Расчет купола

Общие сведения

Типичная форма  купола — это поверхность двоякой  кривизны с вертикальной осью вращения, которая может быть задана уравнением вида:

.Поверхность  купола с круговым основанием  получается вращением вокруг  вертикальной оси меридиональной  кривой (образующей) — дуги круга,  эллипса, параболы, циклоиды или  комбинации из них (рис. 9.1). Образующей  может служить прямая, при вращении  которой получается конус. Купола  с эллиптическим планом имеют  более сложную поверхность. Могут  применяться также волнистые,  складчатые, а при многоугольном  плане — многогранные купола.При  выборе очертания купольного  покрытия учитывают архитектурные  и технологические требования, а  также технико-экономические, включающие: минимальный расход материала  на возведение купола; простоту, удобство изготовления и монтажа  элементов; долговечность, возможность  ухода за конструкцией; соответствие  конструктивного решения купола  характеру действующих нагрузок.Купола  бывают пологими и подъемистыми. Пологим считается купол при  отношении стрелы подъема к  диаметру основания D от 1/5 до 1/10. В некоторых случаях по архитектурным, технологическим или иным соображениям их проектируют подъемистыми — с f/D > 1/5.

Конструкция купола состоит из оболочки (плиты) и нижнего  опорного кольца, воспринимающего распор. При наличии центрального светового  или аэрационного проема устраивают верхнее кольцо (рис. 9.2).

Материалами для  тонкостенных куполов могут служить  железобетон, армоцемент, клееная древесина, конструкционные пластмассы, в частности, стеклопластик.

Расчет  купола

Методика расчета  купола зависит от его типа и вида нагрузки — осесимметричной и  неосесимметричной. К первой относится  собственный вес конструкции, сплошной снеговой покров и симметрично подвешенное  оборудование. Ко второй — ветровая нагрузка, односторонняя снеговая нагрузка и несимметрично расположенное  оборудование. При отношении f/D ≤ 1/4 ветровой напор создает на поверхности купола отсос, который разгружает купол и может не учитываться. Однако легкие, например, пластмассовые купола необходимо проверять расчетом на действие отсоса ветра.На стадии определения конструктивного решения тонкостенного купола применяют приближенные способы расчета. Они дают вполне достоверные результаты, зачастую с точностью выше реальных допусков, практикуемых при подборе сечений элементов купола. В рабочем проектировании пользуются точными методами, ориентированными на реализацию вычислений с помощью компьютера.Тонкостенные купола можно рассчитывать по безмоментной теории, условиями применения которой являются: плавность изменения толщины оболочки, радиуса кривизны ее меридиана, интенсивности нагрузки; свободное перемещение оболочки в радиальном и кольцевом направлениях. Безмоментное опирание купола по внешнему контуру представляется как непрерывное, шарнирно-подвижное, образуемое стерженьками-опорами, направленными по касательным к меридиональным сечениям оболочки. В этом случае оболочка будет статически определима (рис, 9.3), При нарушении названных условий напряженное состояние купола должно определяться с учетом действия изгибающих моментов в краевых зонах.

В безмоментном напряженном состоянии оболочка купола работает как тонкая мембрана и поэтому подвержена только нормальным усилиям, действующим в ее срединной  поверхности. На практике это положение  можно принять в отношении  всего купола кроме приопорной зоны, где появляются изгибающие моменты.Рассмотрим купол произвольного очертания, двоякая кривизна которого в каждой точке определяется двумя радиусами  кривизны R₁ и R₂. В общем случае элемент оболочки купола, ограниченный двумя меридиональными и двумя кольцевыми сечениями, находится под воздействием нормальных усилий — меридионального N₁ и кольцевого N₂, а также касательного усилия S, отнесенных к единице длины сечения (см. рис. 9.3 а). При загружении купола осесимметричной нагрузкой (собственный вес, снег на всей поверхности) усилие S = 0, а усилия N₁ и N₂ определяют из условий статики как функции только угловой координаты φ (широты).

Напряженное состояние  купола при осесимметричной нагрузке характеризуется следующим уравнением равновесия:

где q_φ — нормальная к поверхности купола составляющая внешней нагрузки q (на 1 м2 поверхности купола).

Для определения  меридионального усилия N₁ кольцевым горизонтальным сечением отсекается верхняя часть купола и рассматривается ее равновесие (см. рис. 9.3 в). На отсеченный сегмент действует сжимающая сила Q_φ, которая представляет собой сумму всех нагрузок, приложенных выше рассматриваемого сечения. Исходя из условия ΣZ=0, она должна уравновешиваться меридиональными усилиями N₁ по периметру кольцевого сечения радиуса r:

где (φ—текущая угловая координата (отсчитывается от оси вращения); r = R₂sinφ.

