Авторегресія як модель прогнозування врожайності сільськогосподарських культур

/V

 

/•    ^;1     , (2)

де  Еї - відхилення фактичних рівнів від тренда; N - число рівнів, 3) Основним абсолютним показником коливання вважають середнє квадратичне відхилення. Якщо аналізований період є вибіркою, за якою робиться оцінка генеральної величини коливання в даному процесі для цілей прогнозування (екстраполяції), то оцінку генерального середнього квадратичного відхилення обчислюють за формулою:

N І

Л'_п;, - 1 -— ¹ — . , (3), де Р - число параметрів тренда, включаючи вільний член.

У число  показників колеблемости крім абсолютних повинні входити і відносні показники, роль яких полягає в тому, що лише в них виражається порівнянна для різних рядів міра інтенсивності коливального процесу. Відносні показники будуються як відносини абсолютних показників до середнього рівня ряду динаміки за той же період. Так, на основі середнього квадратичного відхилення можна обчислити відносний показник - коефіцієнт колеблемости.

 

 

V     = (4)

 

По відношенню до врожайності на основі досвіду масового виміру 
коливань з різних культур і територіям при ^<0,1 коливання можна

 

характеризувати    як    слабку,    при   0,1 <V ^ < 0,2   як    помірну;    при

 

0,2 <V ф <0,4- як сильну, при - > 0,4 як дуже сильну.

Система показників колеблемости повинна бути доповнена показниками стійкості як властивості, протилежної коливання.

Коефіцієнтом  стійкості називають величину рівну  (5), або доповнення коефіцієнта колеблемости до одиниці.

Суттєвою  характеристикою коливання є  тип коливань. Первинних, або «чистих»,    коливань    в    динамічних    рядах    можна    виділити    три:

«Пілообразная», або «маятникова», коливання, при  якій знаки відхилень від тренда чергуються строго по черзі; довгоперіодичних, або циклічна, при якій кілька рівнів поспіль відхиляються від тренда в одну сторону, а потім кілька рівнів - в протилежну сторону і  т. д.; Випадково розподілена в  часі, при якій равновероятно будь-яка  послідовність знаків і величини відхилень від тренда.

Жоден з цих типів, як правило, не зустрічається  на практиці в чистому вигляді, але  зазвичай один з типів є переважаючим для певного процесу. Знання типу переважні коливання має велике практичне значення для прогнозування  і для розробки заходів щодо зменшення  коливань або з подолання їхніх  негативних наслідків. Так, при переважанні  «пілообразной» колеблемости потрібно значно менший страховий запас, ніж при рівній за інтенсивністю довгоперіодичних колеблемости, так як недобір продукції при першій з них відразу ж наступного року компенсується її підвищенням над середнім рівнем тренда, А при другому типі кілька років з недобором продукції слідують один за іншим.

Різні типи коливання пояснюються, як правило, різними причинами. Так «пілообразная» колеблемость - автоколивальних причинним  механізмом. Довгоперіодичних коливання  звичайно пов'язана з циклами  зовнішніх факторів: Сонячна активність, зміна пори року, гіпотетичні цикли  метеорологічних процесів. Випадкову  коливання зазвичай розглядають  як накладення або «інтерференцію»  багатьох різних за характером і довжині  циклу коливальних процесів.

Для дослідження типу колеблемости запропонований ряд методів. Так, М. Дж. Кондел запропонував критерій «поворотних точок», або локальних екстремумів, в ряду відхилень від тренда. їм доведено, що при випадковому розподілі в часі коливань число локальних екстремумів в середньому дорівнює:

К_т = ²_з(М-2),(6).

при середньому квадратичному відхиленні

_а     16^29 V     90

При «пілообразной» колеблемости число «поворотних точок» буде точно дорівнює N-2, а при довгоперіодичних - подвоєному числу циклів, що зменшуються на довжині періоду оскільки кожен цикл містить а екстремуму. Вимірявши фактичне число «поворотних точок» і порівнявши його з очікуваним при різних типах коливань можна визначити переважний типколеблемости.

Інший метод визначення типу коливання, при  якому враховується не тільки порядок  чергування величин відхилень від  тренда, а й самі ці величини - автокореляційних аналіз. Він полягає в обчисленні коефіцієнтів автокореляції в ряду відхилень від тренда із зсувом на 1,2,3 і т.д. Отримана серія коефіцієнтів автокореляції утворює так звану «автокореляційної функцію». Вже за коефіцієнтом автокореляції першого порядку, тобто із зсувом на один рік можна досить надійно судити про переважне типі коливань.

