , где t выражено в часах.

 Найти максимальный  размер этой популяции до момента  её угасания. 

Решение. Найдём производную от функции z(t): 

                             ; 

, но – 1 не удовлетворяет условию задачи, значит необходимо рассмотреть поведение производной функции в окрестности точки 1. 

Видно, что  1 – точка максимума. 

А это и говорит  о том, что в момент времени t = 1 (час) популяция достигнет своего наибольшего значения (будет иметь максимальный размер). 

Тогда,  (бактерий). 

Ответ: 150 бактерий. 

Пример 2. Смена в некоторой экологической системе подчиняется принципам периодичности и цикличности (луг – болото, болото  – луг). Нам известен закон, по которому она происходит:

                                          , где t – время. Требуется найти размах между циклами смены (т.е. найти разницу между положениями "болото" и "луг" на графике функции h(t)).  

Решение. Для определённости будем считать, что наибольшему значению функции h(t) соответствует положение "луг", а наименьшему  –  "болото". 

Преобразуем функцию h(t):

              .

 Для того  чтобы найти наибольшее и наименьшее  значения данной функции, необходимо  отыскать её область значений. 

В силу того, что             .

 То, следовательно,                   . 

 где 8  –   наибольшее значение функции  ("луг"), а 6  –  наименьшее ("болото"). 

Тогда размах равен 8 – 6 = 2. 

Ответ: 2. 
 

Пример 3. Какая популяция живых организмов развивается со скоростью возрастания численности элементов популяции, пропорциональной числу особей, входящих в неё. Найти закон развития популяции, если в начале наблюдения число элементов равно N₀ = 10, а через 10 минут N = 100. 

Решение. Пусть x  –   количество элементов популяции, имеющихся в данный момент. Тогда согласно условию задачи получим уравнение: 

                                  , где k – коэффициент пропорциональности (k > 0, т.к. численность особей увеличивается).  

Следовательно,           

                                 .

Почленно интегрируем  полученное равенство:

                   , где lnC  – произвольная константа интегрирования. 

В нашем случае x = N, C = N₀, t = 10 (мин) = (ч). 

Найдём 

                         .

Окончательно  имеем: N = N₀ * 10⁶t  – закон развития популяции (время выражено в часах). Данная популяция –   бактерии. 

Ответ: бактерии; N = N₀ * 10⁶t.