Расчёт параметров элементов САУ

Задача 1

 

Для элементарного звена системы  управления, представленного заданной схемой линейной цепи:

1. Составить дифференциальное уравнение  относительно выходной переменной.

2. Определить передаточную функцию  и динамические характеристики.

3. Вычислить амплитуду и фазу выходной переменной от воздействия входного напряжения для частот , 2 , 3 , 4 , 5 при заданном значении , а также для случая =0 (начальная точка для всех динамических характеристик).

4. При входном напряжении  вычислить значения выходной переменной в моменты времени 0; ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 , и продолжительность переходного процесса .

Примечание: При решении задачи считать, что цепь не нагружена, т.е. выходные (вторичные) зажимы цепи разомкнуты.

 

 

Параметры элементов  цепи и входного напряжения имеют  значения:

4000 Ом; 100 мкФ; 12 В; 2,5 рад/с

 

РЕШЕНИЕ

 

1. Для заданной схемы выходной переменной является напряжение на конденсаторе, т.е. . Для составления дифференциального уравнения относительно этой выходной переменной, запишем уравнение по второму закону Кирхгофа при обходе входного контура RC по часовой стрелке:

Т.к. цепь не нагружена (выходные зажимы цепи разомкнуты), то , что позволяет выразить в исходном уравнении через производную от напряжения на конденсаторе и получить линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно выходной переменной:

Полученное уравнение записываем в виде:

где, постоянная времени 4000 ∙ 100∙10 ^-6 = 0,4 с.

 

2. Для определения передаточной функции звена необходимо перевести дифференциальное уравнение звена в операторную форму записи, используя прямое преобразование Лапласа при нулевом начальном условии и при входном воздействии , получаем:

 или 

При нулевых начальных условиях передаточная функция по определению есть отношение изображения выходной переменной к изображению входного воздействия:

Таким образом, для уравнения получаем передаточную функцию:

Если в выражении передаточной функции сделать замену , то получаем комплексную частотную характеристику (КЧХ) звена:

 

Запишем комплексную частотную характеристику в показательной форме::

Для чего вычислим:

 − модуль КХЧ, называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и определяемый по формуле:

 − аргумент КЧХ, называемый фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) и определяемый по формуле:

 

Для отыскания переходной характеристики используем операторный метод, т.к. известна передаточная функция звена, а изображение входного сигнала, равное 1В, согласно столбцу 1 таблицы 3.3.1, имеет вид:

Тогда изображение выходной переменной , равное в этом случае изображению переходной характеристики , определяется как произведение передаточной функции на изображение входного сигнала:

 или

Таким образом, в результате получим:

Переходную характеристику находим по столбцу 3таблицы 3.3.1 как оригинал, соответствующий полученному изображению:

а выходная переменная звена  изменяется по закону:

12 ∙ (1 – ℮ ^{- t / 0,4})

 

3. Вычисляем амплитуду и фазу выходной переменной от воздействия входного напряжения на частотах , 2 , 3 , 4 , 5 при 2,5рад/c, а также для случая 0 (начальная точка всех частотных характеристик).

Этот расчет представляет интерес  потому, что АЧХ и ФЧХ определяют амплитуду и фазу выходной переменной установившегося режима в функции  частоты входных колебаний.

Определим влияние входной частоты на величину амплитуды установившихся колебаний по отношению к амплитуде входного воздействия. Для упрощения вычислений формулу для АЧХ представим в виде:

и предварительно найдем при  0:

0,4 ∙ 2,5 = 1

Вычисляем значения амплитуд при частотах 0, , 2 , 3 , 4 , 5 , подставляя в нее поочередно соответствующие квадраты произведений , Результаты вычислений сводим в таблицу 1:

 

Таблица 1
	0		2	3	4	5
	0	2,5	5	7,5	10	12,5
	0	1	4	9	16	25
	1	0,707	0,447	0,316	0,243	0,196

 

Также определим изменение фазы установившейся выходной переменной в зависимости от изменения частоты колебаний сигнала на входе.

При этом учтем, что начальная  фаза заданных входных колебаний  равна нулю, а по определению . Значит, начальная фаза установившихся колебаний на выходе звена равна , и по значению можно судить о сдвиге установившихся колебаний выходной переменной относительно входных колебаний.

Для того, чтобы выразить зависимость угла от частоты в числовом виде, подставим в формулу ФЧХ поочередно значения 0, , 2 , 3 , 4 , 5 . Результаты вычислений (округленные до целого числа) сводим в таблицу 2:

 

Таблица 2
	0		2	3	4	5
	0	2,5	5	7,5	10	12,5
	0	1	2	3	4	5
	0°	-45°	-63°	-72°	-76°	-79°

 

Результаты расчетов по АЧХ и  ФЧХ позволяют сделать  выводы:

1) При частоте  амплитуда установившихся колебаний на выходе данного звена в раз меньше амплитуды входных колебаний.

