Использование средних величин в анализе социально экономических явлений

  – показатель степени средней;

  – текущее значение (вариант) осредняемого признака;

   – i-тый элемент совокупности;

  – число наблюдений (число единиц совокупности).

 

Формула средней определяется значением  степени применяемой средней. С  увеличением показателя степени  k возрастает соответственно средняя величина (таблица 2.1):

 

Таблица 2.1 - Формы степенных средних  величин

 

Степень средней величины (k)	Название средней
-1	гармоническая
0	геометрическая
1	арифметическая
2	квадратическая
3	кубическая
1	хронологическая

 

Примечание  – Источник: собственная разработка на основе данных [13].

 

Если рассчитать все виды средних для одних  и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует  правило мажорантности: с увеличением показателя степени т увеличивается и соответствующая средняя величина:

 

X_гарм ≤ X_геом ≤ X_арифм ≤ X_квадр ≤ X_куб.                                             (2.2)

 

Существует порядок расчета  средней величины:

1. Определение исходного соотношения  для исследуемого показателя.

2. Определение недостающих данных  для расчета исходного соотношения.

3. Расчет средней величины.

В связи с тем, что существует несколько видов средних ,возникает  проблема выбора формы средней. Если форма выбрана неправильно, то средняя  будет завышена либо занижена, т.к. каждая средняя имеет свой особый смысл  и область применения [7, с.54].

Рассматривая  вопрос о выборе формы средней, которая  наилучшим образам отвечает требованиям, К. Джини пишет: «Для выбора такой  средней можно наметить лишь общие  нормы, решающую же роль здесь играет интуиция и искусство исследователя»[4, с.417]. Как, однако, ни важны эти качества исследователя, как и общие соображения об особенностях различных средних и их назначении, решающим в выборе формы средней является социально-экономическое содержание явления, сущность которого должна найти свое количественное выражение в средней. Поэтому для правильного решения вопроса о выборе формы средней необходимо прежде всего учесть сущность объекта, законы его развития, его специфику, определить задачу, которая должна решаться при помощи средней, и исходя из всего этого установить определяющий показатель, который должен найти отражение в средней. Так же, не мало важно, определить  характер связи между определяющим свойством и осредняемым признаком. Если, например, связь прямо пропорциональна, то для расчета средней надо воспользоваться формулой средней арифметической, а при обратной пропорциональности — формулой средней гармонической. В случаях, когда связь выражается в форме геометрической прогрессии, средняя должна исчисляться по формуле средней геометрической и т. п. В тех случаях, когда для решения той или иной задачи важно знать размер признака, который чаще всего встречается в совокупности, надо пользоваться модой, а для того, чтобы установить границу между высшей и низшей группами величин, а также для решения некоторых оптимальных задач, — медианой. Так как различные виды средней по-разному характеризуют совокупность, то для детального ее изучения надо сочетать различные виды средних величин [19, с.76].

Различают следующие  виды средних: степенные и структурные.

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объём признака в совокупности сохраняется неизменным (это среднее слагаемое). Средняя арифметическая – это устойчивая, базовая, одноплоскостная, однозначная, единичная средняя, имеющая полную область применения. При её вычислении общий объём признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака (х) и количество единиц совокупности с определённым значением признака (f) [4, с.73].

Средняя арифметическая бывает простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая. Эта форма средней применяется, если исходные данные осредняемого признака представлены в несгруппированном виде, чтобы определить среднюю арифметическую простую, нужно сумму всех значений данного признака разделить на число единиц, обладающих этим признаком.

Произведённые вычисления могут быть обобщены в  следующую формулу:

 

 

                                  

 

 

, 

                                      (2.1.1)

 

 где - среднее значение варьирующего признака, т.е средняя    арифметическая простая;

       – значение осредняемого признака (варианта);

       - число единиц изучаемой совокупности.

 

Средняя арифметическая взвешенная. При расчёте средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В подобных случаях расчёт средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными [2, с.92-93].

Средняя арифметическая взвешенная есть частное от деления  суммы произведений вариантов и  соответствующих им частот на сумму  всех частот.

Формула средней  арифметической взвешенной:

 

                  = _, (2.1.2)

 

где – средняя арифметическая взвешенная;

     - значение осредняемого признака;

    – частота (веса) для каждого из вариантов признака, показывающие их повторяемость.

 

Частоты ряда распределения можно заменить их удельными весами:

 

 

 

В таком случае формула расчёта средней примет вид:

 

   (2.1.3)

 

Если  выражены в процентах, тогда формула примет вид:

 

        (2.1.4)

 

Статистический  материал в результате обработки  может быть  представлен не  только  в виде дискретных рядов  распределения,  но и в виде интервальных вариационных рядов с закрытыми  или открытыми интервалами.