Коефіцієнт  автокореляції першого порядку  обчислюється за формулою: п-\

_{к = о >(⁸)}

*    Е}    п-\       Е¹

¹ і  і Е н—-

2 і = 2 ¹     2

При «пілообразной» колеблемости всі твори в чисельнику коефіцієнта будуть негативні і буде отримана істотна величина коефіцієнта. Навпаки, при довгоперіодичних колеблемости переважна частина творів - в чисельнику, притому найбільшу при абсолютній величині будуть позитивні, і в результаті коефіцієнт автокореляції виявиться істотно позитивним. При випадково розподіленої в часі коливання однаково ймовірно будь чергування знаків відхилень від тренда. Тому виявиться приблизно порівну позитивних і негативних творів, а коефіцієнт виявиться неістотно відмінним від нуля.

Суттєвість  відмінності коефіцієнта автокореляції  перевіряється за спеціальними таблицями.

 

 

2.3. Прогнозування на основі динамічних  рядів

 

 

Одне з найважливіших практичних застосувань статистичного вивчення тенденцій динаміки і коливання  полягає в прогнозуванні на його основі можливих оцінок величини досліджуваної  ознаки. Прогнозування на основі вимірювання  тренда і коливання один з методів статистичного прогнозування.

Статистичний прогноз - це імовірнісна оцінка можливостей розвитку того чи іншого об'єкта (процесу) і величини його ознак в майбутньому, отримана на основі статистичної закономірності, виявленої за даними минулого періоду. Він призначений або для планування управління об'єкта, або для вироблення стратегії поведінки суб'єкта, якщо об'єкт не управляємо.

Статистичний прогноз передбачає не тільки правильне якісне передбачення, а й досить точне кількісне  вимір ймовірних можливостей  очікуваних значень ознак. Для даної  мети необхідно, щоб прогностична модель мала достатню точність або допустимо  малу помилку прогнозу. Помилка статистичного  прогнозу буде тим менше, чим менше  термін попередження - часовий проміжок від бази прогнозу до прогнозованого періоду, і чим довше база прогнозу - минулий період, однорідний по закономірностям розвитку, на основі інформації за який побудована прогностична модель. Для визначення строку попередження використовують чисто емпіричне правило: в більшості випадків термін попередження не повинен перевищувати третій частині довжини бази прогнозу.

Помилка прогнозу пов'язана прямою залежністю з колеблемость. Тому сила коливань повинна враховуватися при виборі співвідношення між довжиною бази прогнозу і терміном попередження. Чим сильніше коливання, тим більшим має бути це співвідношення.

Область застосування методу прогнозування  не основі тренду і коливання дуже широка, що випливає з великого значення вивчення трендів і коливання в соціально-економічних науках, а так само в процесі практичного планування та управління виробництвом. Одним з найяскравіших прикладів може служити прогнозування врожайності на основі трендової моделі, а значить і обсягу продукції рослинництва, так як серед факторів, що впливають на врожайність, значну роль відіграють метеорологічні явища, які в даний час наука не в змозі прогнозувати навіть на рік в перед, Л трендова модель та вимірювання колеблемости дозволяють розраховувати ймовірні кордону прогнозованої врожайності на кілька років вперед.

Прогнозування завжди спирається на досвід розвитку досліджуваного явища  в минулому. Тому будь-який прогноз  як вихід за межі досліджуваного періоду  можна розглядати як екстраполяцію.

Прогноз виражається як у вигляді точкової або інтервального оцінці. Точковий прогноз є оцінка прогнозованого показника в точці (в конкретному  році, місяці, дні, середині періоду  прогнозу) за рівнянням, що описує тенденцію  показника.

Точкова оцінка розраховується шляхом підстановки номера року, на який розраховується прогноз, в рівняння тренда. Вона є середньою оцінкою для прогнозованого інтервалу часу. Так, точковий прогноз вказує ту величину врожайності, на яку в середньому вийде об'єкт на прогнозований рік, якщо тенденція динаміки врожайності збережеться. Цю величину можна використовувати в планування.

Інтервальний прогноз по типу прогнозованого показника розпадається на три види: Прогноз ймовірних кордонів тренда; прогноз ймовірних кордонів рівнів окремих років з урахуванням їх можливої колеблемости щодо тренда; прогноз ймовірних кордонів середньорічних рівнів динамічного ряду.

Прогноз ймовірних кордонів тренда для будь-якого  заданого року (терміну попередження) відповідає на питання про те, в  межах якого інтервалу виявиться  із заданою ймовірність рівень тренда в році з номером ік,після того як стануть відомі всі рівні уі окремих років, Починаючи від наступного за кінцем бази прогнозу рівня і до рівня в прогнозованому році ук (1 - період попередження, кі - база прогнозу). При одноразовому вирівнюванні для визначення параметра лінійного тренда - середньорічного абсолютного приросту - середня помилка прогнозу тренда для року з номером ік,який починається від середини прогнозу, обчислюється за формулою:

 

де т~- позначення середньої помилки прогнозу тренда;

 

 

^ (і)" ^^шнкасеР^еД^нього квадратичного відхилення окремих рівнів від

тренда; N - число рівнів динамічного ряду.

Середнє квадратичне відхилення отримують  при одноразовому вирівнюванні. З  формули випливає, що помилка прогнозу тренда виходить як дисперсія суми. Перший доданок подкоренного вирази - це квадрат середньої помилки параметра аО - вільного члена рівняння лінійного тренду, тобто середньої помилки рівня ряду, назад пропорційної числу членів ряду, що розглядається як вибірка. Друге - це дисперсія оцінки другого параметра аі, тобто середньорічного приросту, помноженого на кількість років від середини бази прогнозу до прогнозованого періоду, так як помилка у прогнозі зростає пропорційно числу років. Так як параметри аО і аі- лінійно незалежні, то застосовується додавання по правилам дисперсії суми незалежних величин.

Для обчислення ймовірних кордонів прогнозу тренда необхідно середню помилку прогнозу помножити на величину і критерію або нормального розподілу, щоб отримати ймовірну помилку прогнозу тренда а ^к     У к ^а

Ймовірний інтервал прогнозу тренда дорівнює точкового прогнозу плюс-мінус ймовірна помилка

У к ±^а У к >(И)

Ймовірну помилку і інтервал доцільно обчислювати з досить близькими ї одиниці ймовірності: Конкретний вибір ймовірності або надійності прогнозу залежить від його завдань і від сили коливань. При прогнозі конкретного, рівня ряду динаміки в силу того, що конкретний рівень залежить як від тренда, так і від коливання, середня помилка прогнозу розраховується за формулою:

 

^ту_к=Г у_к⁺³      '⁽¹²⁾

дет~- середня помилка тренда; ^ук

~2

5^іу{і)₁-Середнє очікуване для прогнозованого року відхилення

конкретного рівня від тренда або абсолютного коливання.

При прогнозі середньорічного рівня  на кілька років розраховується

точковий  прогноз середньорічного абсолютного  рівня. Якщо розглядається

динаміка  одновимірного показника, це є середня  арифметична величина з

точкових  прогнозів для всіх років усредняемого періоду попередження 1:

N + 1 І    у. У_і=і=М+1_>(13)

При лінійних формах тренда середнього рівня і тренда середнього квадратичного відхилення формула середньої помилки прогнозу середньорічного рівня виглядає наступним чином:

? / + 1

Л-.г(/)(.\г )

т    -\///²г( V + —) + - , (14)

УІ    \ 2 і

Для оцінки правильності статистичного  прогнозу застосовується методика ретроспективної  оцінки авторегресійних прогнозів, основу якої становить система показників.

1. Показник виправданість. Справдилися вважається прогноз, у довірчі 
межі інтервалу якого потрапило фактичне значення рівня. По групі прогнозів 
обчислюється показник виправданість прогнозів і:

_*/

] = — ,(15) 8

де  £) - число прогнозів, що виправдалися; § - загальне число прогнозів.

Таким чином, показник виправданість  прогнозів - це частка виправдалися в досить однорідною за характером прогнозованих процесів, достатньою великий для погашення випадковостей групі прогнозів.

2. Абсолютне відхилення точного прогнозу від фактичного рівня:

Л = у_к-у_кЛЩ

 

3. Відносне відхилення точкового прогнозу від фактичного рівня:

р₈і_а^Хі,(і7) Ук       Ук       Ук

Відносні відхилення порівнянні не тільки в межах групи однорідних якісно рядів динаміки, а й для  будь-яких прогнозів, отриманих одним  і тим же методом. За середньою  величиною відносного відхилення можна  судити про якість методики прогнозів. Якщо основа цієї методики: Гіпотеза про  збереження тренда до кінця терміну попередження, збереження типу коливання і її тенденції, правильне відображення цих тенденцій прогностичними рівняннями - справедливі, то середня величина відносного відхилення прогнозів від фактичних рівнів повинна бути близька до середньої величини відносних помилок, Закладених у методиці самих прогнозів, тобто величиною.

т

У_к

(18), де т    - середня статистична помилка прогнозу, рівня.

Близьке збіг апріорної величини середньої  відносної помилки в групі  прогнозів і середньої фактичної  апостеріорної величини прогнозів  при їх досить великому числі свідчить про правильність вихідних передумов  методу прогнозування.