Поворот пространства вокруг прямой

§8 ПОВОРОТ ПРОСТРАНСТВА ВОКРУГ ПРЯМОЙ

 

      Определение 1. Поворотом  пространства вокруг прямой d на

направленный угол α называется такое отображение пространства на себя, ко-

торое каждую точку М переводит  в точку M`, удовлетворяющую условиям:

      1) точки М и M` лежат в плоскости, перпендикулярной прямой d;

      2) расстояние от  точки М до прямой d равно расстоянию  от точки M` до

этой же прямой;

      3) направленный угол ∠MSM` равен направленному углу α, где S – точка

пересечения прямой d с плоскостью, проходящей через точки M и M` и перпен-

дикулярной прямой d.

      Рассмотрим поворот  пространства вокруг прямой d на  направленный угол

α. Зададим ПДСК так, чтобы ее начало О лежало на прямой d, единичный век-

тор k был параллелен прямой d, а  единичные векторы i , j были бы взаимно

ортогональны между собой и  перпендикулярны, в свою очередь, вектору k .

Относительно выбранной системы  координат получим формулы поворота про-

странства вокруг прямой d на направленный угол α. Для этого возьмем произ-

вольную точку М пространства. Пусть она относительно ПДСК Оi j k имеет

координаты ( x, y, z ) . Под действием  поворота эта точка перейдет в  некоторую

точку M` ( x`, y`, z `) . По определению поворота, точки М и M` лежат в одной

плоскости, перпендикулярной оси Оz, значит, их последние координаты совпа-

дают. Поворот пространства вокруг оси Оz определяет на плоскости Оxy пово-

рот вокруг точки О. Если точки M и M` ортогонально спроектировать на эту

плоскость, то получим точки M1 и  М`1, которые относительно ПДСК Оi j на

координатной плоскости будут  иметь координаты М1 ( x, y ) и M`1 ( x`, y`) , рав-

ные первым координатам точек М  и M`. Из формул

                              x` = x cos α − y sin α,

                              y` = x sin α + y cos α

поворот плоскости вокруг точки получаем, что формулы поворота пространства

вокруг оси Оz имеют вид

                            x` = x cos α − y sin α,

                            y` = x sin α + y cos α,                        (8.1)

                            z ` = z.

 

    Свойства поворота пространства вокруг прямой

 

      1. Поворот пространства  вокруг прямой на заданный  угол сохраняет

расстояния между любыми точками.

      2. Поворот пространства  вокруг прямой на заданный  угол сохраняет

простое отношение трех точек.

      3. Поворот пространства вокруг прямой на заданный угол переводит

отрезок в отрезок, луч в луч.

      4. Поворот пространства  вокруг прямой на заданный  угол переводит

плоскость в плоскость, полупространство в полупространство, полуплоскость

в полуплоскость, прямую в прямую.

      5. Поворот пространства  вокруг прямой на заданный  угол всякую плос-

кость, перпендикулярную оси поворота, оставляет на месте.

      6. Поворот пространства  вокруг прямой на заданный  угол переводит ли-

нейный угол в равный ему линейный угол.

      7. Поворот пространства  вокруг прямой на заданный  угол переводит

двугранный угол в равный ему  двугранный угол.

      8. Поворот пространства  вокруг прямой m на угол α переводит  полу-

плоскость с границей m в полуплоскость  с той же границей m, причем величина

двугранного угла между плоскостями  равна углу поворота.

       9. Композиция  двух симметрий пространства  относительно пересекаю-

щихся плоскостей есть поворот пространства вокруг линии их пересечения на

угол, равный величине двугранного угла между плоскостями.

       10. Композиция  двух поворотов вокруг одной  и той же прямой есть по-

ворот вокруг этой прямой.

       11. Множество всех  поворотов пространства вокруг  одной и той же

прямой есть коммутативная группа.

       12. Композиция  двух поворотов пространства вокруг прямых, проходя-

щих через одну и ту же точку  О, есть поворот пространства вокруг некото-

рой прямой, также проходящей через  точку О.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поворот вокруг прямой понятие

 

 

Пусть  -- - прямая в пространстве. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором каждая точка прямой остается на месте, а каждая точка , не лежащая на этой прямой переходит в точку   плоскости , проходящей через перпендикулярно прямой , и при этом точка есть образ точки   при повороте плоскости   на угол  вокруг точки пересечения плоскости  с прямой . Это отображение называется поворотом пространства на угол вокруг прямой .

 

Можно доказать, что поворот вокруг прямой есть движение, т.е. при этом повороте сохраняются расстояния между точками. Поэтому прямые переходят в прямые, отрезки --- в равные им отрезки, плоскости --- в плоскости.

