Метод Монте-Карло

Федеральное государственное автономное образовательное  учреждение  
высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
 
 

Институт  управления бизнес-процессами и экономики 

Кафедра «Экономика и организация на предприятиях энергетического и транспортного комплекса» 
 
 
 
 
 
 

РЕФЕРАТ 

Метод Монте-Карло 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Руководитель _____________ А.А. Князев 

Студенты гр. УБ 09-02 _____________ Т.М. Левданов,

            А.Е. Нотанова 

                       
 

Красноярск 2012

 

Содержание  

Введение………………………………………………………………………… 3

1 Метод Монте-Карло при анализе риска…………………………………… 4

2 Метод Монте-Карло в условиях управления рыночными рисками…… 11

Заключение……………………………………………………………………. 16

Список  литературы…………………………………………………………… 17

 

Введение 

      Управление  рисками на сегодняшний день является актуальной проблемой. Поэтому особое внимание уделяется методам управления рисками.

      Актуальность  исследования состоит в изучении методов управления рисками, а в  частности метода Монте-Карло.

      Итак, предметом данной работы является метод. Объектом написания данной работы – метод Монте-Карло.

      При написании данной работы были поставлены ряд задач и целей.

      Цель: всесторонне охарактеризовать применение метода Монте-Карло в управлении рисками предприятия.

      Исходя  из поставленной цели, были выдвинуты  ряд задач:

      1. Метод Монте-Карло при анализе риска.

      2. Метод Монте-Карло в условиях управления рыночными рисками.

      Исследуя  тему данной работы были использовала труды таких авторов как: Ильин И. П. «Планирование на предприятии», «Энциклопедия финансового риск-менеджмента» под. ред. Лобанова А. А. и др.

 

      1 Метод Монте-Карло при анализе риска 

      Широкое распространение особенно при анализе  риска получил метод Монте-Карло. Этот метод имитации применим для  решения почти всех задач при  условии, что альтернативы могут  быть выражены количественно. Построение модели начинается с определения  функциональных зависимостей в реальной системе, которые, впоследствии, позволяют получить количественное решение, используя теорию вероятности и таблицы случайных чисел.

      Модель  Монте-Карло не столь формализована  и является более гибкой, чем другие имитирующие модели. Причины здесь  следующие:

• при моделировании по методу Монте-Карло нет необходимости определять, что именно оптимизируется;
• нет необходимости упрощать реальность для облегчения решения, поскольку применение ЭВМ позволяет реализовать модели сложных систем;
• в программе для ЭВМ можно предусмотреть опережения во времени.

      Типичным  примером задачи, которая может быть решена на основе модели Монте-Карло, может  быть задача на обслуживание. Например, при планировании стратегии развития ресторана быстрого обслуживания необходимо знать, как долго в среднем  приходится посетителю ждать обслуживания (среднее значение ожидания). Работа ресторана характеризуется следующими парами. Посетители обслуживаются последовательно  на одной кухне. Прибытие клиентов носит  случайный характер. Поступление  заказов характеризуется следующими данными: интервалы поступления  требований до 10 мин составляют 40% случаев, от 10 до 20 мин — 60%. Продолжительность  обслуживания в зависимости от вкусов клиентов— также величина случайная. В 80 % случаев на обслуживание требуется 10 мин, в остальных — 30 мин.

      В таблице 1 представлены результаты решения задачи на основе имитационной модели Монте-Карло, в которой интервалы между прибытием клиентов и временем обслуживания представлены последовательностью случайных чисел. 

Таблица 1 - Решение задачи обслуживания с применением метода Монте – Карло.

№ образца	Первая случайная  цифра	Интервал до прибытия, мин.	Время прибытия	Время начала обслуживания	Вторая случайная  цифра	Время до обслуживания мин.	Время окончания  обслуживания	Время ожидания, мин	Время простоя, мин
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	- 1 9 8 8 2 0 7 4 9	- 10 20 20 20 10 10 20 20 20	0 10 30 50 70 80 90 110 130 150	0 10 40 50 70 100 110 120 130 150	2 8 6 7 9 4 1 3 4 9	10 30 10 10 30 10 10 10 10 30	10 40 50 60 100 110 120 130 140 180	0 0 10 0 0 20 20 10 0 0	0 0 0 0 10 0 0 0 0 10

 

      Причем  время окончания обслуживания складывается из суммы показателей времени  начала обслуживания и времени до обслуживания, время ожидания есть разница между показателем времени  начала обслуживания и времени прибытия, а время простоя исчисляется  как разница между показателем  времени начала обслуживания и предшествующим показателем времени окончания  обслуживания.

