Контрольная работа по «Экономико-математическим методам и прикладным моделям»

Министерство  образования и науки РФ

Филиал

Государственного  образовательного учреждения

высшего профессионального образования-

Всероссийского  заочного финансово-экономического института

В г. Туле 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Экономико-математические методы и  прикладные модели»

на тему: «вариант 9»

                                                         
 
 
 

                                                         Выполнила: студентка 3 курса

                                                                           Факультета УС

                                                                                          специальности БУАиА

                                                                               группы вечерней

                                                                               Володичева З. А.

                                                                                    № л. д. 08убд12859 

                                                             Проверил: Луценко А.Г. 
 
 
 
 
 

 Тула 2010г.

 Содержание

  Задача 1.9……………………………………………………………………………..3

  Задача 2.9……………………………………………………………………………..6

  Задача 3.9………………………………………………………………………...….11

  Задача 4.9……………………………………………………………………...…….14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Задача 1.9.

  При производстве двух видов продукции  используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.                                                 

 

  Прибыль от реализации одной единицы продукции  первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед.

  Задача  состоит в формировании производственной программы выпуска продукции,  обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

  Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

  Решение

  Пусть необходимо изготовить единиц продукции первого вида и единиц продукции второго вида. Тогда прибыль, получаемая от реализации продукции, будет задаваться целевой функцией:

  

  Ограничения по использованию ресурсов имеют  вид:

  Ресурс 1 –  

  Ресурс 2 –  

  Ресурс 3 –  

  Ресурс 4 –    
 

  Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

                       

  Для получения решения графическим  методом строим прямые:

            

 

  

  Область допустимых решений: ОАВС

  Строим  прямую:

  И вектор (2;3)

  Максимум  ищем в точке области допустимых решений наиболее удаленной от прямой по направлению вектора . Он достигается либо в точке А, либо в точке В. Найдем их координаты:

  Теперь  найдем значение целевой функции  в каждой точке:

  

  

  Таким образом, максимум функции достигается  в точке В.

  Для того, чтобы получить максимум прибыли 14 ден.ед. необходимо произвести 4 ед. продукции первого вида и 3 ед. продукции второго вида.

  Если  решать задачу на минимум, то необходимо найти такое решение, при котором  предприятие получит наименьшую функцию. Минимум функции необходимо искать в точке области допустимых решений самой близкой к прямой по направлению вектора . Очевидно, что он достигается либо в точке О (0; 0). Тогда полученная прибыль будет равна 0.

Значит, для того, чтобы получить минимально возможную прибыль (в данном случае вообще не получить ее) необходимо не производить  продукцию. 
 
 
 
 
 

  Задача 2.9.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы  его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

  Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и   уменьшении на 150ед. запасов сырья II вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10ед., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.

 
 

  Решение

  1) Пусть необходимо изготовить  единиц изделия А, единиц изделия Б, единиц изделия В и единиц изделия Г. Прямая оптимизационная задача на максимум прибыли имеет вид:

  

    
 
 

  Оптимальный план выпуска продукции будем  искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные:

 

    
 
 
 
 
 

  Теперь  будем искать оптимальное решение  с помощью настройки «Поиск решения»:

    

  В результате будет получена следующая  таблица:

  

  Таким образом, чтобы получить максимум выручки  в размере 9000 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц изделии А и Б, 400 единиц изделий В и 550 единиц изделий Г. 
 

  2) Строим двойственную задачу в  виде:

   , где

      

     

  Запишем двойственную задачу:

  

  

  Найдем  решение двойственной задачи с помощью  теорем двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:

  

  Так как третье неравенство выполняется  как строгое, то

  Так как  и , то получаем систему уравнений:

  

  Решение системы: , ,

  

  3) В двойственной задаче  , так как III вид ресурсов является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции.

  4) а) Наиболее дефицитным является  I вид ресурсов, так как его двойственная оценка ( ) является наибольшей.

  б) При увеличении запасов сырья I вида на 100ед. и   уменьшении на 150ед. запасов сырья II вида увеличение выручки составит: