Автор: Пользователь скрыл имя, 01 Декабря 2011 в 19:07, лекция
I. События и их вероятности.
I.1. Пространство элементарных событий.
(Пространство исходов случайного эксперимента)
Опр.: Возможные исходы случайного эксперимента - w. Совокупность всех исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных событий и обознача-ется
2: (две девочки)
.
Таким
образом, немного реже, чем в четырех
случаях из 10 в таких семьях будет
не более трети девочек и, значит,
не менее двух третей мальчиков.
Замечание: В связи с тем, что вероятности , вычисленные по формуле Бернулли, по форме представляют собой члены разложения бинома , распределение вероятностей такого вида называют биноминальным распределением.
Для практики иногда требуется знать, какое число наступлений события, является наивероятнейшее, то есть при каком числе m вероятность наибольшее (при этом p и n предполагаются заданными).
Вычислим вначале величину отношения
Вероятность будет больше, равна или меньше вероятности , смотря по тому, будет ли отношение больше, равно или меньше единицы, а это сводится к вопросу о том, какое из соотношений , , окажется верным.
Если мы хотим узнать, при каких m выполняется , то для этого надо узнать, при каких значениях m имеет место неравенство или . Откуда получаем: .
Аналогично, исходя из соотношений и , находим
, если
, если
.
Таким образом, с ростом номера вероятность вначале возрастает, пока число m не перешагнет через грань . После этого вероятность будет убывать до .
Обозначим теперь наивероятнейшее значение числа m через . Тогда
.
Следовательно,
.
С другой стороны , для чего должно быть
.
или
,
Следовательно .
Таким образом, наивероятнейшее значение числа наступления события должно удовлетворять неравенству:
.
Промежуток от до имеет величину 1:
.
Если какой-либо из концов этого промежутка не целое число, то между его концами лежит обязательно одно и только одно целое число и определяется однозначно.
В
исключительных случаях оба конца
– целые числа. Тогда мы получаем
2 значения для
, отличающиеся на единицу. Вероятности
этих значений равны между собой, и потому,
оба они считаются наивероятнейшими.
Пример 1. В результате многолетних наблюдений для Крыма было выяснено, что вероятность того, что 8 марта будет солнце (не будет дождь) равна 4/17. Найти наивероятнейшее число солнечных дней 8 марта на ближайшие 50 лет.
Здесь . Тогда
- целое число.
Наивероятнейшее значение числа солнечных дней будут равновероятные между собой числа 11 и 12.