Если исходные данные заданы в виде интервального  ряда, то:

1. закрывают открытые интервалы, приняв их равными ближайшим закрытым;
2. за значения осредняемого признака х берут середины интервалов и строят условный дискретный ряд распределения:

 

               , (2.1.5)

где - значение нижней границы интервала («от»);

      - значение верхней границы интервала («до»).

 

3. расчёт средней производится по средней арифметической взвешенной.

В рядах распределения  с равными интервалами значение средней вычисляется по преобразованной  формуле средней («способ моментов»). Вычислим среднюю арифметическую из значений:

                        
           - первый условный момент ( )                                                (2.1.6)

                             

где ;

       – кратный делитель, равный величине интервала для рядов распределения с нечётным числом интервалов и = i/2 – для рядов распределения с чётным числом (i– величина равного интервала).

 

Первый условный момент вычисляется по формуле:

 

                 ,                                                                    (2.1.7)

 

а среднее  значение признака:

 

                                                                                  (2.1.8)

 

Упрощённый  расчёт условных моментов различных  порядков важен для вычисления многих статистических характеристик [16, с.465].

Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими  свойствами, более полно раскрывающими  её сущность и в ряде случаев используемыми  при её расчётах [20, с.42].

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

 

                                                                                                    (2.1.9)

 

 

2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

 

                                                                                       (2.1.10)                                    

 

3. От уменьшения или увеличения частот каждого значения  признака х в n раз величина средней арифметической не изменится.
4. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число,  то величина  средней не изменится.
5. Общий множитель индивидуальных значений  признака  может  быть вынесен за знак средней:

 

                           _(2.1.11)

6. Средняя  суммы  (разности)  двух  или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

 

                            _(2.1.12)

 

7. Если х = с, где с – постоянная величина, то .

Следующей разновидностью степенных средних является средняя  гармоническая. Определяющим свойством средней гармонической величины состоит в том, чтобы при осреднении оставалась неизменной сумма величин, обратных осредняемым.

Средняя гармоническая  применяется в тех случаях, когда  частоты (веса) не приводятся непосредственно, а входят сомножителями в один их имеющихся показателей [5, с.261].

Средняя гармоническая  – это величина, обратная средней  арифметической.

Средняя гармоническая  может быть простая и взвешенная.

Формула средней гармонической взвешенной величины применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как произведение . Обозначим , откуда , тогда формула выглядит так:

                                       , (2.1.13)

она используется, как правило, при  расчете общей средней из средних  групповых.

 

Средняя гармоническая простая величина применяется в тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, т.е. :

 

                               ,                                  (2.1.14) 

где – значение осредняемого признака;

        – число значений .

 

На практике средняя гармоническая применяется  редко, в тех случаях, когда значения весов для всех единиц совокупности равны.

Средняя гармоническая более сложная по конструкции, чем средняя арифметическая. Средняя гармоническая рассчитывается тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = xf) [18, с.72]. К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

В ряде случаев в экономической  практике возникает потребность  расчета среднего размера признака, выраженного в квадратных или  кубических единицах измерения. Тогда  применяется средняя квадратическая (например, для вычисления средней величины стороны и квадратных участков, средних диаметров труб, стволов и т.п.) и средняя кубическая (например, при определении средней длины стороны и кубов).

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму  квадратов исходных величин, то средняя  будет являться квадратической средней величиной, простой или взвешенной [6, с.271].

Простая используется, если каждое значение признака х встречается  один раз, в общем имеет вид:

 

                                    ,    (2.1.15)

 

где -квадрат значений осредняемого признака;

      - число единиц совокупности.

 

Средняя квадратическая взвешенная применяется, если каждое значение осредняемого признака встречается раз:

                                  ,   (2.1.16)

 

где – вес варианты .

Средняя кубическая простая является кубическим корнем из частного от деления суммы кубов отдельных значений признака на их число:

 

                                 ,       (2.1.17)

 

где - значения признака;

      - их число.

 

Средняя кубическая взвешенная:

 

                         , (2.1.18)

 

где -вес варианты .

 

Средние квадратическая и кубическая имеют  ограниченное применение в практике статистики. Широко пользуется статистика средней квадратической, но не из самих  вариантов x, и из их отклонений от средней при расчете показателей вариации.

Средняя может быть вычислена не для всех, а для какой-либо части  единиц совокупности. Примером такой  средней может быть средняя прогрессивная  как одна из частных средних, вычисляемая  не для всех, а только для "лучших" (например, для показателей выше или ниже средних индивидуальных).