Статистическое оценивание случайных величин

Министерство образования  и науки Украины

Херсонский Национальный Технический Университет

Кафедра метрологии и информационно-измерительных  технологий

«Основы метрологии и измерительной  техники»

 

 

 

 

 

Лабораторная работа №1

«Статистическое оценивание случайных величин»

 

 

 

 

 

Выполнила:                                                                            студентка гр. 2МВТ

                                                                                                        Витвицкая Ю.И.

Проверил:                                                                                          Боярчук А.В.

 

 

 

 

Херсон

2012

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

                 Статистическое оценивание случайных величин

    Цель работы: получить навыки в оценивании случайных величин в испытаниях, точности оценивания и определения доверительной границы погрешности результата.

1. Краткие теоретические сведения.

Основная статистическая задача – нахождение оценки параметров функции, распределения случайной величины на основании выборки – ряда значений, принимаемых этой величиной в независимых опытах.

      В качестве  оценки истинного значения измеряемой  величины принимают среднеарифметическое  полученных результатов наблюдений:

      X = _{i  .}                                                                                    (1)

      Точечную оценку дисперсии S_x случайной величины определяют как

  

    S_x = _i-)² ,                                                                  (2)

     а в качестве  точечной оценки дисперсии среднеарифметического принимается выражение:

   

      S_x=                                                         (3)

    Для определения доверительной границы случайного отключения величины X задаются доверительной вероятностью P и по формуле:

    

     Ф(t_p)=                                                                                        (4)

   Определяют соответствующее значение Ф(t_p) интегральной функции нормированного нормального распределения. Затем по данным таблицы этой функции при P=0,95 находят значение коэффициента t_p и вычисляют доверительную границу погрешности:

       δ= t_p S_x                                                                                               (5)

    При P=0,95 для определения t_p можно воспользоваться эмпирической формулой

                                                    t_p ≈ .

  Итог измерений записывают в виде Q= X± δ_p при P=0,95.

  При обработке результатов наблюдений важна проверка нормальности распределения случайной величины.

  При большом числе результатов наблюдений >40 данная задача решается в следующем порядке.

  Весь диапазон полученных результатов наблюдений x_max –x_min разделяют на r интервалов шириной Δx_i и подсчитывают частоты m_i, равные числу результатов, лежащих в каждом i-м интервале, т.е. меньших или равных его правой и больших левой границы.

  Отношение

   P_i = ,                                                                                                  (6)

где – общее число наблюдений, называются частостями и представляют собой статистические оценки вероятностей попадания результата наблюдений в i-й интервал.

  Распределение частостей по интервалам образует статистические распределения результатов наблюдений.

  Если разделить частость на длину интервала получим величины:

    P_i = ,                                                                                              (7)

являющиеся оценками средней  плотности распределения в интервале.

   Если отложить вдоль оси результатов наблюдений интервалы _i в порядке возрастания индекса i и на каждом интервале построить прямоугольник с высотой равной P_i , получим график, называемый гистограммой статистического распределения.

   При построении гистограмм рекомендуется пользоваться следующими правилами:

1. Число r интервалов выбирается в зависимости от числа наблюдений согласно следующим данным:

                                             n=40-100, r=7-9;

                                          n=100-500, r=8-12.

2. Интервалы удобнее выбирать одинаковой  длинны.
3. Масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы отношение ее высоты к основанию составляло примерно 5-8.

   После построения гистограммы надо подобрать теоретическую плавную кривую распределения, которая выражает все существенные черты статистического распределения, сглаживала бы все случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных. Если статистическое распределение, определяемое гистограммой, описать кривой нормального распределения, то необходимо, чтобы математическое ожидание и дисперсия последнего совпадали со среднеарифметическим и оценкой дисперсии, вычислением по опытным данным.

  Кривая нормального распределения описывается уравнением

                                   y=

где х – текущее значение параметра;

          а- математическое ожидание случайной величины (в нашем случае а = Х);

         - среднее квадратическое  отклонение случайной величины (=_x)

                                2. Порядок выполнения работы

   1. С помощью цифрового прибора измерить сопротивление пятидесяти резисторов с одним и тем же номинальным значением.                                             

   2. По формулам (1.1) – (1.3) определить оценки математического ожидания и дисперсий результатов наблюдений и измерений.

