Балансовые модели "Модель Леонтьева"

Основным  разделом является баланс совокупного  общественного продукта. Он характеризует  производство общественного продукта в отраслевом и социально-экономическом (по формам собственности) разрезах, его  использование на производственное и непроизводственное потребление  и накопление. Кроме того, в балансе  содержится характеристика совокупного  продукта по двум подразделениям общественного  производства. В баланс совокупного  общественного продукта входят материальные балансы, а также межотраслевой  баланс.

Составной частью баланса народного хозяйства  является баланс производства, распределения, перераспределения и конечного  использования национального дохода. Он включает в себя балансы денежных доходов и расходов населения, балансы доходов и расходов предприятий, бюджет государства и областей.

Сводный баланс трудовых ресурсов как составная  часть баланса народного хозяйства  характеризует трудовые ресурсы  государства и их использование.

Баланс  основных фондов показывает движение основных фондов, их состав и структуру. Его составной частью является баланс производственных мощностей. Указанная система балансов не позволяет получить общей характеристики межотраслевых связей. Она не дает развернутой характеристики распределения конкретных видов продукции в стоимостном и натуральном выражении по отдельным отраслям. Поэтому важное значение приобретает построение межотраслевого баланса производства и распределения продукции, охватывающего движение совокупного общественного продукта с выделением отраслей. Синтезируя в единой таблице частные материальные балансы, межотраслевой баланс представляет собой систему показателей , дающих подробную характеристику воспроизводства совокупного общественного продукта по стоимости (производство продукции – столбцы таблицы) и по натурально-вещественному составу (распределение продукта – строки таблицы) как в целом по народному хозяйству, так и по отдельным отраслям. По экономическому содержанию и характеру информации выделяют две основные разновидности межотраслевых балансов: отчетные и плановые. В свою очередь, все межотраслевые балансы модно классифицировать в соответствии с единицами измерения продукции на стоимостные, натурально-продуктовые и трудовые. Межотраслевые балансы делятся также на статические и динамические. Статические отражают экономические связи, складывающиеся в пределах определенного периода времени (обычно года). Динамические описывают динамические связи, складывающиеся в народном хозяйстве и обусловленные характером и способом распределения совокупного продукта на фонды воспроизводства.

Наряду  с межотраслевыми разрабатываются  региональные балансы.

 

3. Модели Леонтьева.

3.1 Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Эффективное ведение народного хозяйства  предполагает наличие баланса между  отдельными отраслями. Каждая отрасль  при этом выступает двояко: с одной  стороны, как производитель некоторой  продукции, а с другой – как  потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями. Для наглядного выражения взаимной связи между  отраслями пользуются определенного  вида таблицами – так называемыми  таблицами межотраслевого баланса. Идея таких таблиц была сформулирована в работах советских экономистов, а первая таблица опубликована в  ЦСУ в 1926 г. Однако вполне развитая математическая модель межотраслевого баланса, допускающая широкие возможности анализа, появилась позже (1936 г.) в трудах экономиста В. Леонтьева. В данной работе я представлю её основное математическое содержание.

Итак, будем предполагать, что вся производящая сфера народного хозяйства разбита  на некоторое число n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт, причем разные отрасли производят разные продукты. Разумеется, такое  представление об отрасли является в значительной мере абстракцией, так  как в реальной экономике даже на отдельном предприятии производится значительное разнообразие выпускаемой  продукции. Однако представление об отрасли в указанном выше смысле (как «чистой» отрасли) все же полезно, так как оно позволяет провести анализ сложившейся технологической  структуры народного хозяйства, изучить функционирование народного  хозяйства «в первом приближении».

Итак, предполагаем, что имеется n различных  отраслей O₁, …, О_n, каждая из которых производит свой продукт. В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о некотором определенном промежутке времени [Т₀, Т₁](обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:

х_i – общий объем продукции отрасли i за данный промежуток времени – так называемый валовой выпуск отрасли i;

х_ij – объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства;

y_i – объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, - объем конечного потребления.

Этот  объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве  запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.

Указание  величины можно свести в табл. 1.1. Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при любом i = 1, …, n должно выполнять соотношение 

х_i = х_i1 + х_i2 + … + х_in + у_i, (1.1)

означающее, что валовой выпуск х_i расходуется на производственное потребление, равное х_i1 + х_i2 + …+ х_in, и непроизводственное, равное у_i. Будем называть (1.1) соотношениями баланса.

Таблица 1.1

Производственное  потребление	Конечное потребление	Валовой выпуск
х11 х12 … х1n х21 х22 … х 2n …………………… х n1 хn2 … хnn	у1 у2 … уn	х1 х2 … хn

 

Единицы измерения всех указанных величин  могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимостными; в зависимости от этого различают  натуральный и стоимостный межотраслевой  балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено  противное) стоимостный баланс.

В. Леонтьев рассматривая развитие американской экономики  в 30-е годы ХХ века, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно величины _ij = остаются постоянными в течение ряда лет. Это обусловливается примерным постоянством используемой технологии.

В соответствии со сказанным сделаем такое допущение: для выпуска любого объема х_j продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве а_ij х_j, где а_ij – постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, как говорится, линейность существующей технологии. Принцип линейности распространяют и на другие виды издержек (например, на оплату труда), а также на нормативную прибыль.

Итак, согласно гипотезе линейности имеем

х_ij = а_ijх_i (i, j = 1, …, n). (1.2)

Коэффициенты  а_ij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).

