Наближеного обчислення числа „е”

(3.2.4) 

Теорема доведена. 

Тепер розкладемо в ланцюговий дріб число [2]. 

Теорема.3.2.2 

(3.2.5) 

(послідовність неповних часток така: 2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1,...) , тобто елементи розкладання в ланцюговий дріб мають вигляд: 

Доведення. Позначимо  підходящі дроби до правої частини (3.2.4) через , а підходящі дроби до (3.2.3) через . Доведемо , що 

Беручи до уваги  значення елементів ланцюгового  дробу (3.2.4) , маємо: 

Звідки знаходимо: 

Аналогічне співвідношення маємо й для , так що 

(3.2.6) 

Доведемо індукцією  по , що 

(3.2.7) 

З (3.2.3) і ( 3.2.4) безпосередньо обчислюємо , так що співвідношення (3.2.7) вірно для всіх з номерами, меншими ніж , де , тобто зокрема 

тоді , використовуючи рівності (3.2.6) , одержуємо: 

Згідно за принципом  повної математичної індукції равенство (3.2.6) вірно для всіх . 

Зовсім аналогічно доводиться, що 

Розглядаючи тепер  межу відносини величин і , знаходимо: 

тобто 

Оскільки ланцюговий дріб у правій частині (3.2.5) сходиться, ми будемо мати також, що взагалі, а  це доводить теорему. 

Теорема доведена. 

ВИСНОВКИ 
 

У даній роботі було викладено суть і історичне поява чисел і .Так само були уведені поняття ірраціональних і трансцендентних чисел. 

Число - відношення довжини окружності до її діаметра, - величина постійна й не залежить від  розмірів окружності. Число, що виражає  це відношення, прийнято позначати грецькою буквою (від «perijereia» - окружність, периферія). Це позначення стало вживаним після роботи Леонарда Ойлера, що ставиться до 1736, однак уперше воно було вжито Вільямом Джонсом (16751749) в 1706. Як і всяке ірраціональне число, воно представляється нескінченним неперіодичним десятковим дробом: = 3,141592653589793238462643… Потреби практичних розрахунків, що ставляться до окружностей і круглих тіл, змусили вже в далекій давнині шукати для наближень за допомогою раціональних чисел. 

У даній роботі ми довели ірраціональність і трансцендентність  чисел і . Так само ми показали як можна розкласти числа й за допомогою ряду й за допомогою  ланцюгового дробу. 

Нескінченні ланцюгові  дроби можуть бути використані для  рішення алгебраїчних і трансцендентних рівнянь, для швидкого обчислення значень окремих функцій. 

Математиками  виведена формула, яка пов'язує числа  е и р, т. н. «інтеграл Пуассона»  або «інтеграл Гаусса» 
 

доводячи світове  значення чисел е и р, на основі яких описуються процеси у багатьох науках та природних явищах. 

У сучасності ланцюгові  дроби знаходять все більше застосування в обчислювальній техніці, тому що дозволяють будувати ефективні алгоритми для  рішення ряду задач на ЕОМ. 

Так, дуже швидко працюють обчислювальні алгоритми, засновані на формулах Рамануджана 
 

і братів Чудновських 
 

В 1997 році Дейвід Х. Бейлі, Пітер Боруейн і Саймон Плуфф відкрили спосіб швидкого обчислення довільної двійкової цифри числа  р без обчислення попередніх цифр, заснований на формулі