   Полученные результаты занести в табл. 1.

                                                                                                                                Таблица 1                                 

i	Ri	Vi=Ri-R	Vi	Sx	Sx
	4,758	0,113	0,012769	0,002412	0,00697
	4,612	-0,033	0,001089
	4,690	0,045	0,002025
	4,723	0,078	0,006084
	4,619	-0,026	0,000676
	4,608	-0,037	0,001369
	4,656	0,011	0,000121
	4,703	0,058	0,003364
	4,622	-0,023	0,000529
	4,635	-0,01	0,0001
	4,694	0,049	0,002401
	4,582	-0,063	0,003969
	4,632	-0,013	0,000169
	4,611	-0,034	0,001156
	4,648	0,003	0,000009
	4,706	0,061	0,003721
	4,670	0,025	0,000625
	4,604	-0,041	0,001681
	4,634	-0,011	0,000121
	4,718	0,073	0,005329
	4,615	-0,03	0,0009
	4,637	-0,08	0,0064
	4,607	-0,038	0,001444
	4,664	0,019	0,000361
	4,696	0,051	0,002601
	4,697	0,052	0,002704
	4,616	-0,029	0,000841
	4,624	-0,021	0,000141
	4,642	-0,03	0,0009
	4,575	-0,07	0,0049
	4,610	-0,035	0,00122
	4,672	0,027	0,00072
	4,747	0,102	0,0104
	4,618	-0,027	0,00072
	4,594	-0,051	0,0026
	4,704	0,059	0,00348
	4,675	0,03	0,0009
	4,663	0,018	0,00032
	4,699	0,054	0,002916
	4,635	-0,01	0,0001
	4,604	-0,041	0,001681
	4,635	-0,01	0,0001
	4,610	-0,035	0,00122
	4,724	0,079	0,00624
	4,622	-0,023	0,00052
	4,558	-0,087	0,00736
	4,587	-0,058	0,00336
	4,614	-0,031	0,00096
	4,632	-0,013	0,000169
50.	4,580	-0,065	0,004225

 

   3. Для доверительной вероятности P=0,95, пользуясь таблицей интегральной функцией нормированного нормального распределения, найти параметр t_p, определить доверительную границу погрешности результатов наблюдений δ= t_p S_R и представить в виде R=R- t_p S_R .

   4. Определить систематическую ошибку как θ=R-R_H, где R_H - номинальное значение резистора.

   5. Построить гистограмму  статистического распределения,  предварительно заполнив табл. 1.2.

                                                                                                                     Таблица 1.2

i	Ri	mi	Pi	Pi
1.	4,558-4,583	12,30,46,50	0,08	3,2
2.	4,584-4,609	6,18,23,35,41,47	0,12	4,8
3.	4,610-4,635	2,5,9,10,13,14,19,21,27,28,   31,34,40,42,43,45,48,49	0,36	14,4
4.	4,636-4,661	7,15,22,29	0,08	3,2
5.	4,662-4,687	17,24,32,37,38	0,1	4
6.	4,688-4,713	3,8,11,16,25,26,39	0,16	6,4
7.	4,714-4,739	4,20,44	0,06	2,4
8.	4,740-4,758	1,33	0,04	1,6

 

    6. Записать аналитическое  выражение для теоретической  кривой распределений и построить  ее график.

 

                                     3. Вопросы для контроля

     1. Что применяется  в качестве точечных оценок  истинного значения измеряемой  величины и среднеквадратического  отклонения?

     2. Как определяют  дисперсию случайной величины?

     3. Как построить гистограмму  статистического распределения?

     4. Как подбирают параметры  теоретической кривой распределения?

     5. Как определяют  доверительную границу погрешности?

     6. Записать уравнение  кривой нормального распределения  пояснить все составляющие, входящие  в это уравнение.