Законы Кеплера и негэнтропийность вселенной

сомнения,—  прости мне, господи,— великое рабство, но оно в настоящее время

необходимо. Избави я себя хоть на короткое время от этого — мне пришлось бы

идти в рабство  еще более унизительное. Лучше  издавать альманахи с

предсказаниями, чем просить милостыню. Астрология — дочь астрономии, хоть и

незаконная, и  разве не естественно, чтобы дочь кормила свою мать, которая

иначе могла  бы умереть с голоду». Воздействие  небесных светил на обитателей

Земли Кеплер пытался  объяснить в связи с появлением кометы 1607 г. следующим

образом: «Если  действительно верно, что согласно порядку природы появление

кометы вызывает, а значит и предвещает такие явления, как ветер, наводнения,

засуху, землетрясения  или чуму, то это должно происходить  следующим образом:

когда на небе появляется какой-нибудь исключительный феномен, то жизненные

силы всех естественных вещей должны испытывать это. Эта  симпатия,

связывающая все  с небом, простирается в особенности  на силу, скрытую в Земле

и господствующую над ее внутренним состоянием. Вследствие этого из Земли

выделяются  влажные испарения, влекущие за собой  дожди, наводнения, а под

конец и чуму». Однако ограниченный характер астрологических  пред­сказаний не

раз подчеркивался  Кеплером: «Тот астролог, который предсказывает  некоторые

вещи по небу, не учитывая характера, души, разума, силы и телосложения того,

кому он должен предсказать, поступает неправильно»,—писал он.

В то же время  вера Кеплера в астрологию подтверждается многими фактами, и

среди них следующим: в январе 1598 г. у него родился сын Генрих, а у Местлина

— сын Август. Составляя им гороскопы, Кеплер пришел к выводу, что обоих ждет

скорая смерть. Не искажая этот страшный прогноз, он сообщает его Местлину.

Дети и в  самом деле вскоре умерли, но не в  предсказанное время.

Летом 1595 г. Кеплер, как ему показалось, подошел к  большому открытию: он

решил, что им обнаружены важнейшие закономерности в строении мира,

установлена первопричина взаимного расположения планет Солнечной  системы.

Еще в студенческие годы, познакомившись через Местлина с учением Коперника,

Кеплер стал убежденным его приверженцем. При  этом, однако, новое

астрономическое учение укладывалось у него в рамки  религиозного сознания,

откуда и  черпались им источники новых  построений. Стремясь глубоко

проникнуть  в тайны строения Вселенной, он хочет достичь этого по­знанием

божественных  планов творения мира. Будучи уверенным  в существовании мудрого

промысла божьего, он думает, что при сотворении мира бог должен был исходить

из простых  числовых свойств и соотношений, использовать совершенные

геометрические  формы. Этот пифагорейско-платоновский подход к изучению

вопросов мироздания лег в основу его первого большого астрономического

исследования, интенсивную работу над которым  он развернул примерно через год

после приезда в Грац.­

В числе первых вопросов, возникших перед Кеплером, был следующий: почему

существует  только шесть планет, а не двадцать, или, скажем, сто? Этот вопрос

предстояло  решить вместе с объяснением относительной  величины рас­стояний

между траекториями движения планет. Попыткой ответить на вопросы такого рода

начались многолетние  исследования, которые в конце  концов привели к

открытию законов  движения планет. Сначала он предположил, что между

параметрами планетных  орбит должны быть простые соотношения, выра­жающиеся

целыми числами. «Я затратил много времени на эту  задачу, на эту игру с

числами, но не смог найти никакого порядка ни в  численных соотношениях, ни в

отклонениях от них» — пишет он в предисловии  к «Космографической тайне».

Затем он попытался  решить эту задачу, предположив существование

дополнительных, еще не открытых по причине малых  размеров, планет: одну из

них он поместил между Меркурием и Венерой, а  другую — между Марсом и

Юпитером, рассчитывая, что теперь удастся обнаружить желанные соотношения, но

и этот прием  не привел его к ожидаемым результатам.

    

 

Рис. 1

 

 

«Я потратил почти все лето на эту тяжелую  работу, и в конце концов совершенно

случайно подошел  к истине». 9 июля 1595 г. — Кеплер скрупулезно  зафиксировал

эту дату, —  решая с учениками какую-то геометрическую задачу, он начертил на

классной доске  равносторонний треугольник со вписанной  в него и описанной

около него окружностями (см. Рис.1). Внезапно его озарила мысль, которая

явилась, по его  мнению, ключом к разгадке тайны  Вселенной. Прикинув отношение

между радиусами  окружностей, он заметил, что оно  близко к отношению радиусов

круговых орбит  Сатурна и Юпитера, как они  были вычислены Коперником (здесь

отношение R : r = 2 : 1, а отношение RС : RЮ = 8.2 :

5.2, по Копернику). В дальнейшем ход рассуждений был таким: Сатурн и Юпитер —

«первые» планеты (считая по направлению к Солнцу) и «треугольник — первая

фигура в  геометрии. Немедленно я попытался  вписать в следующий интервал между

Юпитером и  Марсом квадрат, между Марсом и Землей — пятиугольник, между Землей

и Венерой —  шестиугольник...». Во времена Кеплера  было известно только шесть

планет Солнечной  системы, наблюдаемых невооруженным  взглядом: Меркурий, Венера,

Земля, Марс, Юпитер и Сатурн. Планета Уран была открыта  В. Гершелем много позже

— в 1781 г., Нептун открыт астрономом Галле и математиком  Леверье в 1846 г.,

Плутон был  обнаружен только в 1930 г.

Но дело не ладилось, хотя, казалось, цель была совсем близкой. «И вот я снова

устремился  вперед. Зачем рассматривать фигуры двух измерений для пригонки

орбит в пространстве? Следует рассмотреть формы трех измерений, и вот,

дорогой читатель, теперь мое открытие в Ваших руках!». Можно построить любое

число правильных многоугольников на плоскости, но можно  построить лишь

ограниченное  число правильных многогранников в пространстве трех измерений.

Такими правильными  многогранниками, все грани которых  являются правильными и

равными между  собой многоугольниками и все  двугранные углы которых равны

между собой, являются: тетраэдр (4 треугольные грани), куб (6 граней-

квадратов), октаэдр (8 треугольных граней), додекаэдр (12 пятиугольных

граней) и икосаэдр (20 треугольных граней).

Важным свойством  правильных многогранников является существование  для

каждого из них  вписанного и описанного шаров (сфер) таких, что поверхность

вписанного  шара касается центра каждой грани  правильного многогранника, а

поверхность описанного шара проходит через все его вершины. Центры этих шаров

совпадают между  собой и с центром соответствующего многогранника. Еще

древним грекам было известно, что число видов правильных многогранников

ограничивается  пятью. Но ведь и промежутков между  планетами, подумал Кеплер,

тоже пять. Как  трудно было допустить, что это простая  случайность (к тому же

умозаключение опиралось на неверное представление о числе планет) и как

заманчиво было видеть в этом совпадении мудрость творца. Ответ на вопрос,

почему планет шесть, не меньше и не больше, казалось найден. Одновременно

назревает и  решение вопроса об относительных  расстояниях между орбитами

планет: в сферу, на которой расположена орбита Сатурна, вписан куб, в него

вписана следующая  сфера — с орбитой Юпитера, далее последовательно вписаны

тетраэдр, сфера  Марса, додекаэдр, сфера Земли, икосаэдр, сфера Венеры,

октаэдр, сфера  Меркурия, в центре всей системы у коперниканца Кеплера,

разумеется, Солнце, и — тайна Вселенной раскрыта, раскрыта молодым учителем

протестантской  школы в Граце и математиком  провинции Штирии.

    

Рис. 2 Правильные многогранники (из книги Кеплера  «Космографическая тайна»)

 

Математический  аппарат, применяемый в этом случае, достаточно элементарен,

дело сводится к вычислениям зависимостей между  радиусами сфер, описанных

вокруг соответственных  правильных многогранников и вписанных  в них. Пусть,

например, радиус орбиты Земли, а значит и соответствующей сферы, равен 1.

Эта сфера описана  вокруг икосаэдра, в который вписана  сфера Венеры. Решая

геометрическую  задачу на определение радиуса сферы, вписанной в икосаэдр, и

сравнивая полученную величину с радиусом описанной вокруг ико­саэдра сферы

Кеплер получил  соотношение 0,762 : 1

     Главный поиск. «Новая астрономия»

Над «Новой астрономией» Кеплер работал с небольшими перерывами с 1600 по

1606 г. Значение  этой книги состоит прежде  всего в том, что в ней  дан вывод

двух из трех знаменитых законов движения планет, названных его именем. В

современной формулировке эти законы обычно звучат так:

I.   Все  планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых  (общем для

всех планет) находится Солнце.

II. Площади, описываемые  радиусами-векторами планет, пропорциональны времени.

Третий закон  был опубликован Кеплером позже, в 1619 г., в книге «Harmonices

Mundi» («Гармония  мира»). Кеплерово сочинение и  по форме и по содержанию

значительно отличается от многих научных трактатов того времени. Если

Коперник, Галилей  и Ньютон знакомят нас только с  конечными результатами своих

научных достижений, то Кеплер совершенно сознательно описывает  ход своей

работы во всех деталях, включая все неудачи  и успехи, ошибки и гениальные

догадки, ловушки  и их обходы. Почему он так поступает, он объясняет в

предисловии: «Для меня важно не просто сообщить читателю, что я должен

сказать, но прежде всего ознакомить его с доводами, оговорками, счастливо

преодоленными опасностями, которые привели меня к моим открытиям. Когда

Христофор Колумб, Магеллан и португальцы, из которых  первый открыл Америку,

второй Китайский  океан, а последние — морской  путь вокруг Америки,

повествуют, как  они сбивались с пути и блуждали в своих путешествиях, мы не

только прощаем  им это, но, более того, мы не желаем пропуска этих рассказов,

так как тогда  при чтении было бы потеряно впечатление  о всем значительном в

их предприятиях. Пусть же поэтому и мне не поставят в вину, когда я, вызывая

у читателя интерес, пойду подобным путем в своем  изложении. Конечно, при

чтении, например похождений аргонавтов, мы сами не принимаем  участия в их

злоключениях, а трудности и тернии на моем мысленном  пути могут задеть и

самого читателя, но таков уж жребий всех математических сочинений».

Кеплер начал  свое исследование составлением на основании наблюдений Тихо

Браге полного  списка моментов, долгот и широт  для всех противостояний

планеты Марс с 1580 г. (Браге наблюдал противостояния Марса десять раз с 1580

по 1600 г., два  раза — в 1602 и 1604 гг. их наблюдал Кеплер). Еще Коперник,

следуя Птолемею, считал центр земной орбиты истинным центром орбит всех

планет. Браге  также определял противостояние планеты как положение,

противоположное этой точке, т. е. так называемому  «среднему Солнцу». Кеплер

уже в «Космографической  тайне» указывал, что Солнце само является

естественным  центром планетной системы, и  считал, что противостояние

следует брать  по отношению к реальному, а не к среднему Солнцу. Это было