Подставляя  соотношения (1.2) в уравнение баланса (1.1), получаем систему n линейных уравнений  относительно переменных х₁, х₂,…, х_n:

х₁ = а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + … а_1n х_n + у₁,

х₂ = а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + … а_2n х_n + у₂,

…………………………………..

х_n = а_n1 х₁ + а_n2 х₂ + … а_nn х_n + у_n,

или, в матричной записи,

х = Ах + у, (1.3)

где а₁₁ а₁₂ … а_1n х ₁ у₁

А = а₂₁ а₂₂ … а_2n , х = х ₂ , у = у₂ .

……………. … …

а_n1 а_n2 … а_nn х_n у_n

Вектор  х называется вектором валового выпуска, вектор у – вектором конечного  потребления, а матрица А –  матрицей прямых затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и  у это соотношение называют также  моделью Леонтьева.

3.2. Продуктивные модели Леонтьева.

Определение. Матрица А ≥ 0 называется продуктивной, если для любого вектора у ≥ 0 существует решение х ≥ 0 уравнения

х = Ах + у (2.4)

В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной. Другими словами, модель продуктивна, если любое конечное потребление  у можно обеспечить при подходящем валовом выпуске х.

Уравнение Леонтьева (2.4) можно записать следующим  образом:

(Е  – А)х = у, (2.5)

где Е – единичная матрица. Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы  Е – А. Понятно, что если обратная матрица (Е – А)^-1 существует, то из (2.5) вытекает

х = (Е – А)^-1 у. (2.6)

Теорема 1 (первый критерий продуктивности).

Матрица А ≥ 0 продуктивна только тогда, когда  матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна.

Доказательство.

Если  матрица (Е – А)^-1 существует и неотрицательна, то из (2.6) сразу же следует продуктивность матрицы А.

Обратно, пусть матрица А продуктивна. Рассмотрим следующие системы уравнений:

(Е  – А)х = е₁, (Е – А)х = е₂, …, (Е – А)х = е_n ,

Где е₁, е₂, …, е_n – столбцы единичной матрицы. Каждая из этих систем в силу продуктивности матрицы А имеет неотрицательное решение, т.е. существуют такие векторы (столбцы) с₁ ≥ 0, с₂ ≥ 0, …, с_n ≥ 0, что

(Е  – А)с₁ = е₁, (Е – А)с₂ = е₂, …, (Е – А)с_n = е_n (2.7)

Обозначим через С матрицу, составленную из столбцов с₁ с ₂, …, с _n. Тогда вместо n равенств (2.7) можно написать одно:

(Е  – А)С = Е.

Следовательно, матрица Е-А имеет обратную С, причем С ≥ 0.

Теорема доказана.

Теорема 2 (второй критерий продуктивности).

Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна  тогда и только тогда, когда её число Фробениуса меньше единицы.

Доказательство.

Пусть неотрицательная матрица А продуктивна. Тогда для любого неотрицательного вектора у существует решение  х ≥ 0 уравнения (2.4) Пусть у > 0, тогда, очевидно, х > 0. Умножив равенство (2.4) слева на левый вектор Фробениуса р^Т_А и учитывая, что

р^Т_АА = λ_Ар^Т_А, (2.8)

получим

λ _А (р^Т_А х) + р^Т_А у = р^Т_А х,

или

(1 –  λ_А)(р^Т_А х) = р^Т_А у.

Так как р^Т_А ≥ 0 и у ≥ 0, х ≥ 0, то р^Т_Ау > 0, р^Т_Ах > 0. Поэтому из последнего равенства вытекает, что λ_А < 1.

Обратно, пусть неотрицательная матрица  А имеет число Фробениуса λ_А < 1. Покажем, что она продуктивна. Возьмем неотрицательный вектор у и покажем, что у системы (2.4) существует решение х ≥ 0.

Рассмотрим  следующую неотрицательную матрицу  размера (n + 1)(n+ 1):

а₁₁ а₁₂ … а_1n у₁

а₂₁ а₂₂ … а_2n у₂

А = …………….

а_n1 а_n2 … а_nn у_n

0 0 …  0 1

Где а_ij – элементы матрицы А и у₁, …, у_n – координаты вектора у. В более компактной форме матрицу можно записать так:

А = А у

0 1

Умножая эту матрицу слева на вектор р^Т = (0, …, 0,1), легко убедиться, что

р^ТА = р^Т.

Следовательно, одним из собственных значений матрицы  А является вектор λ = 1.

Пусть вектор Х = (х₁ , …, х_n , х_n+1 ) = (х , х_n+1) является собственным вектором матрицы А, т.е. АХ = λХ. В силу определения матрицы А эторавносильно тому, что

А у  х = λ х

0 1 х_n+1 х_n+1

или

Ах + у х_n+1 = λх,

х_n+1 = λ х_n+1. (2.9)

Если  λ ≠ 1, то из второго соотношения  системы (2.9) следует, что х_n+1 = 0, в силу чего первое уравнение имеет вид Ах = λх. Следовательно, λ – собственное значение матрицы А и, по нашему предположению ‌‌‌|λ| < 1. Таким образом, λ_А = 1 является положительным и максимальным по модулю собственным значением, следовательно является числом Фробениуса. По теореме Фробениуса-Перрона у матрицы А существует неотрицательный собственный вектор х_А = ( х_А , х_n+1), соответствующий λ_А =1. Очевидно, что х_n+1 ≠ 0, так как в противном случае из (2.9) следовало бы, что Ах = х. А это противоречит тому, что число Фробениуса λ_А < 1. Поэтому мы можем считать, что х_n+1 = 1. В силу того, что х_n+1 = 1, равенство (2.9) принимает вид