      Для интервалов между прибытиями выберем  следующую случайную последовательность: 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8 или 9 – называют случайной  цифрой. Если выбраны числа 0, 1, 2 или 3, то продолжительность интервала  между поступлением двух требований составляет 10 мин. Если выбраны числа 4,5,6,7,8 или 9, продолжительность интервала  равна 20 мин. Аналогичным образом  определяется время обслуживания, которое  наступает после истечения интервала прибытия. Для этого выбирается второе случайное число.

      Если  выбраны числа 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 или 7, время  обслуживания составит 10 мин. Если выбраны  числа 8 или 9, обслуживание клиента  длится 30 мин.

      Из  таблицы 1 видно, что для 10 испытаний, приведенных в таблице, суммарное время ожидания составляет 60 мин, или в среднем по 6 мин на клиента. Данный пример оставляет без ответа многие вопросы, и среди них вопрос о необходимом количестве испытаний, позволяющем с достаточной точностью определить время ожидания.

      Предположим, что мы произвели N независимых опытов, в результате которых получили N случайных цифр. Записав эти цифры (в порядке их появления) в таблицу, получим то, что называется таблицей случайных цифр может иметь следующий вид (цифры разбиты на группы для удобства чтения таблицы):

      86515 90795 66155 66434 56558 12332

      69186 03393 42502 99224 88955 53758

      41686 42163 85181 38967 33181 72664

      86522 47171 88059 89342 67248 09082

      72587 93000 89688 78416 27589 99528

      Случайным числом называется случайная величина:

      δ = γ 1+ γ 2+ γ s + … , (1)

      10 100 10s

        где γ 1, γ2, … ,γs … - независимые  случайные цифры. Иными словами, случайное число — это случайная величина, равномерно распределенная на промежутке [0, 1). В настоящее время существуют специальные компьютерные программы для построения случайных чисел в любом количестве. Такие программы называют генераторами случайных чисел.

      Рассмотрим  теперь дискретную случайную величину ξ, распределение которой имеет  вид:

      Х₁, Х₂, … Х_n

      Р₁, Р₂,… Р_n (2)

      Для моделирования случайной величины ξ промежуток [0, 1) разделим на участки ∆i так, чтобы длина промежутка ∆i равнялась Р_i, i = 1, 2, ... , n. Новая случайная величина ξ^определятемая равенством:

      ξ^ = Х _i, если δ Є ∆i , i = 1, 2, … , n,   (3)

где δ  – случайное число, имеет такое  же распределение, что и случайная  величина ξ.

      Предыдущее равенство позволяет каждому случайному числу приписать определенное значение случайной величине ξ. Такой процесс приписывания значений случайной величине ξ часто называют разыгрыванием этой случайной величины.

      Предположим, что даны две случайные величины ξ и η совместное распределение которых имеет вид:

         

	Y1	…	Yi	…	Yn
X1	P11	…	P1j	…	P1n
…	…	…	…	…	…
Xi	Pi1	…	Pij	…	Pin
…	…	…	…	…	…
Pm	Pmi	…	Pmj	…	Pmn

 
 

      Для моделирования пары случайных величин ξ и η промежуток [0, 1) разделим на части ∆ij так, чтобы длина полуинтервала ∆ij равнялась Р_ij, i =1, 2..., m; j = 1, 2, ..., n. В этом случае пара случайных величин ξ ^,η ^, где            ξ ^ = Х_i, η ^ = Y_j, при δ Є ∆ij, имеет такое же распределение, что и пара ξ и η.

      Предыдущее  равенство позволяет каждому случайному числу приписать определенную пару значений случайных величин ξ и η. Такой процесс приписывания значений паре случайных величин ξ и η называют разыгрыванием этой пары.

      Если  случайные величины ξ и η независимы, то для разыгрывания пары ξ и η достаточно разыграть каждую случайную величину в отдельности. Для разыгрывания непрерывной случайной величины можно вначале найти дискретную случайную величину, близкую к данной случайной величине, а затем разыграть эту дискретную случайную величину.

      Метод Монте-Карло позволяет численно находить различные вероятностные  характеристики случайной величины η, зависящей от большого числа других случайных величин ξ₁, ξ₂, …, ξ_n. Этот метод сводится к следующему: разыгрывается последовательность случайных величин ξ₁, ξ₂,…, ξ_n для каждого розыгрыша определяется соответствующее значение случайной величины η, а по найденным значениям строится эмпирическое распределение вероятностей этой случайной величины.

      Рассмотрим  пример. Инвестор владеет портфелем, состоящим из одной казначейской облигации и двух корпоративных  облигаций одного и того же кредитного рейтинга. Основные параметры портфеля указаны в таблице:

Таблица 2 – Основные показатели портфеля

Облигация	Срок до погашения, лет	Купонная ставка, %	Номинал, млн. долл.	Доходность  к погашению, %
Казначейская	5,5	6,0	5	6,0
Корпоративная	15,5	9,0	4	9,0
Корпоративная	25,5	10,5	6	10,5