Следовательно,

Кольцевое усилие N₂ находят из уравнения (9.2):

Распор купола определяется как горизонтальная проекция меридионального усилия N₁

Распор в уровне опорного кольца (φ = φ₀):

где N_1,0 — меридиональное усилие в уровне опорного кольца; φ₀ — половина центрального угла дуги оболочки в меридиональном направлении; r₀ — радиус опорного кольца; Q_φ,0— нагрузка, действующая на купол.Распор F_h действует на опорное кольцо в радиальном направлении, поэтому растягивающее усилие в опорном кольце:

Сжимающее усилие в верхнем кольце от нагрузки q при соответствующей текущей координате φ определяется аналогично (9.8).

Под действием  вертикальной нагрузки купол сжат, а вблизи опорного кольца растянут. Существует нейтральное кольцевое  сечение («параллель»), вдоль которой  усилия N₂ равны нулю. Координата этой параллели определяется формой купола и видом нагрузки. Ее можно вычислить, приравняв к нулю выражение в скобках в формуле (9.5).

Дальнейшее рассмотрение оболочки вращения под действием  конкретных нагрузок проведем на примере  сферического купола. Геометрически  он наиболее прост, а основные выводы качественного порядка, сделанные  для сферы, могут быть распространены на купола других форм.

Для сферы R₁ = R₂ = R формулы (9.4) и (9.5) приобретают вид:

Формулы расчета сферических куполов  на действие нагрузок от собственного веса g (кН/м² поверхности купола) и снега s (кН/м² перекрываемой куполом площади) приведены в [5], [6], [17]. Распределение меридиональных и кольцевых усилий в полусферическом куполе от вертикальных нагрузок показано на рис. 9.4.

Угол φ, при  котором кольцевые усилия в куполе меняют знак, превращаясь из сжимающих  в растягивающие, равен ~ 52° при  действии собственного веса и 45° —  при полной снеговой нагрузке. Для  того, чтобы избежать растягивающих  кольцевых усилий, стрела подъема  купола f не должна превышать 1/52). Более подъемистые купола нуждаются в специальных кольцевых затяжках в нижних приконтурных зонах. Аналогичные вычисления усилий и критических величин углов могут быть выполнены для куполов вращения других очертаний.

При действии горизонтальных сил (ветер, сейсмика) и несимметричных нагрузок (одностороннее расположение снега) напряженное состояние купола характеризуется, кроме нормальных усилий N₁ и N₂, также касательными (сдвигающими) усилиями S. Расчет существенно усложняется и его выполняют по специальной методике.Усилия N₁ и N₂ в гладкой оболочке купола, как правило, невелики, поэтому ее толщина определяется, главным образом, конструктивными или технологическими соображениями.Особое внимание уделяют устойчивости купола. Формулы ее проверки, характерные для каждого материала, даются при рассмотрении особенностей куполов из различных материалов.Волнистые и складчатые купола составляют особую группу. С архитектурной точки зрения они весьма эффектны, обладают богатой пластикой и немалыми конструктивными достоинствами, связанными с жесткостью формы. Будучи сплошностенчатыми (гладкими) или решетчатыми, они могут быть отнесены, соответственно, к тонкостенным или ребристым куполам. В железобетоне выполняют волнистые и складчатые купола, а из клееной древесины — чаще складчатые.

Железобетонные  купола

Для железобетонных тонкостенных куполов характерны гладкие  или волнистые (складчатые) формы, описываемые, в целом, поверхностью вращения. Область  эффективных пролетов таких покрытий — от 25 до 120 м. Однако известны уникальные сооружения, имеющие более крупные  пролеты, например D = 132 м (г. Урбана, США).В зависимости от отношения стрелы подъема/к диаметру D опорного контура различают купола пологие — f/D = 1/5...1/10 и подъемистые — f/D>1/5. Наибольший экономический эффект получается при f/D = 1/3...1/5, однако в целях уменьшения поверхности покрытия рекомендуется принимать f/D - 1/6...1/7.Основными конструктивными элементами купола являются оболочка и нижнее опорное (растянутое) кольцо, воспринимаюшее распор (см. рис. 9.2 а). При наличии центрального проема устраивают верхнее (сжатое) кольцо (си. рис. 9.2 б). Если по периметру купола D < 30 м имеется плоское кольцевое перекрытие, распор воспринимается последним (см. рис. 9.2 в). Железобетонные купола могут быть монолитными, сборными и сборно-монолитными.Оболочки монолитных куполов выполняют, преимущественно, гладкими, а сборных — ребристыми из цилиндрических или плоских панелей.На стадии предварительного проектирования толщину t гладкой оболочки принимают равной 1/600... 1/800 радиуса кривизны купола в вершине, но не менее 50 мм по технологическим условиям, с постепенным увеличением ее к опорному и фонарному кольцу. В последующем расчете толщину оболочки уточняют проверкой условия устойчивости. В том случае, когда гладкая оболочка не проходит по устойчивости или на нее действуют сосредоточенные нагрузки, поверхность купола усиливается меридиональными, а при необходимости и кольцевыми ребрами, высота h которых принимается равной (1/100...1/150)D.

