Введение в теорию массового обслуживания. Пуассоновский поток событий. Обслуживание с ожиданием

Автор: Пользователь скрыл имя, 13 Апреля 2012 в 19:54, реферат

Описание работы

Цель реферата: рассмотреть вопрос о введении в теорию массового обслуживания, пуассоновский поток событий и обслуживание с ожиданием.

Задачи:
Охарактеризовать общие сведения о системах массового обслуживания;
Рассмотреть основные свойства потоков событий;
Простейший поток
Выявить особенности весенних обрядов.

Работа содержит 1 файл

Основы народной культурыWord.docx

— 90.43 Кб (Скачать)

Рассмотрим, например, поток  грузовых поездов, идущих по железнодорожной  ветке. Если по условиям безопасности они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени , то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается. Однако, если интервал мал по сравнению со средним интервалом между поездами, то такое нарушение несущественно.

3. Ординарность. Поток событий  называется ординарным, если вероятность  попадания на элементарный участок  двух или более событий пренебрежимо  мала по сравнению с вероятностью  попадания одного события.

Ординарность означает, что  события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток клиентов, направляющихся в  парикмахерскую, практически можно  считать ординарным, чего нельзя сказать  о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака, и т. д.

Если в неординарном потоке события происходят только парами, только тройками и т. д., то можно  его рассматривать как ординарный «поток пар», «поток троек» и т. д. Несколько  сложнее обстоит дело, если число  событий, образующих «пакет» (группу одновременно приходящих событий), случайно. Тогда  приходится наряду с потоком пакетов  рассматривать случайную величину X — число событий в пакете, и математическая модель потока становится более сложной.

 

 

 

  1. Простейший поток

Рассмотрим поток событий, обладающий всеми тремя свойствами: стационарный, без последействия, ординарный. Такой поток называется простейшим (или стационарным   пуассоновским)  потоком. Название «простейший» связано с тем, что математическое описание событий, связанных с простейшими потоками, оказывается наиболее простым.

Отметим, что «самый простой», на первый взгляд, регулярный поток  со строго постоянными интервалами  между событиями отнюдь не является «простейшим» в вышеназванном смысле слова: он обладает ярко выраженным последействием, так как моменты появления  событий связаны между собой  жесткой функциональной зависимостью. Именно из-за этого последействия  анализ процессов, связанных с регулярными  потоками, оказывается, как правило, труднее, а не легче по сравнению  с простейшими.

Простейший поток играет среди других потоков особую роль — можно доказать, что при суперпозиции (взаимном наложении) достаточно большого числа потоков, обладающих последействием, образуется суммарный поток, который  можно считать простейшим, и тем  точнее, чем большее число потоков  суммируется. Дополнительно требуется, чтобы складываемые потоки были сравнимы по интенсивности, т. е., чтобы среди  них не было, скажем, одного, превосходящего по интенсивности сумму всех остальных.

Если поток событий  не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, он называется нестационарным пуассоновским потоком. В таком потоке интенсивность (среднее число событий в единицу времени) зависит от времени:

 

тогда как для простейшего  потока

 

Пуассоновский   поток   событий  (как стационарный, так и нестационарный) тесно связан с известным распределением Пуассона — число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона.

Поясним, что это означает. Рассмотрим на оси t, где наблюдается поток событий, некоторый участок времени длины начинающийся в момент и заканчивающийся в момент Вероятность попадания на этот участок ровно т событий и выражается формулой:

(1)

где а — среднее число  событий, приходящееся на участок ; е — основание натуральных логарифмов.

Для стационарного (простейшего)  пуассоновского   потока  величина а равна интенсивности потока, умноженной на длину интервала:

 

т. е. не зависит от того, где  на оси t находится период Для нестационарного  пуассоновского   потока  величина а зависит от того, в какой точке начинается участок t.

Рассмотрим на оси t простейший поток событий с интенсивностью . Нас будет интересовать случайный интервал времени Т между соседними событиями в этом потоке; найдем его закон распределения. Сначала найдем функцию распределения:

т. е. вероятность того, что  величина Т будет иметь значение, меньшее, чем t. Отложим от начала интервала Т (точки ) отрезок t и найдем вероятность того, что интервал Т будет меньше t. Для этого нужно, чтобы на участок длины t, примыкающий к точке попало хотя бы одно событие потока. Вычислим вероятность этого F(t) через вероятность противоположного события (на участок t не попадет ни одного события потока):

Вероятность найдем по формуле (1), полагая m = 0:

откуда функция распределения  величины Т будет:

(2)

Чтобы найти плотность  распределения случайной величины Т, необходимо продифференцировать выражение (2) по t:

(3)

Закон распределения с  плотностью (3) называется показательным (или экспоненциальным). Величинаназывается параметром показательного закона.

Показательный закон распределения  играет большую роль в теории марковских случайных процессов.

Найдем числовые характеристики случайной величины Т — математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию .

Имеем (интегрируя по частям):

(4)

Дисперсия величины T составляет:

. (5)

Извлекая корень квадратный из дисперсии, найдем среднее квадратическое отклонение случайной величины Т.

(6)

Итак, для показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны друг другу и обратны параметру , где — интенсивность потока.

Приведем выражение для  так называемого «элемента вероятности  появления события» или вероятности  наступления на элементарном участке события потока.

Найдем вероятность того, что на участке  появится какое-то событие потока, т. е. участок не будет «пуст». Так как поток ординарен, вероятностью появления на участке более чем одного события можно пренебречь. Обозначим вероятность того, что на участке не будет события, а — вероятность того, что на нем появится одно событие.

В силу ординарности потока

а вероятность  определяется по (1):

откуда

Разлагая  в ряд и пренебрегая величинами высшего порядка малости, получаем:

(7)

Эта вероятность и называется «элементом вероятности появления  события».

Очевидно, такая же формула  будет справедлива и для нестационарного   пуассоновского   потока  с той разницей, что величину нужно брать равной ее значению в той точке t, к которой примыкает участок

 

 

 

 

 

 

 

  1. Весенние обряды

Системы массового обслуживания с ожиданием распространены наиболее широко. Их можно разбить на 2 большие группы - разомкнутые и замкнутые. Эти системы определяют так же, как системы с ограниченным входящим потоком.

К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится в будущем потенциальным источником требований на подналадку.

В подобных системах общее число  циркулирующих требований конечно  и чаще всего постоянно.

Если питающий источник обладает бесконечным  числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами подобных систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным.

Мы рассмотрим здесь чистую систему с ожиданием . В такой системе заявки вообще не уходят из очереди, и поэтому : каждая заявка рано или поздно дождется обслуживания. Зато в чистой системе с ожиданием не всегда имеется предельный стационарный режим при . Можно доказать, что такой режим существует только при , т. е. когда среднее число заявок, приходящееся на время обслуживания одной заявки, не выходит за пределы возможностей -канальной системы. Если же , число заявок, стоящих в очереди, будет с течением времени неограниченно возрастать.

Предположим, что  , и найдем предельные вероятности    для чистой системы с ожиданием. Для этого положим в формулах

,             ,                  . Получим:

,

или, суммируя прогрессию (что возможно только при ),

.                   (4.1)

Отсюда, пользуясь формулами 

                         и         
  
,           

найдем 

,     (4.2)

и аналогично для   

.                (4.3)

Среднее число заявок, находящихся  в очереди, определяется из формулы (4.1) при :

.                   (4.4)

Пример 1. На вход трехканальной системы  с неограниченным временем ожидания поступает простейший поток заявок с плотностью  (заявки в час). Среднее время обслуживания одной заявки  мин. Определить, существует ли установившийся режим обслуживания; если да, то найти вероятности , вероятность наличия очереди и среднюю длину очереди .

Решение. Имеем  ;  . Так как , установившийся режим существует. По формуле (4.2) находим

.

Вероятность наличия очереди:

.

Средняя длина очереди по формуле (4.4) будет

 (заявки).

 

 

 


Информация о работе Введение в теорию массового обслуживания. Пуассоновский поток событий. Обслуживание с ожиданием