Алгоритмы генерации случайных величин с различными распределениями

Шаг 3 – это добавленная предварительная  оценка, в случае прохождения которой  можно избежать вычисления логарифма  на шаге 4 обычного метода принятия-отклонения.

 

 

 

 

2.4. Распределение Вейбулла (Weibull(α,β))

 

Плотность
Функция распределения
Параметры	Параметр формы  , масштабный параметр
Область	[0,∞)

Рис. 2.4 Плотности Weibull(α,1):

 

Функцию плотности распределения  Вейбулла легко обратить, чтобы найти

что ведет к получению следующего алгоритма обратного преобразования:

1. Генерируем U-U(0,1)
2. Возвращаем

 

Снова используем тот факт, что 1-U и U имеют одно и то же распределение U(0,1). Этот алгоритм можно также обосновать, отметив, что если Y имеет экспоненциальное распределение со средним , то

 

 

 

 

 

 

 

2.5. Нормальное распределение (N(

))

Плотность
Функция распределения
Параметры	Параметр положения  , масштабный параметр
Область	(-∞,∞)

 

Рис.2.5 Плотность N(0,1)

 

Прежде всего, стоит обратить внимание, что при можно получить

 , задав , поэтому можно ограничиться генерированием стандартных нормально распределенных случайных  величин. В этой ситуации очень большое значение имеет эффективность алгоритма, поскольку плотность нормального распределения часто применяется для определения оцениваемой сверху функцией в методе принятия-отклонения при генерировании гамма- и бета- распределений.

Рассмотрим три подхода к  построению нормально распределенных случайных величин.

1. Пусть задана функция распределения 

   и 

тогда , где - равномерно распределена на отрезке [0,1], будет распределена как N(0,1).

 

2.  Пусть две случайные величины независимы и равномерно распределены на [0,1] , тогда и   будут независимыми гауссовскими случайными величинами с параметрами , =0 и , =1.

 

3. Данный метод основан на центральной предельной теореме. Пусть задана последовательность независимых, равномерно распределенных случайных величин . Тогда случайная величина при будет сходиться к , где . Так как , а , то , которая в свою очередь будет распределена как N(0,1).

 

 

 

 

 

 

Плотность
Функция распределения
Параметры	Параметр положения  , масштабный параметр
Область	[0,∞)

2.6. Логнормальное распределение (LN( ))

Рис.2.6 Плотность

 

Специальное свойство логнормального распределения – если , то - используется чтобы получить следующий алгоритм

1. Генерируем
2. Возвращаем 

Параметры не являются средним и дисперсией распределения LN( ). В действительности,  если мы и мы определяем , то получается, что . Следовательно, если мы намерены генерировать логнормально распределенную случайную величину X с заданным средним и дисперсий , необходимо сначала определить  в исчислении . Перед тем как генерировать промежуточную нормально распределенную случайную величину Y. Получаем следующие формулы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Плотность
Функция распределения
Параметры	Параметры формы
Область	[0,1]

2.7. Бета-распределение beta( )

 

Рис.2.7 Плотность beta (

)  а-г – при разных значениях

 

 

Мы можем получить beta( ) в интервале [a,b] для a<b, установив X’=a+(b-a)X, где X’ – beta( ) в интервале [0,1]. Так что достаточно рассмотреть последний случай.

Общий метод генерирования случайных  величин с распределением beta( ) для любых значений основывается на том факте, что если и являются независимыми величинами, то - beta( ). Таким образом, получаем следующий алгоритм:

1. Независимо генерируем и
2. Возвращаем

Этот метод достаточно удобен, поскольку он, по сути, выполняется для всех значений α>0 при условии, что есть генераторы случайных чисел с распределением Г( ). Эффективность его выполнения зависит от скорости работы выбранных генераторов случайных величин с гамма-распределением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.8. Распределение Пирсона типа V (PT5(α,β))

Плотность
Функция распределения
Параметры	Параметры формы
Область	[0,∞)

 

Рис.2.8 Плотность PT5(α,1)

, когда 1/X – gamma( ). Таким образом, мы получаем следующий алгоритм, основанный на специальном свойстве этого распределения.

