Статистическое изучение производительности труда

      Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число организаций, входящих в каждую группу (частоты групп). При этом возникает вопрос, в какую группу включать единицы совокупности, у которых значения признака выступают одновременно и верхней, и нижней границами смежных интервалов. Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять по принципу полуоткрытого интервала[ ). Т.к. при этом верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, то соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую. В последний интервал включаются и нижняя, и верхняя границы.

      Процесс группировки единиц совокупности по признаку Уровень производительности труда представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 4.

     Таблица 4

Разработочная таблица для построения интервального  ряда распределения и аналитической  группировки

     На  основе групповых итоговых строк  «Всего» табл. 4 формируется итоговая табл. 5, представляющая интервальный ряд распределения организаций по уровню производительности труда.

     Таблица 5

Распределение организаций по уровню производительности труда.

     Помимо  частот групп в абсолютном выражении  в анализе интервальных рядов  используются ещё три характеристики ряда, приведенные в графах 4 - 6 табл. 6. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

      Таблица 6

Структура организаций по уровню производительности труда

 

     Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности организаций показывает, что распределение организаций по уровню производительности труда не является равномерным: преобладают организации с производительностью труда от 216 тыс. руб./чел. до 264тыс. руб./чел. (это 12 организаций, доля которых составляет 40%); 23,34% организаций имеют производительность труда менее 216 тыс. руб./чел., а 63,34% – менее 264 тыс. руб./чел.

1.2. Нахождение моды  и медианы полученного  интервального ряда  распределения графическим  методом и  путем  расчетов

     Мода  и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

     Мода  Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Гистограмма распределения организаций  по уровню производительности труда 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1 Определение  моды графическим методом

     Конкретное  значение моды для интервального  ряда рассчитывается по формуле:

                                     (3)

где   х_Мo– нижняя граница модального интервала,

    h–величина модального интервала,

    f_Mo – частота модального интервала,

    f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

    f_Mo+1– частота интервала, следующего за модальным. 

     Согласно  табл.6 модальным интервалом построенного ряда является интервал 216 – 264 тыс. руб./чел., так как его частота максимальна (f₃ = 12).

     Расчет  моды по формуле (3):

     Вывод. Для рассматриваемой совокупности организаций наиболее распространенный уровень производительности труда характеризуется средней величиной 244 тыс. руб./чел.

     Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

     Медиану можно определить графическим методом  по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 6, графа 5).

     Кумулята  распределения организаций  по уровню производительности труда 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 2. Определение медианы графическим  методом

     Конкретное  значение медианы для интервального  ряда рассчитывается по формуле:

,      (4)

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

      h – величина медианного интервала,

       – сумма всех частот,

      f_Ме – частота медианного интервала, 

      S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

     Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 6 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

     В демонстрационном примере медианным  интервалом является интервал    216 – 264 тыс. руб./чел., так как именно в этом интервале накопленная  частота S_j= 19 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

     Расчет  значения медианы по формуле (4):

^{тыс.руб./чел} 

     Вывод. В рассматриваемой совокупности организаций половина организаций имеют в среднем уровень производительности труда не более 248 тыс. руб./чел., а другая половина – не менее 248 тыс. руб./чел. 
 
 
 
 
 

     3. Расчет характеристик  ряда распределения

     Для расчета характеристик ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 6 строится вспомогательная табл. 7 ( – середина j-го интервала). 
 

 Таблица 7

     Расчетная таблица для нахождения характеристик  ряда распределения