Элементы векторной, линейной алгебры и аналитической геометрии

Самостоятельная работа №1

 

Элементы  векторной, линейной алгебры

и аналитической геометрии

 

 

n 1 – 10. Даны координаты вершин пирамиды А₁, А₂, А₃, А₄. Найти:

1. угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃ ;
2. площадь грани А₁А₂А₃ ;
3. объем пирамиды ;
4. уравнения прямой А₁А₂ ;
5. уравнение плоскости А₁А₂А₃ ;
6. уравнения высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃ .

Сделать чертеж.

1.  А₁ (4; 2; 5), А₂ (0; 7; 2), А₃ (0; 2; 7), А₄ (1; 5; 0) .

2.  А₁ (4; 4; 10), А₂ (4; 10; 2), А₃ (2; 8; 4), А₄ (9; 6; 4) .

3.  А₁ (4; 6; 5), А₂ (6; 9; 4), А₃ (2; 10; 10), А₄ (7; 5; 9) .

4.  А₁ (3; 5; 4), А₂ (8; 7; 4), А₃ (5; 10; 4), А₄ (4; 7; 8) .

5.  А₁ (10; 6; 6), А₂ (-2; 8; 2), А₃ (6; 8; 9), А₄ (7; 10; 3) .

6.  А₁ (1; 8; 2), А₂ (5; 2; 6), А₃ (5; 7; 4), А₄ (4; 10; 9) .

7. А₁ (6; 6; 5), А₂ (4; 9; 5), А₃ (4; 6; 11), А₄ (6; 9; 3) .
8. А₁ (7; 2; 2), А₂ (5; 7; 7), А₃ (5; 3; 1), А₄ (2; 3; 7) .
9. А₁ (8; 6; 4), А₂ (10; 5; 5), А₃ (5; 6; 8), А₄ (8; 10; 7) .
10. А₁ (7; 7; 3), А₂ (6; 5; 8), А₃ (3; 5; 8), А₄ (8; 4; 1) .

 

n 11. Прямые 2х+у-1 = 0 и 4х-у-11=0 являются сторонами треугольника, а точка Р(1; 2) – точкой пересечения третьей стороны с высотой, опущенной на нее. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

 

n 12. Прямая 5х-3у+4 = 0 является одной из сторон треугольника, а прямые 4х-3у+2 = 0 и 7х+2у-13 = 0 его высотами. Составить уравнения двух других сторон треугольника. Сделать чертеж.

 

n 13. Точки А (3; -1) и В (4; 0) являются вершинами треугольника, а точка D (2; 1) - точкой пересечения его медиан. Составить уравнение высоты, опущенной из третьей стороны. Сделать чертеж.

 

n 14. Прямые 3х-4у+17 = 0 и 4х-у-12 = 0 являются сторонами параллелограмм, а точка Р (2; 7) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмм. Сделать чертеж.

 

n 15. Прямые х-2у+10 = 0 и 7х+у-5 = 0 являются сторонами треугольника, а точка D (1; 3) – точкой пересечения его медиан. Составить уравнение третьей стороны. Сделать чертеж.

n 16. Прямые 5х-3у+14 = 0 и 5х-3у-20 = 0 являются сторонами ромба, а прямая х-4у-4 = 0 – его диагональю. Составить уравнения двух других сторон ромба. Сделать чертеж.

 

n 17. На прямой 4х+3у-6=0 найти точку, равноудаленную от точек А (1; 2) и В (-1; -4). Сделать чертеж.

 

n 18. Найти координаты точки, симметричной точке А (5; 2) относительно прямой х+3у-1=0. Сделать чертеж.

 

n 19. Прямые х-3у+3=0 и 3х+5у+9=0 являются сторонами параллелограмм, а точка Р (34 –1) – точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения двух других сторон параллелограмм. Сделать чертеж.

 

n 20. Точки А (4; 5) и С (2; -1) являются двумя противоположными вершинами ромба, а прямая х-у+1=0 – одной из его сторон. Составить уравнения остальных сторон ромба. Сделать чертеж.

 

n 21-30. Линия задана уравнением r = r (j) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от j = 0 до j=2p и придавая j значения через промежуток ; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

 

 

 

n 31 – 40. Даны векторы в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить по формулам Крамера.

 

n 41 – 50. Дана матрица А. Найти матрицу А^-1 обратную данной. Сделать проверку, вычислив произведение А ^. А^-1 .

 

 

 

n 51 – 60. Применяя метод исключения неизвестных (метод Гаусса), решить систему линейных уравнений.