2) Для входных колебаний одинаковой  амплитуды, но разных частот  амплитуда установившихся колебаний на выходе тем меньше, чем выше частота входного воздействия (т.е. с увеличением частоты колебаний на входе амплитуда колебаний на выходе уменьшается).

3) Между установившимися колебаниями  на выходе звена и входными  колебаниями угол сдвига фаз  отрицательный, а это означает, что выходные колебания отстают  по фазе от входных; при этом  с увеличением частоты сдвиг по фазе увеличивается и стремится к -90° при .

 

4. Для расчета значений выходной переменной от воздействия входного напряжения 12 ∙ , В в заданные моменты времени, удобно использовать формулу:

12 ∙ 

т.к. показатель степени  для моментов времени ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 принимает соответственно значения: -1; -2; -3; -4; -5.

Результаты вычислений сводим в таблицу 3, в последней строке которой приводим для большей наглядности отношение текущего значения выходной переменной к ее установившемуся значению (в процентах).

 

Таблица 3
	0		2	3	4	5
	0	0,4	0,8	1,1	1,6	2
	0	-1	-2	-3	-4	-5
	0	7,585	10,376	11,403	11,780	11,919
, %	0	63,2	86,5	95,0	98,2	99,3

 

Из таблицы 3 следует, что через интервал времени (4÷5) , равный (0,6 ÷ 2) с, выходная переменная практически достигает установившегося значения за счет того, что переходная составляющая практически спадает до нуля.

 

Вывод: Для звена с одним накопителем энергии продолжительность переходного процесса  , т.е. звено, выведенное входным сигналом из состояния равновесия, возвращается в устойчивое (установившееся) состояние через интервал времени, зависящий от величины постоянной времени , которая – в свою очередь – зависит от параметров и схемы соединения элементов звена.

 

 

Задача 2

 

С помощью критерия Рауса-Гурвица  определить устойчивость системы управления, дифференциальное уравнение которой имеет вид:

 

Коэффициенты дифференциального уравнения имеют значения:

0,034, 0,38, 1,32, 19.

 

РЕШЕНИЕ

 

Для определения устойчивости системы составляем определитель Гурвица  из коэффициентов заданного уравнения для случая 3:

 

	0,38	19	0
	0,034	1,32	0
	0	0,38	19

 

Главные миноры определителя Гурвица:

 

0,38 > 0

 

	0,38	19	= 0,38 ∙ 1,32 – 0,034 ∙ 19 = -0,1444 < 0
	0,034	1,32

 

 

Определитель Гурвица:

 

19 ∙ (-0,1444) = -2,7436

 

Необходимое и достаточное  условие критерия Рауса-Гурвица не выполнено. Значит, не все корни уравнения лежат в левой полуплоскости, и система неустойчива.

 

 

Задача 3

 

Определить с помощью  критерия Михайлова устойчивость системы  управления, характеристическое уравнение которой задано в виде

Значения постоянных времени и коэффициента усиления системы:

0,24 с;  0,14 с; 20

 

РЕШЕНИЕ

 

В заданном уравнении

производим замену

преобразуем:

 или 

и выделяем вещественную и мнимую части уравнения:

где: вещественная часть уравнения ;

мнимая часть уравнения ;

При заданных числовых значениях имеем.

20 – 0,38 ; − 0,0336

Определяем координаты характеристического вектора для  частот, при которых вектор совпадает с вещественной или мнимой осями, для этого приравниваем действительную и мнимую части нулю и находим корни получившихся уравнений.

Для мнимой части:

 − 0,0336 = (1 − 0,0336 ) = 0

получаем корни уравнения  и значения действительной и мнимой части соответственно:

1) 0; 20; 0 т.е. вектор лежит на положительной вещественной полуоси;

2) 5,455 с^-1; 8,690; 0 т.е. вектор совпадает с положительной вещественной полуосью;

Для действительной части:

20 – 0,38 = 0

3) 7,255 с^-1; 0; -5,575 т.е. вектор совпадает с отрицательной мнимой полуосью;

При дальнейшем увеличении частоты (до бесконечности) знаки действительной и мнимой части (при )

20 – 0,38 → − ∞ ; − 0,0336 → − ∞

остаются отрицательным, т.е. вектор так и останется расположенным в третьем квадранте.