Системы обработки данных. Задачи

Задача  №1. Ассортимент продукции

     Компания  производит две марки телевизоров  — Astro и Cosmo. Работают два конвейера, каждый из которых выпускает телевизоры одной марки, и два цеха, занятых  производством деталей для телевизоров  обеих марок. Производственная мощность конвейера, выпускающего Astro, составляет 50 телевизоров в день, а конвейера Cosmo — 70 телевизоров в день. Цех №1 производит телевизионные трубки. На производство трубки для телевизора Astro требуется 1 час рабочего времени, а на производство трубки для Cosmo — 2 часа. На данном этапе в цеху №1 производству трубок для телевизоров обеих марок может быть уделено не более 120 часов рабочего времени в день. В цеху №2 изготавливаются корпуса телевизоров, причем на производство одного корпуса для Astro требуется 1 час рабочего времени, для Cosmo требуется 1 час рабочего времени. Цех №2 может посвятить изготовлению корпусов не более 90 часов рабочего времени в день. Удельная валовая прибыль от реализации Astro и Cosmo составляет 2000 и 1000 руб. соответственно. Эти данные представлены в табл. 1.

Таблица 1. Данные о производстве телевизоров

     При условии, что компания может продать все произведенные телевизоры, каким должен быть дневной план производства (т.е. сколько телевизоров каждой марки следует производить ежедневно)? Постройте символическую модель ЛП, разработайте на ее основе табличную модель и оптимизируйте полученную модель с помощью средства Поиск решения. 

Решение

Математическая (символьная) постановка задачи.

С -количество телевизоров Astro

M -количество  телевизоров Cosmo

Максимизировать 2000С+1000М  (целевая функция)

при ограничениях:

С < 50 (Ограничение производственной мощности конвейера Astro);

М < 70 (Ограничение производственной мощности конвейера Cosmo);

1C+2M <  120 (Ограничение ресурса рабочего времени цеха №1 производства трубок);

1C+1M <  90 (Ограничение ресурса рабочего времени цеха №2 производства корпусов);

С  >   0  и  M    >    0 (Условие неотрицательности).

Табличная модель

 

Отчет о результатах  решения задачи №1.

Результаты  оптимизации для  задачи №1.

    Чтобы добиться безубыточности при наличии  уже заключенных соглашений при минимизации суммарных переменных затрат  необходимо продать 2806 яхт Sting, 300 яхт Ray и 400 яхт Breaker. Нулевые значения резерва ограничения  производства яхт Breaker и Ray показывают, что существуют два лимитирующих ограничения,  которые препятствуют компании дальше минимизировать сумму переменных затрат.

Задача  №2. Анализ безубыточности при наличии ограничений

     Компания производит три вида высококлассных гоночных яхт — Sting, Ray и Breaker. Соответствующие данные о затратах и доходах на ближайший плановый период представлены в табл. 2.

     Таблица 2. Данные о затратах и доходах компании.

     Перед компанией стоит следующая задача. Во-первых, на следующий плановый период руководство компании уже заключило контракт на производство 700 яхт Sting. Во-вторых, еще один клиент заказал 400 яхт Breaker, и руководство заинтересовано в выполнении данного заказа. В-третьих, анализ рынка, проведенный отделом маркетинга компании, свидетельствует, что следует произвести не более 300 яхт Ray. Руководство компании хочет выяснить, сколько каких яхт необходимо продать, чтобы добиться безубыточности. Таким образом, необходимо учесть наличие трех моделей яхт, а также заключенных соглашений.

      Точка безубыточности характеризуется тем, что суммарный доход равняется суммарным затратам. Поскольку компания сознана относительно недавно и испытывает определенные сложности с платежами (что связано с быстрым ростом компании), руководство заинтересовано в том, чтобы минимизировать расходы. Поскольку фиксированные затраты придется нести в любом случае, целью можно считать минимизацию суммарных переменных затрат. Таким образом, поставлена задача найти производственный план с наименьшими переменными затратами, соответствующий ограничениям и приносящий доход, равный суммарным затратам. Создайте символическую модель ЛП, на ее основе разработайте табличную версию модели и оптимизируйте ее с помощью средства Поиск решения.

      Решение.

Математическая (символьная) постановка задачи.

N -количество  яхт Sting

L -количество  яхт Ray

M -количество  яхт Breaker

Условия безубыточности:

10000N+7500L+15000M > 5000N+3600L+8000M+5000000+3000000+10000000

Или  5000N+3900L+7000M  > 18000000 

Минимизировать  5000N+3600L+8000M (Целевая функция)

при ограничениях:

N  >  700 (Ограничение контракта на производство яхт Sting);

M  >  400 (Ограничение контракта на производство яхт Breaker);

L  <  300 (Ограничение маркетологов на производство яхт Ray);

5000N+3900L+7000M  > 18000000 (Приведенное условие безубыточности);

N  >   0,   L  >  0,    M    >    0 (Условие неотрицательности) 

Табличная модель задачи №2.

Отчет о результатах  решения задачи №2.

Результаты  оптимизации для  задачи №2.

    Чтобы добиться безубыточности при наличии  уже заключенных соглашений при  минимизации суммарных переменных затрат  необходимо продать 2806 яхт Sting, 300 яхт Ray и 400 яхт Breaker.

    Нулевые значения резерва ограничения  производства яхт Breaker и Ray показывают, что существуют два лимитирующих ограничения,  которые  препятствуют компании в дальнейшем минимизировать сумму переменных затрат.