 

Примеры фигур, которые переходят  в себя при некотором повороте: сфера и шар переходят в себя при повороте на любой угол вокруг любой прямой, проходящей через их центр; прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус переходят в себя при повороте на любой угол вокруг их оси; правильная -угольная пирамида переходит в себя при повороте на угол   вокруг прямой, содержащей ее высоту. Аналогично для правильной призмы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поворот. Отметим на плоскости точку  О и зададим некоторый угол a. Поворотом плоскости вокруг точки  О на угол a называется отображение  плоскости, при котором точка О отображается сама в себя, а каждая точка М, отличная от точки О, отображается в точку M' так, что ОМ=ОM' и РМОM'=a, причём все точки плоскости поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении. Точка О называется центром поворота, а угол a - углом поворота.

 

Поворот вокруг точки О на 180 градусов называется центральной симметрией.

 

Поворот является движением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 2.10. Поворот на плоскости. Примеры поворотов на плоскости дают нам стрелки часов или каких-либо приборов, например, барометра, спидометра и др. (рис.2.44).

 

а)

б)

Рис.2.44

Стрелки приборов могут двигаться  в направлении движения стрелки  часов (например, так движется стрелка  барометра, когда атмосферное давление растет). Но возможно движения стрелки  прибора и против часовой стрелки (так движется стрелка барометра, когда атмосферное давление падает). Этими механическими представлениями о направлении поворота по или против часовой стрелки мы воспользуемся при определении поворота фигуры на плоскости.

Поворотом фигуры M на плоскости с центром в точке O на угол ϕ в данном направлении называется такое преобразование фигуры M, при котором каждой точке X, отличной от точки O, сопоставляется такая точка X' , что, во-первых, |OX|=|OX'|, во-вторых, ∠XOX'=ϕ и, в-третьих, угол XOX' откладывается от луча OX в заданном направлении (рис.2.45). При этом точка O называется центром поворота, а угол ϕ - углом поворота.

Рис.2.45

Если же центр поворота O принадлежит фигуре M, то при повороте этой фигуры он является неподвижной точкой поворота. Поворот с центром в точке О называют также поворотом вокруг точки О.

Итак, при повороте фигуры M вокруг точки O все отрезки OX, идущие из точки O в точки X этой фигуры, поворачиваются в одном и том же направлении на один и тот же угол (рис.2.46).

Если в качестве фигуры M рассматривают всю плоскость, то говорят не о повороте на плоскости, а о повороте плоскости.

Отметим, что поворот плоскости на 180⁰ является симметрией относительно центра поворота (рис.2.47);

поворот плоскости на нулевой угол есть тождественное преобразование.

 

Рис.2.46 Рис.2.47

Доказать, что поворот плоскости  является движением, сложнее, чем для  переноса или симметрии. Выделим  это утверждение как теорему о повороте.

Т е о р е м а . Поворот плоскости является движением.

(У) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть при повороте f вокруг точки O на угол ϕ точкам X и Y сопоставляются точки X' и Y' . Покажем, что X'Y'=XY.

В частном случае, когда точки X и Y лежат на одной прямой с точкой O (рис.2.48,а,б), требуемое равенство сразу следует из того, что отрезок XY является суммой или разностью отрезков OX и OY (проведите соответствующие рассуждения самостоятельно).

а)

б)

Рис.2.48

Более трудным является общий случай, когда точки О, X, Y не лежат на одной прямой.

Покажем сначала, что

∠X'OY' = ∠XOY. (17)

Действительно, пусть сначала направление  поворота внутри угла XOY от луча OX к лучу OY совпадает с направлением поворота f (рис.2.49,а). Тогда

∠XOY'= ∠XOY + ∠YOY'= ∠XOY+ϕ (18)

С другой стороны,

∠XOY'= ∠XOX′ + ∠X′OY'= ∠X′OY′+ϕ (19)

Из равенств (18) и (19) следует равенство (17).

Если  же направление поворота внутри угла XOY от луча OX к лучу OY противоположно направлению поворота f (рис.2.49,б), то

∠YOX’=∠YOX+∠XOX’=∠XOY+ϕ (18’)

и

∠YOX’=∠YOY'+∠Y’OX’=∠X′OY′+ϕ . (19’)

а) б)

Рис.2.49

Из равенств (18’) и (19’) снова получаем (17).

Теперь  докажем равенство отрезков XY и X′Y′ .

Рассмотрим  треугольники XOY и X'OY'. Они равны, так как OX=OX', OY=OY', ∠XOY=∠X'OY'. Следовательно, XY =X'Y'.g

Среди всех движений плоскости поворот выделяется следующим признаком: движение плоскости, имеющее единственную неподвижную точку, является поворотом плоскости вокруг этой точки.

Мы этот признак не используем, а потому его не доказываем.

 

 

Свойства

Если репер  привязан к центру вращения, то реализуется ортогональной матрицей.

Вращения  трехмерного евклидова пространства (с фиксированным центром) образуют группу O(3) (собственные — группу SO(3)).

Вращения  двумерного пространства (плоскости) образуют соответственно группы O(2) и SO(2) (изоморфную U(1)).