1. Генерируем Y - gamma( ).
2. Возвращаем X=1/Y

 

 

 

 

 

2.9. Распределение Пирсона VI  (PT6(

))

Плотность
Функция распределения
Параметры	Параметры формы  , масштабный параметр β>0
Область	[0,∞)

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.9а Плотность PT6(

)

a -

; б -

Рис. 2.9б Плотность PT6(

)

в -

; г -

, если , и , являются независимыми. Таким образом получаем следующий алгоритм:

1. Независимо генерируем  ,
2. Возвращаем 

 

 

 

 

 

2.10. Лог-логистическое распределение (LL(α,1))

Плотность
Функция распределения
Параметры	Параметр формы α>0, масштабный параметр β>0
Область	[0,∞)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.10 Плотность LL(α,1)

 

Функцию лог-логистического распределения легко обратить, чтобы получить

и в результате вывести алгоритм, используемый для обратного преобразования:

1. U – U(0,1);

2.

 

2.11. Связанное распределение Джонсона (JSB(

, ,a,b))

Плотность
Функция распределения
Параметры	Параметр  , масштабный параметр b-a (b>a) , параметр формы и
Область	[a,b]

 

 

Рис. 2.11 Плотность JSB(

, ,1) a,б – при разных значениях ,

 

Случайная величина X – JSB( , ,a,b),тогда и только тогда, когда               . Решим это уравнение для X в исчислении Z, чтобы получить следующий алгоритм, основанный на специальном свойстве.

1. Генерируем Z – N(0,1)
2. Пусть
3. Возвращаем 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.12 Несвязанное распределение Джонсона (JSU(

)

Плотность
Функция распределения
Параметры	Параметр положения  , масштабный параметр , параметр формы и
Область	( )

 

Рис.2.12 Плотность JSU(

)

a – при

, б – при

 

Случайная величина , тогда и только тогда, когда

Решим это уравнение для X в исчислении Z, чтобы получить следующий алгоритм, основанный на специальном свойстве распределения.

1. Генерируем  Z – N(0,1)
2. Допускаем, что
3. Возвращаем

 

 

 

2.13. Треугольное распределение (triang(a,b,c))

Плотность
Функция распределения
Параметры	Вещественные числа a,b,c для которых a<c<b; a – параметр положения, b-a – масштабный параметр, c  - параметр формы
Область	[a,b]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.13 Плотноcть triang(a,b,c)

 

Если X – triag[0,1,(c-a)/(b-a)], X’=a+(b-a)X . Поэтому можно ограничиться рассмотрением случайных величин с распределением triag(0,1,c), где 0<c<1. Функцию треугольного распрделения легко обратить, чтобы получить для

 

 

 

Сформулируем следующий алгоритм обратного преобразования для генерирования    X – triag(0,1,c):

1. Генерируем U – U(0,1)
2. Если , возвращаем . В противном случае возвращаем

 

14. Прочие распределения

 

1. Распределение Эрланга m-го порядка.

   Случайная величина X c распределением Эрланга m-го порядка и средним значением β может быть определена как сумма m независимых и одинаково экспоненциально распределенных случайных величин с общим средним β/m. Значит, чтобы генерировать случайную величину X, можно генерировать  как независимые и одинаково распределенные случайные величины со средним β/m, а затем возвратить 

 

Рис.2.14 Плотность Erlang(1)

2. Распределение .

Если Y – N(0,1), то будет иметь распределение «хи-квадрат» с одной степенью свободы.

      Если  являются независимыми и одинаково распределенными величинами с распределением , то

Рис.2.15 Плотность  Hi?(4)

3. Распределение Стьюдента

Если Y – N(0,1), , а Y и Z являются независимыми, то считается, что имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы.

Рис. 2.16 Плотность

  k=1.

 

 

3. Генерирование дискретных случайных величин

 

1. Распределение Бернулли (Bernulli(p))

Вероятностная мера
Распределение
Параметры
Область

Рис.3.1 Вероятностная мера Bernulli(p)

 

1. Генерируем U – U(0,1)
2. Если , возвращаем X=1. В противном случае возвращаем X=0.

 

2. Дискретное равномерное распределение (DU(i,j))

 

 

Вероятностная мера
Распределение
Параметры	i,j – целые числа, для которых , i – параметр положения, j-i – масштабный параметр
Область	{i,i+1…j}

 

Рис. 3.2 Плотность DU(i,j)

1. Генерируем U – U(0,1)
2. Возвращаем

 

 

3. Биномиальное распределение (Bin(t,p))