Конические купола имеют толщину оболочки t = (1/100...1/150)1), а следовательно, значительно уступают сферическим по технико-экономическим показателям.Купол конструируют в соответствии с усилиями, полученными расчетом. Оболочка купола, за исключением приопорной зоны, сжата. Сжимающие усилия воспринимаются полностью бетонным сечением оболочки, поэтому ее армируют конструктивно в количестве не менее 0,2 % площади сечения бетона.В монолитном куполе арматура располагается по меридианам и концентрическим окружностям (параллелям). Гладкую оболочку толщиной до 70 мм армируют одиночной сеткой из проволоки или стержней (классы стали Bp-I, A-II, А-III диаметром 4...6 мм и шагом 150...200 мм, располагаемой в середине сечения оболочки. При большей толщине устанавливают две сетки. В месте примыкания оболочки к нижнему опорному кольцу ставят дополнительную меридиональную арматуру для восприятия краевого изгибающего момента, по которому расчетом определяют количество стержней и заводят их в опорное кольцо. В этой же зоне размещают кольцевую арматуру для восприятия местных растягивающих кольцевых усилий (рис. 9.5).Способ возведения монолитных куполов любого очертания на сплошных лесах и подмостях, повторяющих геометрию купола, сложен, требует больших затрат и поэтому применяется редко. Такие покрытия предпочтительно сооружать индустриальными методами с использованием сборно-разборной или пневматической опалубки.Наиболее распространены купола из сборных железобетонных элементов (рис. 9.6). При их возведении стрелу подъема целесообразно выбирать такой, чтобы в оболочке возникали только усилия сжатия.

В сборном или  сборно-монолитном варианте купол состоит  из криволинейных или плоских  трапециевидных плит (панелей) толщиной не менее 30 мм, усиленных по краям  продольными ребрами, размеры и  армирование которых назначают  в соответствии с требованиями транспортирования  и монтажа. Высота сечения h ребер плиты принимается равной 1/20...1/30 их длины l, а ширина b = (0,25...0.5)h, но не менее 40 мм. В кольцевом направлении в плите устраиваются ребра через 2...3 м. Поле плиты армируют сварной сеткой из проволоки класса Вр-I или стержней классов А-II, А-III с шагом 100...200 мм. Ребра плиты армируют сварными каркасами с рабочими стержнями из стали классов А-II, А-III. В приопорной зоне плиту утолщают. Для замоноличивания купола но линиям сопряжения сборных элементов оставляют зазоры шириной 40... 100 мм. Соединение элементов выполняют на сварке стальных закладных деталей из пластин, уголков и т.п. Прочность закладных деталей и соединительных накладок проверяют расчетом. Бетон оболочки и швов замоноличивания должен быть не ниже класса В-20.

Нижнее опорное  кольцо может быть монолитным или  сборным. Его рабочую арматуру рассчитывают на центральное растяжение без учета  работы бетона. При небольшом диаметре купола (до 30 м) опорное кольцо может  выполняться без предварительного напряжения и армироваться кольцевыми стержнями из стали классов А-II, А-III, А_т-III, диаметром 20...30 мм, стыкуемыми по длине на сварке. В куполах большего диаметра для повышения трещиностойкости опорного кольца и уменьшения размеров его сечения используют предварительное напряжение высокопрочной стержневой арматурой классов A-IV, A-V или проволочной арматурой классов В-II, В_р-II в виде пучков, прядей и др. Рабочую арматуру размещают либо в массиве опорного кольца (в каналах, впоследствии инъецируемых раствором), либо в криволинейных пазах на его поверхности. Напрягаемую арматуру закрывают торкрет-бетоном толщиной 20 мм.Купола могут опираться на различные конструкции — стены, колонны, фундаменты. В оболочке купола допускается устройство отверстий и проемов для освещения и аэрации в пределах расстояния между ребрами. Отверстия могут быть круглыми, овальными или многоугольными.Примеры конструирования монолитных и сборных куполов даны на рис, 9.5 и 9.6, а также в [5], [17] и др.Сжимающие напряжения в оболочке купола σ_c не должны превышать R_b, a растягивающие напряжения σ_t - 0,3 R_b. Приопорные участки, где σ_t > R_bt, армируют, исходя из условия полного восприятия арматурой растягивающих усилий. При σ_t > 3R_bt толщину оболочки увеличивают.При безмоментном решении сопряжение оболочки купола с нижним кольцом компонуют так, чтобы меридиональное усилие от нагрузки проходило через центр тяжести поперечного сечения кольца, вызывая в нем лишь осевое растяжение без изгиба (рис, 9.7 а, б), В реальной конструкции оболочка упруго закреплена в опорном кольце. Поэтому безмоментное напряженное состояние ее в этой зоне нарушается, а вдоль меридиана возникают местные изгибающие моменты М₀ («краевой эффект»), которые быстро уменьшаются по мере удаления от края оболочки (рис, 9,7 в). Определяют их различными методами, изложенными в [6], [17] и др.Устойчивость гладких куполов считается обеспеченной при условии, что интенсивность полной расчетной нагрузки: