Геометрия Евклида как первая естественнонаучная теория

Геометрия Евклида как первая естественнонаучная теория 

 В III веке  до нашей эры в Александрии  появилась книга Евклида с  тем же названием, в русском  переводе "Начала". От латинского  названия "Начал" произошёл  термин "элементарная геометрия". Несмотря на то, что сочинения предшественников Евклида до нас не дошли, мы можем составить некоторое мнение об этих сочинениях по "Началам" Евклида. В "Началах" имеются разделы, логически весьма мало связанные с другими разделами. Появление их объясняется только тем, что они внесены по традиции и копируют "Начала" предшественников Евклида. 

"Начала" Евклида  состоят из 13 книг. 1 - 6 книги посвящены  планиметрии, 7 - 10 книги - об арифметике  и несоизмеримых величинах, которые  можно построить с помощью  циркуля и линейки. Книги с 11 по 13 были посвящены стереометрии. 

"Начала" начинаются  с  изложения 23 определений   и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие  понятия", остальные   называются "постулатами". Первые  два постулата определяют действия  с помощью идеальной линейки,  третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, "все прямые углы равны между собой", является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: "Если прямая падает на две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при  неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых". 

Пять "общих  понятий" Евклида являются принципами измерения длин, углов, площадей, объёмов: "равные одному и тому же равны между собой", "если к равным прибавить равные, суммы равны между собой", "если от равных отнять равные, остатки равны между собой", "совмещающиеся друг с другом равны между собой", "целое больше части". 

Далее началась критика геометрии Евклида. Критиковали Евклида по трём причинам: за то, что он рассматривал только такие геометрические величины, которые можно построить с помощью циркуля и линейки; за то, что он разрывал геометрию и арифметику и доказывал для целых чисел то, что уже доказал для геометрических величин, и, наконец, за аксиомы Евклида. Наиболее сильно критиковали пятый постулат, самый сложный постулат Евклида. Многие считали его лишним, и что его можно и нужно вывести из других аксиом. Другие считали, что его следует заменить более простым и наглядным, равносильным ему: "Через точку вне прямой можно провести в их плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную прямую". 

Критика разрыва  между геометрией и арифметикой  привела к расширению понятия  числа до действительного числа. Споры о пятом постулате привели  к тому, что в начале XIX века Н.И.Лобачевский, Я.Бойяи и К.Ф.Гаусс построили  новую геометрию, в которой выполнялись  все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением: "В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную". Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида. 

Модель планиметрии  Лобачевского на евклидовой плоскости  была построена французским математиком  Анри Пуанкаре в 1882 году. 

На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую. Эта прямая называется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте или отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского. 

Все аксиомы  планиметрии Лобачевского непротиворечивы. "Неевклидова прямая - это полуокружность с концами на абсолюте или луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту". Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и точки A, не лежащей на этой прямой, но и для любой прямой a и любой не лежащей на ней точки A. 

За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии: от евклидовой отделилась проективная  геометрия, сложилась многомерная  евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида.